1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第三课时 用空间向量解决立体几何问题的综合应用）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2.3 用向量方法解决立体几何问题的 综合应用 第一章空间向量与立体几何 YZQ 1 思考：二面角与平面的夹角范围一样吗？ 前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题. 下面先看一道生活中的实际问题，思考如何转化为数学问题来进行解决. YZQ 引入 YZQ 2 例9 某种礼物降落伞的示意图如图示，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°. 已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0. 01 N). 如图，设水平面的单位法向量为 ，其中每一根绳子的拉力均为 . 因为 =30°，所以 在 上的投影向量为 . 所以8根绳子拉力的合力为 又因为降落伞匀速下落，所以 ∴ 每根绳子拉力的大小为1.41 N. 解： YZQ 例题讲解 YZQ 降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的和与礼物重力有什么关系?如何用向量方法解决这个问题? 3 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F 问题1:线面平行的几何法证明思路是怎么样分析得到的? 如图作辅助线，从而利用三角形中位线来证明：PA EG 也可以利用向量知识，先建立空间坐标系，再来证明： 问题2:线面平行的向量法证明思路又是怎么样呢? 也可以直接证明与平面EDB的法向量垂直，从而得到线面平行. G YZQ 例题讲解 YZQ 4 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F x y z (1) 证明: 连接AC, 交BD于点G, 连接EG. 依题意得 如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设DC= 2. 解: G 因为底面ABCD是正方形, 所以点G是它的中心， 故点G的坐标为(1,1,0), 且 A(2,0,0), P(0,0,2), E(0,1,1). 即PA//EG. 而EG 平面EDB，且PA 平面EDB, 因此PA//平面EDB. 综合应用 YZQ 例题讲解 YZQ 5 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; B C D A P E F (1) 证明: 连接AC, 交BD于点G, 连接EG. 设DC= 2. 解:法二（几何法） G 因为底面ABCD是正方形, 所以点G是AC中点， 而EG 平面EDB，且PA 平面EDB, 因此PA//平面EDB. 综合应用 YZQ 例题讲解 YZQ 6 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; B C D A P E F x y z (1) 证明: 连接AC, 交BD于点G, 连接EG. 依题意得 如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设DC= 2. 法三： G B(2,2,0),A(2,0,0), P(0,0,2), C(0,2,0),E(0,1,1). 因为PA 平面EDB, 所以PA//平面EDB. 综合应用 YZQ 例题讲解 YZQ 7 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F 问题3:线面垂直的几何法证明思路是怎么样分析得到的? 如图，要证明PB 平面EFD , 由于PBEF , 所以只需要证明PBDE 或PBDF. 此时发现利用向量知识，很容易证明： PBDE，即证明 问题4:发现几何法证明线线垂直有点麻烦，若用向量法怎么样才能证明呢? YZQ 例题讲解 YZQ 8 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 依题意得 B(2,2,0). ∴PB⊥DE. 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E， ∴PB⊥平面EFD. (2) 证明: B C D A P E F x y z 综合应用 YZQ 例题讲解 YZQ 9 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (2) 求证: PB⊥平面EFD; ∴PB⊥平面EFD. 法二: B C D A P E F 综合应用 YZQ 例题讲解 YZQ 10 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. (2) 法三: B C D A P E F x y z 综合应用 但点F的坐标不好求 YZQ 例题讲解 YZQ 11 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F 问题５:求二面角的几何法证明思路是怎么样分析得到的? 如图，由于PB 平面EFD , 所以 此时发现几何法求这个角有难度，但利用向量知识,很容易 想到用向量夹角来求的大小． 问题６:用向量思想来求向量夹角，但是如何求出点F 的空间坐标? 如图,要研究点的坐标,可以用设未知数的方法,来找到点满足的相关 条件,然后求出这个点的坐标,从而利用向量方法解决二面角问题. YZQ 例题讲解 YZQ 12 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F x y z 已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角. 设F(x,y,z), 则 G ∴ ∠EFD=60°. (3) 解1: ∴平面CPB与平面PBD的夹角的大小为60°. YZQ 例题讲解 YZQ 理解如何求直线上某一点的坐标 13 B C D A P E F x y z G (3) 解2: 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. YZQ 例题讲解 YZQ 14 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F P B C E F 2 P D C 2 2 E P D B F 2 YZQ 例题讲解 YZQ 15 P49-16.棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中，E, F分别是棱AB, BC上的动点，且AE=BF. (1)求证：AʹF⊥CʹE； (2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时，求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值.  AʹF⊥CʹE YZQ 巩固练习 YZQ P49-16.棱长为a的正方体OABC-OʹAʹBʹCʹ中，E, F分别是棱AB, BC上的动点，且AE=BF. (2)当三棱锥Bʹ-BEF的体积取得最大值时，求平面BʹEF与平面BEF的夹角正切值. YZQ 巩固练习 YZQ 如果用向量法，则可省去找角的步骤---这也是大家最薄弱的步骤 P49 YZQ 巩固练习 YZQ P49 YZQ 巩固练习 YZQ x y z A B C A1 B1 C1 D1 D F E K G H L P43-10 YZQ 巩固练习 YZQ 20 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素 进行空间向量的运算, 研究点、直线、平面之间的关系 通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面的框图谈谈体会． 解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法．你能说出它们各自的特点吗？ 综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如本节的例7、例9；坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用, 如本节的例6, 8, 10. 对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法． YZQ 课堂小结 YZQ 21 $$