精品解析：重庆市2024-2025学年高二上学期1月期末联合检测数学试题（康德卷）

2024年秋高二（上）期末联合检测试卷 数 学 数学测试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方向向量的定义即可求解. 【详解】的方向向量是与向量共线的向量，故D符合, 故选：D 2. 已知是等差数列，，，则（ ） A. 0 B. 5 C. 10 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由于，解得， 故， 故选：A 3. 若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入点的坐标可得，即可得标准方程求解. 【详解】将代入可得，解得， 故抛物线的标准方程为， 故准线方程为， 故选：A 4. 在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正四面体的性质可得为重心，则有，再借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】在正四面体中，为正三角形，则点为重心， 故，故， 故. 故选：B. 5. 已知，设双曲线和椭圆的离心率分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线和椭圆离心率求法可得，计算可得结果. 【详解】易知，， 由可得，解得； 所以. 故选：C 6. 甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】通过电线杆高度以及仰角的正切值来计算甲、乙两人到电线杆底部的距离，进而求出两人在地平面上的最远距离. 【详解】设甲到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，甲测得电线杆顶部仰角为. 根据正切函数，对于仰角，. 所以米. 同理，设乙到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，乙测得电线杆顶部仰角为. 对于仰角，. 所以米. 则两人在地平面上的最远距离为甲到电线杆底部的距离与乙到电线杆底部的距离之和. 即米. 故选：C. 7. 已知正项数列对，，都有，，记前n项和为，则（ ） A. 80 B. 93 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在已知递推式中，利用赋值法，令可得，令可得，进而可知正项数列是首项，公比为的等比数列，再利用等比数列前项和公式即可求解. 【详解】∵对，，都有， ∴当时，有，解得或（舍去）； 当时，对，都有， ∴正项数列是首项，公比为的等比数列. 由等比数列前项和公式可知：. 故选：D. 8. 已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平行可知截面为正六边形，然后截面面积可求得正方体边长.再结合正方体中截面EFG可得，进而可判断点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，轨迹长度即可求解. 【详解】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示， 由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长. 因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且， ，即，解得. ∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由椭圆定义可知，则点在以为圆心为半径的圆内，即可判断各选项. 【详解】由已知可得， 即点在以为圆心为半径的圆内，且点，不重合， 即点在圆内， 由，在圆内， 在圆上，在圆外， 可知AC选项正确； 故选：AC. 10. 已知圆，，则（ ） A. 时，和外离 B. 时，和有三条公切线 C. 若和相交且公共弦所在直线方程为，则 D. 若和相交且公共弦长为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆心间距离及与半径和及半径差的关系判断圆与圆的位置关系及圆与圆的公切线判断A，B，根据两圆的相交关系，结合圆的方程求相交弦方程判断C，由相交弦与圆的半径及弦心距的几何关系求弦长判断D. 【详解】A：圆的圆心为，半径为. 圆，的圆心为，半径为. ，， 所以两个圆外离，A选项正确， B：圆的圆心为，半径为. 圆，的圆心为，半径为. ，， 所以两个圆外切，和有三条公切线，B选项正确， C：由两圆方程相减可得，即为公共弦所在直线方程， 若和相交且公共弦所在直线方程为，则，所以，C正确； D：由知：到的距离为， 而圆的半径，所以，则，D错误； 故选：ABC. 11. 已知等差数列的前n项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 当时，取最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，，即可求解AD，根据等差数列的性质，结合作差法可求解C，举反例即可求解B. 【详解】由题意有，，故， 由于，则有，， 则当时，取最大值，AD正确， 故，C正确， 若的前5项分别为4，1，满足，，但，故B错误， 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间直角坐标系中的一点，则点Q在平面上的射影点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作边长为1的正方体，建立空间直角坐标系观察可得. 【详解】以棱长为1的正方体的共顶点的三条棱所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图，由图可知，点Q在平面上的射影为点P，坐标为. 故答案为： 13. 若抛物线与直线相交于原点O和点P，抛物线的焦点为F，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求得抛物线的焦点坐标及，在中利用正弦定理即可求解. 【详解】联立方程组，解得或，故. 又F为抛物线的焦点，，，. 在中，由正弦定理可得：，. 故答案为：. 14. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， 因为两直线，始终垂直，点C是两条直线的交点， 所以有，所以点C的轨迹方程是， 所求可以看成点C与点连线的斜率， 如图象，求出过M点的切线斜率即可，设切线为，即. 根据相切的条件构造方程，即,解得. 可得最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，为数列的前n项和，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列总满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用,求得; (2)利用裂项相消法，求得. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，， 由，当时，，符合 综上所述，； 【小问2详解】 ， 则； 故. 16. 已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率以及弦长解方程可得，的值； （2）分别讨论直线AB斜率是否存在，联立椭圆方程并得出的表达式再由函数单调性可得最值. 【小问1详解】 依题意不妨取右焦点，如下图所示; 易知椭圆C过点，则，得， 又因为得， 解得，， 椭圆C的方程为； 【小问2详解】 显然，设， 当直线AB斜率不存在时，可得，此时； 当AB斜率存在，设直线， 与椭圆方程联立可得， 则，则， 令，，， 则， 当，时，等号成立； 综上可得最大值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且． （1）求PC中点G到平面PAD的距离； （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建系标点，求平面PAD的法向量，利用空间向量求点到面的距离； （2）分别求平面PAB、平面PCD的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 作交AD于E，则， 以B为坐标原点，BC，BE，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 因为G为PC中点，故， 可得，， 设平面PAD的一个法向量为，则， 令，则，可得， 所以G到平面PAD的距离为． 【小问2详解】 由（1）可得：， 设平面PAB的一个法向量为，则， 令，则，可得， 设平面PCD的一个法向量为，所以， 令，则，可得， 设平面PAB与平面PCD的夹角为，由题设可得为锐角， 则，可得， 所以平面PAB与平面PCD夹角的正弦值为． 18. 已知数列的前项和满足，且，． （1）求数列的通项公式； （2）集合，数列为等比数列且，如果数列为递减数列，求等比数列的公比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退一相减法可得数列的通项公式； （2）根据（1）可确定，设等比数列通项公式，根据数列的单调性列不等式，分情况讨论解的情况，即可得解. 【小问1详解】 由题意当时， ，解得， ①， 当时②， 由①②得，即，则， 当时，则，，与矛盾， 当时，则，，满足，即， 则数列是公差为的等差数列，即数列的通项公式； 【小问2详解】 由（1）得，， ，即集合为正整数集， 依题意设，且数列的各项都为正整数，则，， 当时，若，则， 即存在，即存在不为正整数，故时不合题意， 当时，， 由得，必然存在使成立， 故存在，这与为递减数列相矛盾，故时不合题意， 当时，则，即，而为递减数列，故时合题意， 综上所述，等比数列的公比． 19. （1）在平面直角坐标系中，点绕坐标原点O逆时针旋转得到点．试证明：点的轨迹方程为． （2）若点P在曲线上运动，现将点P绕坐标原点O顺时针旋转得到点M，求点M的轨迹方程． （3）若直线l过点且与（2）中M点的轨迹在y轴右侧交于A，B两点，，求直线l的方程． 【答案】 （1）证明：设直线OP的倾斜角，直线OQ的倾斜角为， 则．，，， ，即， 所以. （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直线倾斜角之间的关系与两角和的正弦、余弦公式即可证明； （2）设点，点，由（1）可知，化简后结合点P在曲线上运动即可求解； （3）根据直线与双曲线的位置关系，结合双曲线的第二定义可求直线方程. 【详解】解：（1）略 （2）设点，点， 由（1）的结论可得， 化简得，即， 因为点P在曲线上运动，所以， 则点M的轨迹方程. （3）由题意知F为双曲线的右焦点， 若A在x轴上面，过A，B两点分别向准线作垂线交准线于，， 过点B向作垂线交于点C， 设，则，由双曲线第二定义得，， 在中，，，则， 所以， 所以直线l的方程为. 若点A在x轴下面，同理可得， 直线l的方程为或. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋高二（上）期末联合检测试卷 数 学 数学测试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等差数列，，，则（ ） A. 0 B. 5 C. 10 D. 15 3. 若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（ ） A. B. C. D. 5. 已知，设双曲线和椭圆的离心率分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知正项数列对，，都有，，记前n项和为，则（ ） A. 80 B. 93 C. D. 8. 已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，，则（ ） A. 时，和外离 B. 时，和有三条公切线 C. 若和相交且公共弦所在直线方程为，则 D. 若和相交且公共弦长为，则 11. 已知等差数列的前n项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 当时，取最大值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间直角坐标系中的一点，则点Q在平面上的射影点的坐标为__________． 13. 若抛物线与直线相交于原点O和点P，抛物线的焦点为F，则的值为__________． 14. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，为数列的前n项和，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列总满足，求数列的前n项和． 16. 已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且． （1）求PC中点G到平面PAD的距离； （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的正弦值． 18. 已知数列的前项和满足，且，． （1）求数列的通项公式； （2）集合，数列为等比数列且，如果数列为递减数列，求等比数列的公比． 19. （1）在平面直角坐标系中，点绕坐标原点O逆时针旋转得到点．试证明：点的轨迹方程为． （2）若点P在曲线上运动，现将点P绕坐标原点O顺时针旋转得到点M，求点M的轨迹方程． （3）若直线l过点且与（2）中M点的轨迹在y轴右侧交于A，B两点，，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $