1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第二课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第二课时 第一章空间向量与立体几何 YZQ 问题：如何利用空间向量研究角度问题？ 直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面所成的角 直线方向向量的夹角 方向向量与法向量的夹角 法向量的夹角 YZQ 引入 YZQ ①线线角 问题1：若直线a与b的方向向量分别为，，则直线a与b所成角θ与向量夹角<, >的区别与联系是什么？ 判断：两直线所成角就是它们的方向向量所成角。 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 YZQ 探究新知 YZQ 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. A C D B M N 向量与的夹角 追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 基底法 几何法 坐标法  ①线线角 YZQ 例题讲解 YZQ 4 追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 基底法 几何法 坐标法  解：取中点，过作⊥平面， 以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 请同学们课后完成！ 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 向量与的夹角 YZQ 例题讲解 YZQ 一般隐藏着面上隐藏着直角，都可以建系，但基底法更具有普遍性 追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 基底法 几何法 坐标法  解：过A作⊥平面， 以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 向量与的夹角 YZQ 例题讲解 YZQ 将立体几何问题转化成向量问题的途径： 途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题； 途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题. 实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底. YZQ 探究新知 YZQ 用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法： 化为向量问题 进行向量运算 ①转化为求两直线，的方向向量，的夹角 回到图形问题 ③两条直线，夹角的余弦值 YZQ 探究新知 YZQ ②线面角 问题2：若直线a的方向向量分别为，平面α的法向量为，则直线a与平面α所成角θ与向量夹角<, >的区别与联系是什么？ YZQ 探究新知 YZQ 基底法 几何法 坐标法  向量与平面的法向量的夹角 所以直线与平面所成的角正弦值等于 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线CN平面所成角的正弦值. YZQ 例题讲解 YZQ 用空间向量求直线平面所成角的步骤和方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角 ③直线平面所成的角的 正弦值 YZQ 探究新知 YZQ ③面面角 (1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面. ①记作二面角α-l-β、α-AB-β、P-l-Q、C-AB-D ②二面角θ的范围是[0，π] (2)平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交所形成的4个二面角中，把其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． YZQ 探究新知 YZQ ③面面角 例8 如图 示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 Q P R x y z YZQ 例题讲解 YZQ 13 例8 如图 示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. YZQ 例题讲解 YZQ 用空间向量求平面与平面所成角的步骤和方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为法向量的夹角 ③ YZQ 探究新知 YZQ 小结：空间角的向量求法 设直线a与b的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 求法：先求两向量夹角余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值or定正负) YZQ 课堂小结 YZQ ①线线角 P381. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1, F1分别是A1B1, A1C1的中点，BC=CA =CC1. 则BD1与AF1所成角的余弦值是( ). A C B A1 C1 B1 F1 D1 x y z A YZQ 巩固练习 YZQ 17 ①线线角 1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1, F1分别是A1B1, A1C1的中点，BC=CA =CC1. 则BD1与AF1所成角的余弦值是( ). A A B C C1 A1 F1 D1 H YZQ 巩固练习 YZQ 18 2. 如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M, N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN, CM所成角的余弦值. A C D B N M E P41 ①线线角 几何法 向量基底法：求基底的夹角余弦值 YZQ 巩固练习 YZQ 平移法：定角∠EMC，求三边定型，求角(余弦定理) 19 ②线面角 P38-2. PA, PB, PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ). C YZQ 巩固练习 YZQ 20 2. PA, PB, PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( ). 解2:如图示, 建立空间直角坐标系, 设正方体棱长为1, 则 P C B A x y z O ②线面角 YZQ 巩固练习 YZQ 21 5.四棱锥P-ABC中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥平面BACD，PA=AD=AB=2BC=2，M, N分别为PC, PB的中点。 (1)求证：PB⊥DM； (2)求直线BD和平面ADMN所成角. 坐标法 公式法or几何法 ②线面角 YZQ 巩固练习 YZQ 5.四棱锥P-ABC中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥平面BACD，PA=AD=AB=2BC=2，M, N分别为PC, PB的中点。 (1)求证：PB⊥DM； (2)求直线BD和平面ADMN所成角. ②线面角 YZQ 巩固练习 YZQ 如果用向量法，则可省去找角的步骤---这也是大家最薄弱的步骤 P38-3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 x y z O ③面面角 YZQ 巩固练习 YZQ 24 P41-1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D ③面面角 思考向量方法，发现二面角的大小就是 问题１:此题二面角的几何法求解思路是怎么样的? 如图，可以作,连接CE. 二面角的平面角就是 但是容易发现这个角所在的三角形有一条边不好求边长. 问题２:此题二面角的几何法求解思路受阻，请问转换空间向量思想 如何来求解? 最后，我们 YZQ 巩固练习 YZQ 25 P41-1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D ③面面角 YZQ 巩固练习 YZQ 26 P41-1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D E ③面面角 YZQ 巩固练习 YZQ 27 6.在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角. 几何法 公式法 ③面面角 YZQ 巩固练习 YZQ 4. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (1) 直线AD与直线BC所成角的大小; D B C A x y z O 综合应用 YZQ 巩固练习 YZQ 29 4. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (2) 直线AD与平面BCD所成角的大小; D B C A x y z O 综合应用 YZQ 巩固练习 YZQ 30 4. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求:(3) 平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. D B C A x y z O 综合应用 YZQ 巩固练习 YZQ 31 好学数学，数学好学，学好数学 FIGHTING YZQ $$