7.1 不等式及其基本性质（第2课时 不等式的基本性质）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

7.1不等式及其基本性质 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第7章 一元一次不等式与不等式组 第2课时 不等式的基本性质 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解并掌握不等式的基本性质. 2. 体会探索过程中所应用的归纳和类比方法. 情景导入 等式有哪些性质？ 性质1：等式两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式.即 性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.即 如果 a = b，那么 a±c = b±c 如果 a = b，那么 ac = bc ， 新知探究 观察 如图，在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为a，b的物体，图中天平倾斜，这直观地说明a＞b.这时，如果在两端托盘中同时加上质量为c的物体，天平的倾斜方向会改变吗？这反映的数量关系是什么呢？ + c - c 图中天平仍然倾斜 a + c ＞ b + c 性质 1 不等式的两边都加上( 或减去 ) 同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即 如果 a ＞b，那么 a + c ＞ b + c，a – c ＞ b – c . 不等式有如下的基本性质： 思考 对于倾斜的天平，如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平的倾斜方向会改变吗？ 举例验证一下： 8____5 8×2____5×2 – 5____ – 1 （ – 5）×3____（ – 1）×3 8____4 8÷2____4÷2 – 10____ – 5 （– 10）÷3____（– 5）÷3 ＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＞ ＜ ＜ 性质 2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即 如果 a＞b， c ＞0，那么ac＞bc， . 探究 1. 如果 a ＞ b，那么它们的相反数 – a 与 – b 哪个大，你能用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说明吗？ a b 0 – b – a – a＜ – b 2. 如果 a ＞ b，那么 – a＜ – b，这个式子可理解为： a×（– 1）＜ b× （– 1） 这样对于不等式 a ＞ b，两边同乘以 – 3，会得到什么结果呢？ a > b a×(-1) < b×(-1) a×(-3) < b×(-3) ×(-1) ×3 ×(-3) 探究 3. 如果 a ＞ b，c＜0，那么 ac 与 bc 有怎样的大小关系？ a > b -a < -b ×(-1) ac < bc ×c (c < 0) ×- c (c < 0) 性质 3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 即 如果 a ＞b，c ＜ 0，那么 ac＜ bc， . 性质 4 如果 a ＞ b，那么b ＜ a. 例如，由 3 ＞ x，可得 x ＜ 3. 观察 a b 0 c C B A 性质 5 如果 a ＞ b，b > c 那么 a > c. 不等式的传递性 如图，设数轴上的三个点 A，B，C 分别表示三个实数 a，b，c，从中你能发现不等式的什么性质？ 例如，由∠A＞∠B，∠B＞30°，可得∠A＞30°. 例题讲解 课外例题 例1 若 x>y，则下列式子中错误的是( ) A. x－3>y－3 B. > C. x+3>y+3 D. －3x>－3y 解： D 将 x>y 变形 依据 结论 两边同时减 3，得 x－3>y－3 不等式的基本性质 1 A 正确 两边同时除以 3，得 > 不等式的基本性质 2 B 正确 两边同时加 3，得 x+3>y+3 不等式的基本性质 1 C 正确 两边同时乘以 －3，得 －3x<－3y 不等式的基本性质 3 D 错误 例题讲解 课外例题 例2 若关于 x 的不等式( m－2) x>m－2 化简为 x<1，求m 的取值范围 . 解：因为关于 x 的不等式( m－2) x>m－2 化简为 x<1， 所以 m－2<0，即 m<2. 方法点拨 判断不等式两边乘以（或除以）的同一个数的符号时，只需看不等号的方向是否改变，若不变，则这个数为正数；若改变，则这个数为负数 . 交流 等式与不等式的基本性质有哪些相同点和不同点？ 类别 相同点 不同点 不等式 等式 (1)两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等式和等式仍然成立； (2)两边都乘以(或除以)同一个正数，不等式和等式仍然成立. 两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变. 两边都乘以(或除以)同一个负数，等式仍然成立. 课堂练习 1. 如果a < b，用不等号填空： (1) 4a________ 4b； (2) a-10________ b-10； (3) a________ b； (4) a________ b. < < < > 2. 若m > n，判断下列不等式是否正确： (1) m - 7 < n – 7. ( ) (2) 3m < 3n . ( ) (3) -5m > -5n . ( ) (4) ( ) × × × √ 3. 如果 x ≥ y，a < 0， b > 0，用不等号填空： (1) ________ ; (2) bx________ by； (3) 2x________ x + y； (4) abx________ aby. ≤ ≥ ≥ ≤ 分层练习 1. 设 ，下列结论正确的是( ) A A. B. C. D. 基础题 2. 设“ ”“ ”“ ”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况 如图所示，那么“ ”“ ”“ ”这三种物体的质量按从大到小的顺序排 列应为( ) B A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 3.填空： (1)若，两边都加上 ，得________(依据：______ ______________). (2)若 ，两边都除以2，得________(依据：_________ ______________). 不等式的基本性质1 不等式的基本性质2 (3)若，两边都乘 ，得________(依据：_________ __________). 不等式的基本性质3 4.（1）如果，那么___ ； （填“ ”“ ”或“ ”） （2）若,则 ______. 5. [2024长春模拟] 将不等式两边都乘以同一个数 ，若 不改变不等号的方向，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 7. 若 ，则下列不等式不一定成立的是( ) D A. B. C. D. 6.[2024·广州中考] 若 ，则( ) D A. B. C. D. 8. [2024·长春中考] 不等关系在生活中广泛存在.如图，， 分别表示两位同学的身高， 表示台阶的高度.图中两人的对 话体现的数学原理是( ) A A.若，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 10. [2024济南模拟] 已知数 在数轴上对应点的位置如图所示， 则下列结论正确的是( ) B A. B. C. D. 9. [2024上海] 如果 ，那么下列正确的是( ) C A. B. C. D. 11.若,则___ . 12. 四个小朋友玩跷跷板，他们分别为，，， ，如图所 示，他们体重的大小关系是( ) D A. B. C. D. 13.小明说永远不可能成立，因为在不等式两边都除以 ， 得到 这个错误结论，小明的说法正确吗？请说明理由. 【解】小明的说法不正确.理由：小明默认为，未对 的 取值范围进行分类讨论.当时，；当 时， ；当时， .故小明的说法不正确. 综合应用题 14.以下说法正确的是______.(填序号) ①由，得；②由，得 ；③由 ，得；④由，得 . 15.若不等式的解集为，则 的取值范围 是________. 16. [2024南昌二模] 实数，，， 在数轴上的对应点的位 置如图所示.若 ，则下列结论中，错误的是( ) D A. B. C. D. 【点拨】因为 ， 所以原点在，对应点的中间位置上.所以 ， 且 . 所以，， .故选D. 17. [2024·安庆二模] 已知非零实数，， 满足：， ，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 18. [2024温州期中] 下列说法中，正确的是( ) C A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 19.将下列不等式化成“”或“ ”的形式. (1) ； 解：两边同时减去，得 ， 两边同时除以2，得 . (2) ； 两边同时减去1，得 ， 两边同时除以，得 . (3) . 解：两边同时减去2，得，两边同时减去 ，得 ，两边同时除以，得 . 20.整数有一个很常用的性质，叫作离散性．意思是说若两个整数， 满足，则，或者说 ，即两个不同整数的差的绝 对值至少为1．已知正整数，，，，，满足， . （1）试说明: ； 【解】因为，，，， 都是正整数， 所以，所以,所以 . （2）试说明: . 【解】由（1）得，同理， ， 所以, , 所以,所以 . 因为,所以 . 21.已知非负数,,满足条件， ，设 的最大值为，最小值为，则 的值是多少？ 【解】因为，，为非负数，所以 . 因为，所以，所以 . 因为，所以 . 又因为 ， 所以时的值最小，即，即 . 因为，所以 . 因为 ， 所以时的值最大，即，即 ， 所以 . 创新拓展题 习题 1. 用不等式表示下列关系： (1) a 是正数； (2) a 是负数； (3) a 与 5 的和是正数； (4) b 减 5 的差是负数； (5) x 的 3 倍大于或等于 9； (6) y 的一半小于 3. 解： (1) a > 0; (2) a < 0; (3) a + 5 > 0; (4) b - 5 < 0; (5) 3x ≥ 9; (6) . 2. 下列数中哪些是不等式 2x < 6 的解？哪些不是？ -3，-2.5，0，1， ，3，5.5. 解： 当x = -3时，2x = -6 < 6，是不等式的解. 当x = -2.5时，2x = -5 < 6，是不等式的解. 当x = 0时，2x = 0 < 6，是不等式的解. 当x = 1时，2x = 2 < 6，是不等式的解. 当x = 时，2x = 3 < 6，是不等式的解. 当x = 3时，2x = 6 ，不是不等式的解. 当x = 5.5时，2x = 11 ，不是不等式的解. 3. 已知 a < b，判断下列不等式是否成立： (1) a - 3 < b – 3. ( ) (2) 2a < 2b . ( ) (3) -5a < -5b . ( ) (4) -4a + 2 < -4b + 2 . ( ) √ √ × × 4. 用“>”或“<”填空： (1) 如果 a - 1 < b – 1，那么a ______ b； (2) 如果 3a > 3b，那么a ______ b； (3) 如果 -a < -b，那么a ______ b； (4) 如果 2a+1 < 2b+1，那么a ______ b； (5) 如果 a > b，那么a(a-b) ______ b(a-b). < > > < > 5. 用“<”或“>”填空： (1) 当 a > 0，b ____ 0时，ab > 0； (2) 当 a > 0，b ____ 0时，ab < 0； (3) 当 a < 0，b ____ 0时，ab > 0； (4) 当 a < 0，b ____ 0时，ab < 0. > < < > 6. 根据不等式的基本性质，将下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式： (1) x - 1 < 3； (2) 6x < 5x - 2； 解：根据不等式的性质1，得 x – 1 + 1 < 3 + 1 x < 4 合并同类项，得 解：根据不等式的性质1，得 6x - 5x < 5x - 2 - 5x x < -2 合并同类项，得 (3) ； (4) -4x > 3. 解：两边都乘以3 根据不等式的性质2，得 即 x < 15 解：两边都除以-4 根据不等式的性质3，得 即 7. 已知实数a，b，c满足：a + b + c = 0，3a + 2b + c > 0 . 请判断 a 与 c 的大小关系，并说明理由. 解： ∵ a + b + c = 0 ∴ 2 (a + b + c) = 0 即 2a + 2b + 2c = 0 又∵ 3a + 2b + c > 0 ∴ 3a + 2b + c - (2a + 2b + 2c ) > 0 即 a - c > 0 ∴ a > c 课堂小结 性质1：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c 不等式的基本性质 性质4：如果 a＞b，那么 b＜a 性质5：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c 性质2：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc (或 ) 性质3：如果 a＞b，c＜0 那么ac＜bc (或 ) 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$