6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （苏教版2019）

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 [学习目标]　理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量． 导语 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ 一、直线的方向向量 知识梳理 把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 例1　(1)已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C. D．3 答案　A 解析　∵A(0，y,3)和B(－1,2，z)， ∴＝(－1,2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)， 故设＝km. ∴解得 ∴y－z＝0. (2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为______，直线BC1的一个方向向量为________． 答案　(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一) 解析　因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； 因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)． 反思感悟　理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 跟踪训练1　(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) 答案　AB 解析　∵M，N在直线l上，又＝(1,1,3)， 故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量． 二、平面的法向量 知识梳理 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 例2　如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． 解　以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)． (1)∵SA⊥平面ABCD， ∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB， SA⊂平面SAB，∴AD⊥平面SAB， ∴＝是平面SAB的一个法向量． (3)在平面SCD中，＝，＝(1,1，－1)． 设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， ∴ 得方程组∴ 令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)． ∴n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量． (答案不唯一) 反思感悟　求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 跟踪训练2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 解　设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)． (1)连接AC(图略)，∵AC⊥平面BDD1B1， ∴＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量． (2)易得＝(2,2,0)，＝(1,0,2)． 设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)． 则 ∴∴ 令x＝2，得y＝－2，z＝－1. ∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量．(答案不唯一) 三、平面方程的表示 知识梳理 1．在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示． 2．设平面α经过点P(x0，y0，z0)，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则平面α的法向量为n＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0. 例3　(1)在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面的方程为(　　) A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0 C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0 答案　A 解析　在空间中任取一点P(x，y，z)， ∵平面法向量为n＝(－1，－2,1)， ∴－(x－1)－2×(y－2)＋1×(z－3)＝0， ∴法向量为n＝(－1，－2,1)的平面方程为x＋2y－z－2＝0. (2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,4)，试求出经过A，B，C三点的平面的方程． 解　设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0， 将点A(2,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,4)分别代入， 得 ∴2A＝3B＝4C， ∴取A＝6，得B＝4，C＝3，D＝－12， ∴经过A，B，C三点的平面的方程为 6x＋4y＋3z－12＝0. 反思感悟　求平面方程的两种方法 (1)法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即n·＝0求解，其中n为平面的法向量，为平面内的任意向量． (2)待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，然后代入相关点解方程即可． 跟踪训练3　已知点A(1,2,3)，B(1，－1，－2)，C(－1,0,0)． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 解　(1)由题意知＝(－1－1,0－(－1)，0－(－2))＝(－2,1,2)． 所以直线BC的一个方向向量为(－2,1,2)(答案不唯一)． (2)因为平面α经过点A(1,2,3)，且M(x，y，z)是平面α内的任意一点，则有＝(x－1，y－2，z－3)，又因为是平面α的法向量，所以⊥， 从而·＝0， 即(－2,1,2)·(x－1，y－2，z－3)＝0， 整理可得2x－y－2z＋6＝0，即为所求． 1.知识清单： (1)直线的方向向量的概念及应用． (2)平面的法向量的求法． (3)平面方程的表示． 2．方法归纳：方程组法、待定系数法． 3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面的法向量的作用和不唯一性． 1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) 答案　A 解析　因为＝(2,4,6)，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量． 2．(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC的法向量的是(　　) A. B. C. D. 答案　BC 3．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 答案　D 解析　求与n共线的一个向量． 易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1)． 4．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________． 答案　x＋2y－3z＝0 解析　由题意得e⊥， 则·e＝(x，y，z)·(1,2，－3)＝0， 故x＋2y－3z＝0. 1．已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 答案　A 解析　由题意得a∥b，所以解得x＝－1. 2．(多选)在空间直角坐标系O－xyz中，下列向量是y轴方向向量的是(　　) A．(0,1,0) B．(0，－1,0) C．(1,2,0) D．(0,1,1) 答案　AB 解析　因为y轴方向向量可以表示为(0，k,0)(k≠0)， 所以(0,1,0)，(0，－1,0)是y轴的方向向量． 3．已知向量＝(2,4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y,3)，若AB⊂α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 答案　C 解析　由题意可知·n＝0， 可得3x＋4y＋2＝0. 4．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 答案　ABC 解析　∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，故A，B正确； 又与不平行，∴是平面ABCD的一个法向量，故C正确； 由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， ∴与不平行，故D错误． 5．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下关系中可能不成立的是(　　) A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥ 答案　C 解析　∵PA⊥平面ABCD， ∴BD⊥PA. 又AC⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC， ∴PC⊥BD. 故选项B成立，选项A和D显然成立． 6．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，且平面α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 答案　B 解析　要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直， 即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验． 对于选项A，＝(1,0,1)， 则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A； 对于选项B，＝， 则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确； 同理可排除C，D. 7．已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，则平面ABC的一个法向量为________． 答案　(1,1,1)(答案不唯一) 解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)． 因为n⊥，n⊥， 所以令x＝1，得y＝z＝1， 所以平面ABC的一个法向量n＝(1,1,1)． 8．在空间直角坐标系O－xyz中，已知平面α的一个法向量是n＝(1，－1,2)，且平面α过点A(0,3,1)．若P(x，y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是__________________． 答案　x－y＋2z＋1＝0 解析　由题意知·n＝0，即x－y＋2z＋1＝0. 9.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量． 解　如图所示，建立空间直角坐标系． 依题意可得D(0,0,0)，E，B(1,1,0)， 于是＝， ＝(1,1,0)． 设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 于是 取x＝1，则y＝－1，z＝1， 故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)(答案不唯一)． 10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PAB的一个法向量． 解　因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示， 则A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0,0,1)，＝(－1，，0)，＝(0，，－1)． 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)． 则即 因此可取n＝(，1，)． 所以平面PAB的一个法向量可以为(，1，)(答案不唯一)． 11．(多选)已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案　AD 解析　因为|a|＝＝6， 所以x＝±4. 因为a⊥b， 所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0， 即y＝－1－x， 所以当x＝4时，y＝－3； 当x＝－4时，y＝1. 所以x＋y＝1或x＋y＝－3. 12.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是(　　) A. B．(1，，1) C．(1,1,1) D．(2，－2,1) 答案　A 解析　因为P(0,0,2)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，所以＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)， 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)， 由则 解得 所以n＝(2,2,1)． 又＝n， 因此，平面PAB的一个法向量为. 13．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是(　　) A．(1，－4,2) B. C. D．(0，－1,1) 答案　D 解析　因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足． 14．若A，B，C是平面α内三点，设平面α的法向量为a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________. 答案　2∶3∶(－4) 解析　由已知得，＝， ＝， ∵a是平面α的一个法向量， ∴a·＝0，a·＝0， 即解得 ∴x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)． 15．在平面几何中，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的一个法向量可以写为n＝(A，B)，同时平面内任意一点P(x0，y0)到直线l的距离为d＝，类似地，假设空间中一个平面的方程写为a：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C不同时为0)，则它的一个法向量n＝________，空间任意一点P(x0，y0，z0)到它的距离d＝________. 答案　(A，B，C)　 16．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)． (1)求证：是平面ABCD的法向量； (2)求平行四边形ABCD的面积． (1)证明　因为·＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0，·＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量． (2)解　因为||＝＝， ||＝＝2， ·＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6， 所以cos〈，〉＝＝， 故sin〈，〉＝， S▱ABCD＝||·||sin〈，〉＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $$