专题02 三角形中的常见的六种模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）

专题02 三角形中的常见的六种模型 模型一：“A”字模型 1 模型二：“8”模型 5 模型三：飞镖（燕尾）模型 12 模型四：风筝（老鹰捉小鸡)模型 21 模型五：三角形折叠模型 28 模型六：（双）角平分线模型 35 51 模型一：“A”字模型 模型结论：． 如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 【典例1-1】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， 故选：D． 【典例1-2】如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝235°，则∠A＝　55　度． 【分析】利用三角形及四边形内角和定理即可解答． 【解答】解：∵1+∠2＝235°， ∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣235°＝125°， 故∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣125°＝55°． 故答案是：55． 【点评】本题比较简单，利用三角形及四边形内角和定理即可解答． 【典例1-3】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（2023春•吴江区月考）已知如图，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答． 【解答】解：、是的外角， ，， 即， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 【变式1-2】如图，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　度． 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【解答】解：∠1+∠2＝180°+40°＝220°． 故答案为：220°． 【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系． （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件． 模型二：“8”模型 模型结论： 2∠P=∠B+∠D 1.如图AD、BC相交于点O，连接AB、CD；证明：； 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 2.如图，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；证明：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 【典例2-1】已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由． 【分析】根据“8字形”可得∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，∠1+∠P＝∠2+∠D，由角平分线的定义可得∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，整理可得结论． 【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下： 如图， 在△AOB和△COD中， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D， 在△AEP和△CED中， ∵∠AEP＝∠CED， ∴∠1+∠P＝∠2+∠D， ∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线， ∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2， ∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D， 整理得，2∠P＝∠B+∠D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 【典例2-2】如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解．②根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，，∵，∴； （2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴， ∵①，②， 由，得：，即， ∵，∴； ②∵，∴，， ∵，， ∴，， ∴，∴），故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解． 【典例2-3】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B， 故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”； ②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”； ③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”； ④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个， 故答案为：6； （3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， ①+②得： ∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝∠D+∠B， 又∵∠D＝50度，∠B＝40度， ∴2∠P＝50°+40°， ∴∠P＝45°； （4）关系：2∠P＝∠D+∠B． ∠D+∠1＝∠P+∠3① ∠B+∠4＝∠P+∠2② ①+②得： ∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P， ∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴2∠P＝∠D+∠B． 【变式2-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【变式2-2】如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】根据三角形内角和定理，得∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．根据角平分线的定义，得到∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE，进而推断出∠A+∠C＝2∠P，从而解决此题． 【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°， ∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC． 又∵∠AGD＝∠BGC， ∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC． ∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG． 同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE． ∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE． ∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E， ∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE． ∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）． ∴∠A+∠C＝2∠P． 又∵∠A＝45°，∠P＝40°， ∴∠C＝35°． 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线的性质是解决本题的关键． 【变式2-3】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 【答案】 减少 10 【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 模型三：飞镖（燕尾）模型 模型结论：∠BDC＝∠A+∠B+∠C． ∠O=（∠A+∠C）。 ∠O=（∠D-∠B）。 1.如图，求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C． 【分析】作射线AD，根据三角形的外角性质得到∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2，两式相加即可得到结论； 【解答】证明：作射线AD，如图， ∵∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2， ∴∠3+∠4＝∠B+∠C+∠1+∠2， ∴∠BDC＝∠B+∠C+∠A． 2.如图，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 证明：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 3.如图，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【典例3-1】如图，，，，的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】延长交于，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：如图，延长交于， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 【典例3-2】请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【分析】（1）根据解题过程作答即可；（2）连结CD并延长至F，由三角形外角的性质即可证明． 【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答案为：三角形的内角和定理； （2）连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ，，即． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【典例3-3】（2024·江苏·统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则________； 【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； ②直接运用（2）中的结论，试说明：； （5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示） 【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）2α；（4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；②见解析；（5） 【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可； （2）根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）两次运用镖形中的角的关系可得； （4）①根据互为组角的定义及周角的定义，结合图形可知优角∠PCQ与钝角∠PCQ是一对互组的角； ②先由∠APD、∠AQB的平分线交于点M，得出∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A=2∠PMQ，而∠A+∠QCP=180°，那么∠PMQ=90°，即PM⊥QM．（5）由，知，代入得，据此得出，代入可得答案． 【详解】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°； （2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下： 如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°， 又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°，∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D； （3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2α； （4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ； ②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM． 令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ， 在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，∴∠QCP+∠A=2∠PMQ， ∵∠A+∠QCP=180°，∴∠PMQ=90°．∴PM⊥QM； （5）如图，由题意知，， ，， ， ， 则，代入得： ， 解得：， ，，． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，角平分线定义，垂直的定义，等式的性质，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解互为组角的定义以及得出（2）中的关系是解题的关键． 【变式3-1】如图，中，，为延长线上的一点，于点，，则为　　 A． B． C． D． 【分析】由于点，，由三角形内角和定理可求出，再由三角形外角定理可得． 【解答】解：， ， ， ， ，， ． 故选：． 【点评】这道题考查的是三角形内角和定理及三角形的外角定理，一定要熟记定理 【变式3-2】（2023春•高新区校级期中）如图，作于点，与相交于点，若，，则　　，　　． 【分析】首先利用垂直的定义和三角形的内角和定理可以求出，然后利用三角形的外角和内角的关系可以求出． 【解答】解：， ， ， ， 又， 故答案为：60；105． 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【变式3-3】探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则　　； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，求的度数． 【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到，，相加即可得结论； （2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值． ②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案． ③由（2）的方法，进而可得答案． 【解答】解：（1）连接并延长至点， 由外角定理可得，； 且及； 相加可得； （2）①由（1）的结论易得：， 又因为，， 所以； 故答案为：40． ②由（1）的结论易得，易得； 而， 代入，，易得； ③， ， 设为， ， ， 为． 【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 【变式3-4】已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析. 【分析】（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到. 【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E， 在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º， 在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ； （2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2， ∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3∴∠A+∠1=∠P+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4∴∠A+∠2=∠P+∠4 由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C∴∠A－∠C=2∠P （3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3, 同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3 ∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC∴ ∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠A+∠C=2∠P 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 模型四：风筝（老鹰捉小鸡)模型 结论：∠A+∠O=∠1+∠2； ∠A+∠O=∠2-∠1。 1,如图，证明∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：连接AO。∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2.如图，证明∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：连接AO。∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【典例4】（2023·江苏连云港·校考）【问题情境】已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2） 【分析】[问题再探]（1）如图2中，结论：．连接，延长到．利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用四边形内角和定理解决问题即可． [拓展延伸]（1）①求出，再利用结论，构建关系式即可解决问题． ②根据，可得结论． ③根据，可得结论． （2）结论：．设，．构建方程组求解即可． 【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：． 理由：连接，延长到． ，， ． （2）如图3中，结论：． 理由：连接．，， ，． [拓展延伸]①如图4中，，，， 、的外角平分线相交于点，， ，故答案为：25． ②，，，，故答案为：20． ③，． （2）如图5中，结论：．理由：设，． 则有．②①可得，， 即，故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 【典例4-2】中，，点、分别是边、上的点，点是一动点．令，，． （1）若点在线段上，如图（1）所示，且，则　 　； （2）若点在线段上运动，如图（2）所示，则、、之间的关系为 　　； （3）若点运动到边的延长线上，如图（3）所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； （4）若点运动到形外，如图（4）所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由． 【分析】（1）由平角的定义得出，，，最后用四边形的内角和是即可求得． （2）同（1）的方法． （3）利用三角形的外角的性质即可得出结论． （4）利用外角的性质和对顶角相等即可得出结论． 【解答】解：（1）由平角的定义知， ，， 在四边形中，， 即， ， ． 当时，． 故答案为：． （2）由（1）知，． 故答案为：． （3）．理由如下： 由三角形的外角的性质知， ， ， ， 即． （4）．理由如下： 由三角形的外角的性质知， ， ， ， ， ， 即． 【点评】本题的考点是三角形内角和定理，主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和、三角形的外角的性质、平角的定义，解本题的关键是把，， 转化到一个三角形或四边形中． 【变式4-1】如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和是及三角形的外角定理求解判断即可． 【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E， ，， ， 故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意； 多边形的外角和是，∴∴ 故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A． 【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是是解题的基础 【变式4-2】如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2) (3)猜想，理由见解析(4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）根据，可得，再根据平角的定义可得，则；（2）同（1）求解即可； （3）由三角形的外角的性质知：，，据此可得结论；（4）由三角形的外角的性质知：，，再由，则． 【详解】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，，∴ ∵，∴，∴； （2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，∴ ∵，∴，∴； （3）解：猜想，理由如下：设交于M， 由三角形的外角的性质知：，， ，即； （4）解：，理由如下：设交于M， 由三角形的外角的性质知：，， ，，，即， 模型五：三角形折叠模型 1.如图，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，证明2∠C=∠1+∠2； 证明：连接CC’、EF。∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 2.如图，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，证明2∠C=∠2-∠1。 证明：连接CC’、EF。∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【典例5-1】（2023春•滨湖区期中）如图，把纸片沿折叠，当落在四边形内时，则与之间有始终不变的关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据与的2倍和与的2倍都组成平角，结合的内角和为可求出答案． 【解答】解：纸片沿折叠， ，， ，， 中，， 即． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于及图形翻折变换的性质是解答此题的关键． 【典例5-2】（2023秋•绍兴期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的外角得：，，代入已知可得结论． 【解答】解：由折叠得：， ，， ，，， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键． 【典例5-3】探究题 （1）如图1，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？ （2）把图1中△ABC沿DE折叠，得到图2，填空：∠1+∠2 　　∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），当∠A＝30°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝　　． （3）如图2，是由图1的△ABC沿DB折叠得到的，如果∠A＝40°，则∠BDA+∠CEA＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝　　，猜想：∠BDA+∠CEA与∠A有什么关系？为什么？ 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可知∠1+∠2＝∠B+∠C． （2）利用三角形内角和定理解决问题即可． （3）如图，延长BD交CE的延长线于A′．利用三角形的外角的性质证明即可得出结论：∠BDA+∠CEA＝2∠A． 【解答】解：（1）结论：∠1+∠2＝∠B+∠C． 理由：根据三角形内角是180°， 可知：∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠B+∠C＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2＝∠B+∠C． （2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED＝∠B+∠C+∠BDE+∠CED＝360°， ∴∠1+∠2＝∠B+∠C； 当∠A＝30°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝150×2＝300°； （3）∠BDA+∠CEA＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝360°﹣2×140°＝80°， 如图，延长BD交CE的延长线于A′． ∵∠BDA＝∠DA′A+∠DAA′，∠AEC＝∠EA′A+∠EAA′，∠DA′E＝∠DAE， ∴∠BDA+∠AEC＝2∠DAE， ∴∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA＝2∠A． 故答案为：（2）＝，300°；（3）80°．∠BDA+∠CEA＝2∠A． 【点评】本题考查图形的翻折变换和三角形，四边形内角和定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 【典例5-4】（2023春·江苏宿迁·校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      【答案】（1），（2）；（3）；（4）位置不改变，． 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案；（3）如图，延长，交于点Q，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案；（4）如图，平分，平分，可得，，由对折可得：，， 由（2）的结论可得： ，即，证明，可得． 【详解】（1）结论： 理由：连接，         沿折叠A和重合，∴ ∵， ∴． （2） 理由：连接， 沿折叠A和重合，∴ ∵， ∴； （3）如图，延长，交于点Q，延长，交于点，则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ∴，∴，∵，∴； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ∴，，    由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即∴， ∴， ∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 【变式5-1】（2023春•东方校级月考）三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内（如图），则的度数为　 　度． 【分析】利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得． 【解答】解：，①， ，②， ③， 把①②分别代入③得， 解得 故填100． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理及四边形的内角和为，是中学阶段的基本题目． 【变式5-2】（2023春•襄汾县期末）如图，在中，，比大．点是线段上任意一点，点、分别在线段、上．将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点、都在射线上． （1）　 　，　　，　　． （2）如图1，当点、都落在的延长线上时，与有什么数量关系？请说明理由． （3）如图2，当点落在线段上，点落在的延长线时，请直接写出与的数量关系． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再根据已知条件求出和； （2）由折叠可得：，，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和表示出和，通过代换可得答案； （3）由折叠可得：，，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和表示出和，通过代换可得答案． 【解答】（1），， ， ， ， ， ； 故答案为：，，； （2）由折叠可得：，， ，， ， ，， ， （3）由折叠可得：，， ，， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，解题根据是能够熟练识别图形，找出角与角之间的关系． 模型六：（双）角平分线模型 1.双内角平分线 模型结论： 2∠P=∠A+∠D。 2.双外角平分线 模型结论：． 3.内角平分线+外角平分线 模型结论：． 的度数是． 1.如图在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；证明：。 证明 ：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2.如图，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；证明：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3.如图在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；证明：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 4.如图，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；证明：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 5.如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；证明：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 【典例6-1】（2023春•揭东区月考）如图，在中，和的平分线交于点，若，则　 　． 【分析】求出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可． 【解答】解；， ， 和的平分线交于点， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线、高的定义等知识点，关键是求出的度数． 【典例6-2】（2023春•天宁区校级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则　 　度． 【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出． 【解答】解：平分，平分， ，， ， 同理可得， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出和之间的规律是解题的关键． 【典例6-3】（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 【典例6-4】（2023春•邗江区校级期末）如图1，的外角平分线、交于点． （1）若，则的度数为 　 　． （2）过点作直线，交射线，于点、，并将直线绕点转动． ①如图2，当直线与线段没有交点时，若设，，试探索与，之间满足的数量关系，并说明理由； ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系． 【分析】（1）根据角平分线的定义，求出，，再由它们与各个内角的关系，证明与的关系，代入即可； （2）①根据（1）中与的关系式，平角的定义，列出，与的关系式化简； ②根据（1）中与的关系式，求出，再有平角的定义，列出，与的关系式，化简即可； 【解答】解：（1），分别是和的角平分线， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①由（1）可知，，， ， ， ； ②不成立，理由如下： 如图所示： 由（1）可知，，， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是结合图形，识别角与角之间的关系． 【典例6-5】（2023春•上蔡县期末）问题情境： 如图1，中，平分，平分． （1）探索发现： 若，则的度数为 　 　；若，则的度数为 　　． （2）猜想证明： 试判断与的关系，并说明理由． （3）结论应用： 如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为 　　． 【分析】（1）根据三角形外角的性质，得，，根据角平分线定义，得，，进而得，等量代换得，将的值代入，即可求解； （2）根据三角形外角的性质，得，，根据角平分线定义，得，，进而得，等量代换得； （3）延长，交于点，先根据补角定义求出和的值，再根据三角形内角和定理求出的值，由（2）中的结论，即可求解． 【解答】解：（1）在中，平分，平分， ，， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ， 若，则的度数为， 若，则的度数为． 故答案为：，； （2）猜想：， 理由：在中，平分，平分， ，， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ； （3）如图2，延长，交于点， ，， ，， ， 由（2）得， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，理解（2）中的结论是解题的关键． 【变式6-1】（2023春•邹平市期末）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，求证：． 【分析】先通过角平分线的性质得到与、与间关系，再利用三角形的外角和内角的关系得结论． 【解答】证明：，是的平分线， ． ， ． 是的平分线， ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的推论，掌握角平分线的性质及三角形的外角和内角的关系是解决本题的关键． 【变式6-2】（2023春•德化县期末）如图，在四边形中，，分别平分和，与相交于点，延长，交于点． （1）已知，求的度数； （2）若，，，试探究，，三者之间的等量关系． 【分析】（1）结合已知条件，根据三角形内角和可求得的度数，然后根据角平分线的定义可求得的度数，最后利用三角形内角和即可求得答案； （2）结合已知条件，利用三角形的外角性质分别利用含，的式子表示出，然后将两个式子相加后再利用三角形的内角和进行变形即可求得答案． 【解答】解：（1）， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （2），，，， ，， 平分，平分， ，， ①，②， ①②得：， ， ， ． 【点评】本题考查三角形的内角和及外角性质，角平分线的性质，（2）中利用三角形外角性质并结合已知条件求得，是解题的关键． 【变式6-3】（2023春•南京期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，，分别平分，．求证：； 【继续探索】 （2）如图②，在中，平分，平分外角．求证：； （3）如图③，、分别平分外角，．则与的数量关系是 　　； （4）如图④，中的两内角平分线交于点，两外角平分线交于点，一内角平分线与一外角平分线交于点．设，，，则，，之间的关系是 　　． 【分析】（1）先根据三角形角平分线定义表示出和，再根据三角形内角和定理求解； （2）先根据三角形外角定理求出，再根据三角形内角和定理求解； （3）先根据三角形外角定理求、，再根据三角形内角和定理求解； （4）由（1）、（2）、（3）的结论很容易得出． 【解答】（1）证明：，分别平分，， ，． ； （2）证明：，，， 是的外角， ， ； （3）解：、是的外角， ，， ， ， ， 故答案为：； （4）解：由（1）得， 由（2）得， 由（3）得， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，观察图形，判断出三角形中各角之间的关系是解题关键． 【变式6-4】（2023春•商水县期末）【基本模型】 （1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明． 【变式应用】 （2）如图2，，，分别是射线，上的两个动点，与的平分线的交点为，则点，的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，，作的平分线，是射线上的一定点，是直线上的任意一点（不与点重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为，请直接写出的度数． 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出和，再根据角平分线的定义，，最后由进行等量代换即可； （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出和，再根据角平分线的定义，，最后由进行等量代换即可； （3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出和，再根据角平分线的定义，，最后由进行等量代换即可； 【解答】解：（1）如图1所示： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）的大小不变，理由如下： 如图2所示： ，， ，， 又平分，平分， ，， ， ； （3）或，分两种情况： ①如图3所示： ，， ，， 又平分，平分， ，， ， ； ②如图4所示： ，， ，， 又平分，平分， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的相互关系． 一、单选题 1．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果． 【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°， ∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°， ∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M、N分别为点P在、上的作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到④正确． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点P在的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， ∴平分， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 很明显， ∴错误， 故②错误； ∵点M、N分别为点P在上的作垂线的垂足，的平分线交于点平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故④正确； ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， 故③题正确． 综上所述，①③④正确． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一张三角形纸片，的平分线相交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在点处．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠问题，角平分线定义，连接，由角平分线定义得到，由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，由角平分线定义得到，因此，得到，求出． 【详解】解：连接， ，的平分线相交于点， 平分， ， 由折叠的性质得到， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质，直角三角形的性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等． 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，又折叠前后图形的形状和大小不变，，易求，从而求出的度数． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则， ∴是的外角， ∴． 故选：D． 5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，分别是边上的点，将沿着折叠，得到的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是翻折变换，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 分三种情况讨论，利用翻折变换和平行线的性质可求的度数，再利用排除法可求解． 【详解】解：如图1， 若时， ∴， ∵将沿着者折叠， ∴； 如图2，设与交于点H， 若时， ∴， ∴， ∵将沿着者折叠， ∴； ∴； 如图8， 若时， ∴， ∴， ∵将沿着者折叠， ∴； ∴的度数不可能是， 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，设与交于点，由折叠性质可知，然后由三角形的外角性质得，，然后代入即可求解，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由折叠得：， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵，，， ∴， 故选：． 7．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°， ∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 9.如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得： ， ∴， ∵， ∴， 即． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键． 10．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 二、填空题 11．如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 12.如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解. 【详解】 在中, ， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 在中, ， 故答案为:. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键. 13.如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 14.如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为 ． 【答案】2 【分析】由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得． 【详解】解：沿折叠，使点落在点处， ，， ， 又为的中点，AE=AE' ∴AE:AC=1:3 ， 即， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键． 15．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．    【答案】/90度 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    【答案】/55度 【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 17．（2021·江苏苏州·中考真题）如图．在中，，．若，则 ． 【答案】54° 【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可． 【详解】∵ AF=EF， ∴ ∠A=∠AEF， ∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°， ∴ ∠A=36°， ∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°， ∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°． 故答案为：54°． 【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键． 18.如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ． 【答案】/32度 【分析】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 19.如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 20.（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 三、解答题 21．(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据三角形内角和定理，以及角平分线的定义的； （2）根据平分，平分，可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （3）根据题意可得，根据三角形的内角和定理可得，进而，即可求解． 【详解】解：（1） 理由如下： 平分，平分， ，． 在中，， 在中，， ． ．    （3）． 理由如下： 由四边形内角和定理得 ． 、分别平分和， ． ． 即．    （3）． 理由如下，    ∵ 又∵是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角， ∴ ． 即． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 22．如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、的三等分线交于点、， ∴ ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∵、的等分线交于点、， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键． 23．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，再利用角平分线的定义求得，即可解答； （2）根据平行线的性质，证明，为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 的周长为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，看到平行线之间有角平分线应想到能得到等腰三角形是解题的关键． 24．如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．    (1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数； (2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 【答案】(1) (2) (3)∠A的度数是或或或 【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可 【详解】（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， ∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝55°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°； （2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A， ∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点， ∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB， ∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A， ∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A； （3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠BCF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠BC+2∠E， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E， 即∠E＝A， ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ＝∠ABC+MBC ＝（∠ABC+∠A+∠ACB） ＝90°， 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况： ①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°； ②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°； ③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°； ④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°， 综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． 25.如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 【答案】(1)13cm (2)a、112.5°；b、90°＋x° 【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm． （2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC． 【详解】（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm ∴1＜BC＜7 ∴BC=6 cm ∴三角形的周长为： C△ABC=AB+AC+BC =4+3+6 =13cm （2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×135° =67.5° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−67.5° =112.5° b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°− x° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×(180°− x°) =90°−x° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−(90°−x°) =90°＋x° 【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． 26.如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) (4) 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论； （2）由交点有点，再分类确定即可得到答案； （3）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案； （4）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得． 【详解】（1）证明：∵， 又∵， ∴； （2）交点有点， 以为交点的8字形有1个，为与， 以为交点的8字形有4个，为与，与，与，与， 以为交点的8字形有1个，为与， 所以，“8字形”图形共有6个． 故答案为：6； （3）由（1）可得，①， ②， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①+②，得， 即， 又∵，， ∴， ∴； （4）关系：． 理由：由（1）得①， ② ， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①＋②，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键． 27.如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ∵，， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ③设，， 则，， 则，， 解得， 所以， 即的度数为． 【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 28.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 29.（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【答案】（1）见解析； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【详解】解：（1）如图.   ，， ． ， ； （2）如图.   ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.   直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即． （4）连接   直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 30．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点是射线上的一个定点，点是射线上的一个动点，连接， 把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图，点在的内部，若，，则 ． (2)如图，若，，折叠后点在直线上方，与交于点，且，求的度数及折痕的长． (3)如图，若折叠后，直线，垂足为点，且，，直接写出此时的长． 【答案】(1)； (2)，折痕的长为； (3)的长为或． 【分析】（）根据折叠的性质和三角形内角和定理即可解决问题； （）过点作于点，证明，进而可以解决问题； （）分两种情况讨论并画图，若折叠后直线于点，若点在线段上，若点在线段的延长线上，然后根据勾股定理即可解决问题； 本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 由翻折可知：，， ∴，即， 故答案为：； （2）解：由翻折可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴折痕的长为； （3）解：若折叠后，直线于点，如图， ∵，， ∴， 若点在线段上，如图， 由折叠可知：，， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； 若点在线段的延长线上，如图， 由折叠可知：，， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得：， 综上所述：的长为或． 31．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形中的常见的六种模型 模型一：“A”字模型 1 模型二：“8”模型 5 模型三：飞镖（燕尾）模型 12 模型四：风筝（老鹰捉小鸡)模型 21 模型五：三角形折叠模型 28 模型六：（双）角平分线模型 35 51 模型一：“A”字模型 模型结论：． 如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【详解】解：和是的外角， ． 又， ． 【典例1-1】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【典例1-2】如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝235°，则∠A＝　　度． 【典例1-3】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【变式1-1】（2023春•吴江区月考）已知如图，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于　　 A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　度． 模型二：“8”模型 模型结论： 2∠P=∠B+∠D 1.如图AD、BC相交于点O，连接AB、CD；证明：； 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 2.如图，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；证明：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 【典例2-1】已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由． 【典例2-2】如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 【典例2-3】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　　个； （3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【变式2-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【变式2-2】如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【变式2-3】下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度． 模型三：飞镖（燕尾）模型 模型结论：∠BDC＝∠A+∠B+∠C． ∠O=（∠A+∠C）。 ∠O=（∠D-∠B）。 1.如图，求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C． 【分析】作射线AD，根据三角形的外角性质得到∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2，两式相加即可得到结论； 【解答】证明：作射线AD，如图， ∵∠3＝∠B+∠1，∠4＝∠C+∠2， ∴∠3+∠4＝∠B+∠C+∠1+∠2， ∴∠BDC＝∠B+∠C+∠A． 2.如图，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 证明：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 3.如图，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【典例3-1】如图，，，，的度数是　　 A． B． C． D． 【典例3-2】请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°， ∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F， ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【典例3-3】（2024·江苏·统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则________； 【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； ②直接运用（2）中的结论，试说明：； （5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示） 【变式3-1】如图，中，，为延长线上的一点，于点，，则为　　 A． B． C． D． 【变式3-2】（2023春•高新区校级期中）如图，作于点，与相交于点，若，，则　　，　　． 【变式3-3】探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则　　； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数； ③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，求的度数． 【变式3-4】已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 模型四：风筝（老鹰捉小鸡)模型 结论：∠A+∠O=∠1+∠2； ∠A+∠O=∠2-∠1。 1,如图，证明∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：连接AO。∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2.如图，证明∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：连接AO。∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【典例4】（2023·江苏连云港·校考）【问题情境】已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 【典例4-2】中，，点、分别是边、上的点，点是一动点．令，，． （1）若点在线段上，如图（1）所示，且，则　 　； （2）若点在线段上运动，如图（2）所示，则、、之间的关系为 　　； （3）若点运动到边的延长线上，如图（3）所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； （4）若点运动到形外，如图（4）所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由． 【变式4-1】如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 模型五：三角形折叠模型 1.如图，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，证明2∠C=∠1+∠2； 证明：连接CC’、EF。∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 2.如图，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，证明2∠C=∠2-∠1。 证明：连接CC’、EF。∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【典例5-1】（2023春•滨湖区期中）如图，把纸片沿折叠，当落在四边形内时，则与之间有始终不变的关系是　　 A． B． C． D． 【典例5-2】（2023秋•绍兴期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是　　 A． B． C． D． 【典例5-3】探究题 （1）如图1，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？ （2）把图1中△ABC沿DE折叠，得到图2，填空：∠1+∠2 　　∠B+∠C（填“＞”“＜”“＝”），当∠A＝30°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝　　． （3）如图2，是由图1的△ABC沿DB折叠得到的，如果∠A＝40°，则∠BDA+∠CEA＝360°﹣（∠B+∠C+∠1+∠2）＝　　，猜想：∠BDA+∠CEA与∠A有什么关系？为什么？ 【典例5-4】（2023春·江苏宿迁·校考期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则之间的数量关系为：_______； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时之间的数量关系为：_________； （3）如图3，将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出的平分线，试判断射线的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？      【变式5-1】（2023春•东方校级月考）三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内（如图），则的度数为　 　度． 【变式5-2】（2023春•襄汾县期末）如图，在中，，比大．点是线段上任意一点，点、分别在线段、上．将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点、都在射线上． （1）　 　，　　，　　． （2）如图1，当点、都落在的延长线上时，与有什么数量关系？请说明理由． （3）如图2，当点落在线段上，点落在的延长线时，请直接写出与的数量关系． 模型六：（双）角平分线模型 1.双内角平分线 模型结论： 2∠P=∠A+∠D。 2.双外角平分线 模型结论：． 3.内角平分线+外角平分线 模型结论：． 的度数是． 1.如图在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；证明：。 证明 ：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2.如图，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；证明：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3.如图在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；证明：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 4.如图，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；证明：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 5.如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；证明：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 【典例6-1】（2023春•揭东区月考）如图，在中，和的平分线交于点，若，则　 　． 【典例6-2】（2023春•天宁区校级期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则　 　度． 【典例6-3】（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【典例6-4】（2023春•邗江区校级期末）如图1，的外角平分线、交于点． （1）若，则的度数为 　 　． （2）过点作直线，交射线，于点、，并将直线绕点转动． ①如图2，当直线与线段没有交点时，若设，，试探索与，之间满足的数量关系，并说明理由； ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系． 【典例6-5】（2023春•上蔡县期末）问题情境： 如图1，中，平分，平分． （1）探索发现： 若，则的度数为 　 　；若，则的度数为 　　． （2）猜想证明： 试判断与的关系，并说明理由． （3）结论应用： 如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为 　　． 【变式6-1】（2023春•邹平市期末）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，求证：． 【变式6-2】（2023春•德化县期末）如图，在四边形中，，分别平分和，与相交于点，延长，交于点． （1）已知，求的度数； （2）若，，，试探究，，三者之间的等量关系． 【变式6-3】（2023春•南京期末）【初步认识】 （1）如图①，在中，，分别平分，．求证：； 【继续探索】 （2）如图②，在中，平分，平分外角．求证：； （3）如图③，、分别平分外角，．则与的数量关系是 　 　； （4）如图④，中的两内角平分线交于点，两外角平分线交于点，一内角平分线与一外角平分线交于点．设，，，则，，之间的关系是 　　． 【变式6-4】（2023春•商水县期末）【基本模型】 （1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明． 【变式应用】 （2）如图2，，，分别是射线，上的两个动点，与的平分线的交点为，则点，的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，，作的平分线，是射线上的一定点，是直线上的任意一点（不与点重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为，请直接写出的度数． 一、单选题 1．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，中，的平分线交于点P，下列结论：①平分；②；③；④若点M、N分别为点P在、上的作垂线的垂足，则．其中正确的是（     ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，一张三角形纸片，的平分线相交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在点处．若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，分别是边上的点，将沿着折叠，得到的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的处，折痕为．如果，，，那么下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 9.如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 10．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 12.如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．    13.如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 14.如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为 ． 15．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．    16．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    17．（2021·江苏苏州·中考真题）如图．在中，，．若，则 ． 18.如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ． 19.如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 20.（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      三、解答题 21．(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．    22．如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 23．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 24．如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．    (1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数； (2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 25.如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 26.如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 27.如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 28.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 29.（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    30．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）如图，，点是射线上的一个定点，点是射线上的一个动点，连接， 把沿折叠，点落在所在平面内的点处． (1)如图，点在的内部，若，，则 ． (2)如图，若，，折叠后点在直线上方，与交于点，且，求的度数及折痕的长． (3)如图，若折叠后，直线，垂足为点，且，，直接写出此时的长． 31．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$