1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第一课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时 第一章空间向量与立体几何 YZQ 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？ YZQ 引入 YZQ 空间中的距离 两点间的距离 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两平行平面的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 两点间的距离 YZQ 引入 YZQ 问题1：如何用向量研究距离？ 距离 空间两点的距离 空间中其它的距离 向量的模 空间向量的模 投影向量/勾股定理 垂直 YZQ 引入 YZQ ①距离公式法(找两点坐标) 4 3 5 ②向量求模法(基底法/坐标法) 正三棱柱 1. 空间两点之间的距离 YZQ 引入 YZQ YZQ 引入 YZQ 问题2：在方向上的投影向量的模是什么？ 追问1.在的方向向量上的投影向量的模是什么？ 2. 点到直线的距离 YZQ 探究新知 YZQ 无法直接计算PQ的情况下可以通过计算哪些方式PQ？投影向量或者勾股定理 拓展：此题还可以利用正弦来做，根1-cos^2，表达式一样。点到直线的距离也可以看成三角形的高； 【答案】直线l上的点可任意选取，一般选取易求得坐标的特殊点； 直线l的方向向量可任意选取. YZQ 探究新知 YZQ 追问5：回忆所学初高中知识，求点到直线的距离主要有哪些方法？ 【答案】(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即 为点到直线的距离； (2)在三角形中用等面积法求解； (3)向量法,即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根. YZQ 探究新知 YZQ 追问6：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？ l1 l2 A Q P YZQ 探究新知 YZQ α A l Q P d 3. 点到平面的距离 问题3 如图，已知平面α的一个法向量为 ，点A∈α，点P α. 点P到平面α的距离d，能否用 与 表示d？ d是AP在直线l上的投影向量 的长度. YZQ 探究新知 YZQ PQ是AP在n上的投影向量 11 追问2 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ 4. 直线到平面的距离 5. 两个平行平面之间的距离 α A l Q d P • α A Q d P • β ⟹ 点到平面的距离 YZQ 探究新知 YZQ 12 是与 都垂直的向量 异面直线的距离（仅作了解） 异面直线之间的距离点到平面的距离 步骤：1、求出两条异面直线的公共法向量 2、两条直线上取一个点， 3、计算向量在上的投影 YZQ 探究新知 YZQ 两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离 a平移到与b相交与E，过交点作面的垂线交a线于F，则EF为异面直线距离 追问3：求点到平面的距离主要有哪些方法？ 【答案】 (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为 点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法,点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比. YZQ 探究新知 YZQ 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F YZQ 例题讲解 YZQ 相关点的坐标是什么？求哪些向量的坐标？ 15 等面积法(将点线距离视为三角形的高) 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; YZQ 例题讲解 YZQ 例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F YZQ 例题讲解 YZQ 17 ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量； ③计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影； ④利用勾股定理求点到直线的距离. 另外，要注意两条平行直线之间的距离点到直线的距离 用向量法求直线外一点P到直线l的距离的步骤： • • YZQ 探究新知 YZQ 用向量法求平面α一个点P到平面α的距离的步骤： (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d． (1) 求出该平面α的一个法向量 ； α A Q P d (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； 直线、平面之间的距离点到平面的距离异面直线之间的距离 YZQ 探究新知 YZQ 19 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） YZQ 探究新知 YZQ 20 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1C的距离等于_____；直线DC到平面AB1的距离等于_______ ； 平面DA1到平面CB1的距离等于_______. x y z A1 D1 B1 D B C C1 A 1 1 1 课本P35 YZQ 巩固练习 YZQ 21 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; (2) 求直线FC1到直线AE的距离; (3) 求点A1到平面AB1E的距离; (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. B A A1 B1 C1 D1 C D E F YZQ 巩固练习 YZQ 22 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F x y z YZQ 巩固练习 YZQ 23 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1) 求点A1到直线B1E的距离; B A A1 B1 C1 D1 C D E F M 等面积法(将点线距离视为三角形的高) YZQ 巩固练习 YZQ 24 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (2) 求直线FC1到直线AE的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F YZQ 巩固练习 YZQ 25 两条平行直线m,l间的距离转化为直线m上任一点到直线l的距离 P35-2(2).棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是线段DD1, BB1的中点，求直线FC1到直线AE的距离. YZQ 巩固练习 YZQ 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (3) 求点A1到平面AB1E的距离; x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 公式法(求斜线的方向向量在法向量上的投影向量的模) YZQ 巩固练习 YZQ 27 等体积法(将点面距离看作三棱锥的高) 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (3) 求点A1到平面AB1E的距离; YZQ 巩固练习 YZQ 2. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (4) 求直线FC1到平面AB1E的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F YZQ 巩固练习 YZQ 29 3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D YZQ 巩固练习 YZQ 30 1.求两点距离 ①距离公式法(找两点坐标) ②向量求模法(基底法/坐标法) 2.求点到直线的距离 ①公式法(找斜线的方向向量及直线l的方向向量或单位方向向量) ②等面积法(将点线距离视为三角形的高) 3.求直线到直线的距离 先证线线平行m//l，再转化为直线m上任一点到直线l的距离 YZQ 课堂小结 YZQ 4.求点到平面的距离 ①等体积法(将点面距离看作三棱锥的高) ②公式法(求斜线的方向向量在法向量上的投影向量的模) ③找垂线法(过点找面的垂线证线面垂直) 5.求直线到平面的距离 6.求平面到平面的距离 先证线面平行l//α，再转化为直线l上任一点到平面α的距离 先证面面平行α//β，再转化为平面α上任一点到平面β的距离 YZQ 课堂小结 YZQ 求平面法向量的方法小结 ①定义法：证线面垂直 ②待定系数法：设→找→列→赋→定 ③秒杀法：求谁遮谁，交叉相乘再相减（y要加﹣号）； 两个向量写两遍，掐头去尾取中间，交叉相乘再相减 YZQ YZQ 求平面法向量的方法——秒杀法 解：如图建立空间直角坐标系Cxyz，则B(0,4,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)， ＝(4,2,-2)，＝(2,4,-2)，＝(2,0,0)． 设平面GEF的法向量是＝(x，y，z)， 则由得， 令x=1得y=1，z=3， ＝(，，3)． 则点B到平面GEF的距离为d＝＝. 1.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离． YZQ YZQ 2.棱长为2的正方体中ABCD－A1B1C1D1，E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点，点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)． (1)当λ＝1时，求证：直线BC1∥平面EFPQ. (2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 求平面法向量的方法 YZQ YZQ 课后思考 [思考]在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC. 1.在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE: EC＝PF: FB＝1: 2，求证：平面GEF⊥平面PBC. 2.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离． YZQ YZQ P49-17.如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，EF=l，求公垂线AA′的长. A′ A b a F E 异面直线距离 1992年全国卷26题 YZQ YZQ 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。 定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 定理二：两条异面直线的公垂线段长是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。 37 异面直线距离 YZQ YZQ A B C D M N E F z x y YZQ YZQ A B C D M N E F z x y YZQ YZQ （2）过点作垂直于直线，垂足为， 向量即为向量在向量方向上的投影向量. 复习回顾 如图，在空间中任取一点，作，. 问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向 量在向量方向上的投影向量？ 【答案】（1）. 【答案】若与直线垂直，则，. 追问3：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件 中一般只会给出点以及直线，那么点应该如何确定？ 追问4：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？ 【答案】不需要，只需要参考向量和直线的方向向量. 追问2：若与直线垂直，点到直线的距离还等于吗？ 【答案】在其中一条直线上任取一点，将两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离. 例1　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中 ，M，N分别是AA1，BB1的中点，求异面直线CM和D1N的距离． 【解析】　建立空间直角坐标系Dxyz， 则C(0，1，0)，D1(0，0，1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).∴eq \o(CM,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))，eq \o(D1N,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，－\f(1,2))). 设n＝(x，y，z)为CM与D1N公垂线的方向向量， 则eq \o(CM,\s\up12(→))·n＝x－y＋eq \f(1,2)z＝0，eq \o(D1N,\s\up12(→))·n＝x＋y－eq \f(1,2)z＝0.取y＝1，则x＝0，z＝2， 即n＝(0，1，2)，又eq \o(CN,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，∴d＝eq \f(|\o(CN,\s\up12(→))·n|,|n|)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1×0＋0×1＋\f(1,2)×2)),\r(5))＝eq \f(\r(5),5). 故直线CM与D1N的距离是eq \f(\r(5),5). $$