第10章 相交线、平行线与平移（单元复习 6个知识点+15类题型突破）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪科版2024）

第10章 相交线、平行线与平移 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【知识点6】平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点提醒： （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 要点提醒： （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 03 题型归纳 题型一　对顶角、领补角的定义理解 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，与互为对顶角的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角的意义，掌握对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的意义，一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，进行判断即可． 【详解】解：根据对顶角的意义得，C选项的图象符合题意， 故选：C． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边的角．解决本题的关键是根据对顶角的定义进行判断． 【详解】解：A选项:和不是由两直线相交形成的，故A选项不符合题意； B选项:和不是由两直线相交形成的，故B选项不符合题意； C选项:和不是由两直线相交形成的，故C选项不符合题意； D选项:和是由两直线相交形成的，有公共顶点，没有公共边，故D选项合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】邻补角的定义理解、找邻补角 【分析】此题考查了邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义求解判断即可． 【详解】解：A、和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； B、和不是邻补角，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，故此选项符合题意； D、和不是邻补角，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（22-23七年级下·广西南宁·期中）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题主要考查了对顶角．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案． 【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的∠1与∠2不互为邻补角； 根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角． 故选：D． 4．（23-24七年级下·云南昭通·期中）下列四个图中，与互为邻补角的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查了邻补角的定义，正确掌握邻补角的定义是解题的关键，根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，作出判断即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有选项C中的是邻补角， 故选：C． 题型二　对顶角、领补角性质的应用 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)平分，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可； （3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可； （4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论． 【详解】（1）解：根据题意：的对顶角是； （2）解：平分， ， ； （3）解：与为对顶角， ， ，即． 平分， ， ， ， ． 又平分， ， ； （4）解：平分，理由如下： ， ． ， ， ， ， 平分． 巩固训练 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线相交于点． (1)若，则的余角有__________． (2)若，求和的度数． 【答案】(1)， (2)，． 【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的余角、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一要点． （1）由垂线的性质求得，然后根据等量代换及余角的定义解答； （2）根据垂直的定义求得，再由求得，然后根据邻补角定义和对顶角的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ，即， ∵， 的余角有：，； 故答案为：，； （2）解：， ， ，， ∴， ， ∴． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，O是直线上一点，过点O作、、三条射线，平分，． (1)若，则的度数为___________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若过点O作射线使得，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为； (3)的度数为或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条件找到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键． （1）由条件平分可得，再由条件可得，通过等量代换即可得到的度数； （2）由条件，并结合（1）的结论，可得，再利用为平角找出等量关系列出等式，即可求解的度数； （3）分射线在的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算的度数，再根据与互补的关系即可得解． 【详解】（1）平分， ． ， 同理，， ， ． （2）由题可知，， ． ， ， 由题可知为平角， ， 即， ， 的度数为． （3）当在内部时，如图①， 则． ； 当在外部时，如图②， 则， ． 综上所述，的度数为或． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知同一平面内，． (1)求的度数； (2)若平分，平分，求的度数． 【答案】(1)或 (2)的度数为 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）分在的内部和外部两种情况解答． （2）分在的内部和外部两种情况解答． 本题考查了角的平分线，角的和，分类思想，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①所示， 当在内部时， ； 当在外部时， 故的度数为或．． （2）①如图②，当在内部时， ∵平分，平分， ∴ ∴； ②如图③，当在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴． 综上所述，的度数为． 题型三　垂线的定义的理解与应用 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（   ） A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线 C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解 【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键． 直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案． 【详解】解：A、为直线上的一点，Q为外一点，过P可画直线垂直于，正确，不合题意； B、为直线上的一点，Q为外一点，过Q可画直线的垂线，正确，不合题意； C、连接不能保证，故错误，符合题意； D、为外一点，可以过Q可画直线与垂直，正确，不合题意； 故选∶C． 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：因为，， 所以直线与重合， 其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解 【分析】题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴点B到的垂线段是线段，故本选项错误，符合题意； B、∵， ∴和互相垂直，故本选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴与互相垂直，故本选项正确，不符合题意； D、∵， ∴线段的长度是点A到的距离，故本选项正确，不符合题意． 故选A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【知识点】垂线段最短 【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可． 【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中线段的长度，即为米． 故答案为： 题型四　利用垂线的定义求角的度数 例题：（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解； （2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵若， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 解得. ∴． 巩固训练 1．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，直线交于点O，，垂足为O，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义、角平分线的定义． （1）根据邻补角的定义求得，然后根据垂直的定义即可求解； （2）根据角平分线的定义以及对顶角的性质求得，然后根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵直线交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角以及垂线，理解角平分线的定义，邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：由于，可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查垂直定义和对顶角相等的知识，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键． （1）根据对顶角相等可得，然后利用角的和差计算求解； （2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与交于点O，是内的射线，且平分，过点O作． (1)的对顶角是　　　　，的邻补角是　　　　． (2)若，求的度数 【答案】(1)， (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】（1）根据对顶角的定义（有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角）和邻补角的定义（两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角）即可得； （2）先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平角的定义可得． 【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是． 故答案为：， （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角和邻补角的定义、与角平分线、垂直有关的计算，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． 4．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线，相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用邻补角互补求角度、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义，邻补角的定义，掌握概念并准确识图，找准各角之间的关系是关键 （1）根据垂直的定义可得，再求出，然后根据平角等于求解； （2）根据垂直的定义可得，根据求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ∴． 题型五　点到直线的距离与垂线段最短 例题：（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A． B．  C．  D．   【答案】B 【知识点】画垂线 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点且垂直，故符合题意； 选项C中三角板不过点，故不符合题意； 选项D中三角板过点但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短． 故选C． 2．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（   ） A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短，点到一直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，据此可判断A、C、D，根据垂线段最短可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴线段的长是点P到直线的距离，原说法正确，不符合题意； B、∵， ∴由垂线段最短可知，三条线段中，最短，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，符合题意； D、∵， ∴线段的长是点C到直线的距离，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、点到直线的距离、垂线段最短、对顶角的定义 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，点到直线的距离，对顶角定义，解题的关键是理解相关定义．根据垂线段定义，垂线段性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，①说法错误； 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为时，这两条直线互相垂直，②说法正确； 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③说法错误； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，④说法正确． 综上分析可知：说法正确的有2个． 故选B 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)两点之间线段最短 【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键． （1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可； （2）根据可得点到直线的距离为线段的长度； （3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为． 【详解】（1）连接，连接并延长，即得． （2）点到直线的距离为线段的长度 故答案为： （3）连接，交于点， 则， 当点O运动到上时，，最小， 则，最小． 故答案为：两点之间线段最短． 题型六　同位角、内错角、同旁内角的辨别 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 【详解】解：A选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的，都在被截直线的上方，在截线的右侧，符合同位角的位置关系，所以和是同位角，故A选项符合题意； B选项：和不是两条直线被第三条直线所截形成的，所以不是同位角，故B选项不符合题意； C选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的右侧，在截线的左侧，所以和不是同位角，故C选项不符合题意； D选项：和不是两条直线被第三条直线所截形成的，所以不是同位角，故D选项不符合题意； 故选：A ． 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列四个选项中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了内错角“两条直线被第三条直线所截，若两个角都在这两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样的一对角叫做内错角”，熟记内错角的定义是解题关键．根据内错角的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是内错角，则此项不符合题意； B、与是内错角，则此项符合题意； C、与不是内错角，则此项不符合题意； D、与不是内错角，则此项不符合题意； 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“”形． 根据内错角定义∶两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解∶A、与不是内错角，故此选项不符合题意； B、与不是内错角，故此选项不符合题意； C、与不是内错角，故此选项不符合题意； D、与是内错角，此选项符合题意； 故选∶D． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是对顶角 D．与是内错角 【答案】C 【知识点】对顶角的定义、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为方向延长线的两个角互为对顶角，分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是同位角，原说法正确，不符合题意； B、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； C、与不是对顶角，原说法错误，符合题意； D、与是内错角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）如图，下列结论正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【知识点】对顶角的定义、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查对顶角、同位角、内错角、同旁内角，解题的关键根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．与不是对顶角，故此选项不符合题意； B．与是同位角，故此选项符合题意； C．与不是内错角，故此选项不符合题意； D．与不是同旁内角，故此选项不符合题意． 故选：B． 题型七　添加一条件使两条直线平行 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，有下列条件：①；②；③；④．其中能得到的是 ．（请填写序号） 【答案】②③/③② 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ； ④， ， 能够得到的条件是②③， 故答案为：②③． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．添加：，再加上条件可得，再根据同位角相等两直线平行可得． 【详解】解：添加：， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线分别与直线，相交于点E，C，若要使，则可添加的条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行可知添加条件即可． 【详解】解：可以添加，可根据同位角相等，两直线平行得到， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答（答案不唯一）． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为或或或．（答案不唯一） 题型八　平行线的判定 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． (1)∵（已知） ∴____________（   ） (2)∵（已知） ∴（   ） (3)∵（已知） ∴（   ） (4)∵（已知） ∴____________（   ） 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行 (2)同位角相等，两直线平行 (3)同旁内角互补，两直线平行 (4)，同位角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判断，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） （2）∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） （3）∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） （4）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） 巩固训练 1．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角性质．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】∵平分， ∴（角平分线定义）， ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：；角平分线定义；对顶角相等；等量代换；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 2．（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知） __________，__________．（    ） 又，（已知） ____________________．（等量代换） 又，（已知） ____________________．（等量代换） ∴．（__________） 【答案】；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：平分，平分， ，（角平分线的定义）， 又∵， （等量代换）， 又， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为： ；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行． 3．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【答案】，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行、同(等)角的余(补)角相等的应用、利用邻补角互补求角度 【分析】此题考查了平行线的判定，根据同角的补角相等得到，等量代换得到，则． 【详解】解：将的邻补角记作，则 （邻补角的定义） 因为（已知） 所以（同角的补角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 4．（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且，求证：． 证明：（已知） （已知） （ ） （______） 【答案】，，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据垂直的定义和同角的余角相等，可得到，最后根据内错角相等两直线平行即可判定，从而得到答案． 【详解】证明：（已知） （已知） （同角的余角相等） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 5．（23-24七年级下·福建漳州·期中）完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；同平行于一条直线的两条直线互相平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定，熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键． 先由，得到再由，得到，最后得到． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）． ， ． （同平行于一条直线的两条直线互相平行）． 题型九　根据平行线的性质与判定综合问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 【答案】，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键； 根据平行线性质推出，根据平行线判定推出，根据平行线判定推出，求出即可． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等） 又， ， （内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ； 故答案为：，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补； 巩固训练 1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解 【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定； （2）结合（1）可得，，从而可求的度数． 本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ． 由（1）可得：，， ，， ． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，再结合得出，即可得证； （2）由平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，推出，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ∴； （2）解：， 平分，平分 ， ， ， ． 题型十　平行线的性质在生活中的应用 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，过点B作，先由平行线的性质推出，，再由平行线的性质推出，，再由可得答案． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为 ． 【答案】#100度 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，最后由平行线的性质和角度和差即可求解，掌握平行线的性质，平行公理推论的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 【答案】/23度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图所示：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 【答案】60 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处，若已知支架，可以绕着点自由旋转，当点旋转到如图所示的位置时，，此时为 ． 【答案】/44度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 题型十一　平行线间的距离问题 例题：（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【答案】或 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当在和的同侧时，距离为； 当在之间时，距离为， 故答案为：或． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， ， 的面积等于， ， ，则的面积是 . 【答案】 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等． 【详解】如图，过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积等于，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】(1)平行，见解析 (2)8 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、求平行线间的距离 【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离： （1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 题型十二　生活中的平移及图形的平移 例题：（23-24七年级下·云南红河·期末）“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可． 【详解】解：根据题意， 可得：“朋”可以通过平移得到． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）下列现象可以看作数学中的平移的是（　　） A．瓶装饮料在传送带上移动 B．小朋友荡秋千 C．骑自行车时的轮胎滚动 D．“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、瓶装饮料在传送带上移动，是平移，符合题意； B、小朋友荡秋千不是平移，不符合题意； C、骑自行车时的轮胎滚动不是平移，不符合题意； D、“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动不是平移，不符合题意； 故选A． 2．（23-24七年级下·全国·阶段练习）在如图的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； B、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； C、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； D、图案能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）下列现象中属于平移的是（    ） A．火箭从点火开始垂直上升 B．小朋友荡秋千 C．凌云塔倒印在洞庭湖湖面上 D．五星红旗迎风飘扬 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了平移定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．根据平移的定义，对选项进行一一分析判断，即可解题． 【详解】解：A、火箭从点火开始垂直上升是平移，符合题意； B、小朋友荡秋千是旋转，不符合题意； C、凌云塔倒印在洞庭湖湖面上是对称，不符合题意； D、五星红旗迎风飘扬不是平移，不符合题意； 故选：A． 题型十三　利用平移的性质求解 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图，（）沿着射线平移至的位置，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质求出的长，的长，利用梯形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 【答案】 /30度 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质“平移前后对应边相等、对应角相等”解答即可． 【详解】解：是由平移得到的， 点、、的对应点分别是、、， ∵，，， ∴，，， 故答案为：、、；；；． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，△经过一次平移到△的位置，请回答下列问题： （1）点的对应点是点 ， ， ； （2）连接，那么平移的方向就是 的方向，平移的距离就是线段 的长度，可量出约为 cm； （3）连接、、，与线段相等的线段有 ． 【答案】 点到点的方向 2 、 【知识点】利用平移的性质求解 【详解】本题考查了平移的性质，熟记平移性质是解题的关键，是基础题，难度不大． （1）根据平移前后的三角形的对应顶点填写； （2）根据平移的性质进行解答； （3）根据平移的性质，对应点的连线相等进行解答． 【解答】解：（1）观察图形可知，点与点是对应点，与是对应角，与是对应边； 故答案为：，，； （2）根据对应点的连线就是平移的方向，线段的长度等于平移的距离， 故答案为：点到点的方向，，2； （3）对应点的连线都等于平移的距离，相等， 故答案为：、． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点D，如果，，那么四边形的面积 ． 【答案】72 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】此题主要考查了图形的平移，根据平移的性质和点是的中点求出，，再由求出，利用即可求出四边形的面积．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质可知，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，将直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，交于点G，，三角形的面积为4，下列结论： ①；②；③三角形平移的距离是4；④；⑤四边形的面积与四边形的面积的和为40． 其中正确的结论是 ． 【答案】①②④⑤ 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．利用平移变换的性质一一判断即可． 【详解】解：直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ，， ， ， ，故①正确， 由平移的性质可得， ，故②正确， 平移的距离是线段的长，， 平移的距离大于4，故③错误， ， ， ， ， ，故④正确， 四边形的面积， 由平移的性质可得四边形的面积与四边形的面积相等， 四边形的面积与四边形的面积的和为40． 故⑤正确， 故答案为：①②④⑤ 题型十四　平移作图 例题：（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可； （2）根据平移的性质进行判断． 【详解】（1）解：如图，△DEF为所作； ； （2）解：线段与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 【答案】(1)图见详解 (2)2 【知识点】点到直线的距离、平移(作图) 【分析】本题主要考查了平移作图以及点到直线的距离． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质结合网格即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：点A到的距离为2个单位长度， 故答案为：2． 2．（21-22七年级下·安徽六安·期末）如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质： （1）根据点A和点的位置可知平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，据此平移方式确定的位置，描出，再顺次连接即可； （2）先根据题意连线，再由平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：作图如下所示： 由平移的性质可得， 故答案为：，． 题型十五　平移与平行线的综合问题 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1) (2)3 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由平移的性质得出，进而可证，即可求解． 【详解】（1）解：由平移可知， ∴， ∴． （2）由平移可知， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3． 巩固训练 1．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 相交线、平行线与平移 01 思维导图 02 知识速记 【知识点1】对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【知识点6】平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点提醒： （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 要点提醒： （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 03 题型归纳 题型一　对顶角、领补角的定义理解 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，与互为对顶角的是（） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（    ） A．B．C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（22-23七年级下·广西南宁·期中）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A．B． C． D． 4．（23-24七年级下·云南昭通·期中）下列四个图中，与互为邻补角的是（    ） A．B．C．D． 题型二　对顶角、领补角性质的应用 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 巩固训练 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线相交于点． (1)若，则的余角有__________． (2)若，求和的度数． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，O是直线上一点，过点O作、、三条射线，平分，． (1)若，则的度数为___________； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若过点O作射线使得，求的度数． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知同一平面内，． (1)求的度数； (2)若平分，平分，求的度数． 题型三　垂线的定义的理解与应用 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（   ） A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线 C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 题型四　利用垂线的定义求角的度数 例题：（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 巩固训练 1．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，直线交于点O，，垂足为O，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 2．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线与交于点O，是内的射线，且平分，过点O作． (1)的对顶角是　　　　，的邻补角是　　　　． (2)若，求的度数 4．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线，相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型五　点到直线的距离与垂线段最短 例题：（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（     ） A． B．  C．  D．   巩固训练 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）如图，点P是直线外的一点，点在直线上，且，垂足是点，则下列判断不正确的是（   ） A．线段的长是点P到直线的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 4．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 题型六　同位角、内错角、同旁内角的辨别 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列四个选项中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，下列说法错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是对顶角 D．与是内错角 4．（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）如图，下列结论正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 题型七　添加一条件使两条直线平行 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，有下列条件：①；②；③；④．其中能得到的是 ．（请填写序号） 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是 ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线分别与直线，相交于点E，C，若要使，则可添加的条件是 ．（写出一个即可） 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 题型八　平行线的判定 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． (1)∵（已知） ∴____________（   ） (2)∵（已知） ∴（   ） (3)∵（已知） ∴（   ） (4)∵（已知） ∴____________（   ） 巩固训练 1．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图与相交于点C，，且平分．求证：． 请完成下列推理过程： 证明：∵平分， ∴____________（____________）． ∵（____________） ∴（____________） ∵， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 2．（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知） __________，__________．（    ） 又，（已知） ____________________．（等量代换） 又，（已知） ____________________．（等量代换） ∴．（__________） 3．（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 4．（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）完成下面推理及填空： 已知：如图，在中，于点，是上一点，且，求证：． 证明：（已知） （已知） （ ） （______） 5．（23-24七年级下·福建漳州·期中）完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 题型九　根据平行线的性质与判定综合问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知：，，，求的度数. 解：， ________（________） 又， ________ ________（________） ________，（________） ， ________. 巩固训练 1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型十　平行线的性质在生活中的应用 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为 ． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为 ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处，若已知支架，可以绕着点自由旋转，当点旋转到如图所示的位置时，，此时为 ． 题型十一　平行线间的距离问题 例题：（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图， ， 的面积等于， ， ，则的面积是 . 2．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 3．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 题型十二　生活中的平移及图形的平移 例题：（23-24七年级下·云南红河·期末）“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川遂宁·期末）下列现象可以看作数学中的平移的是（　　） A．瓶装饮料在传送带上移动 B．小朋友荡秋千 C．骑自行车时的轮胎滚动 D．“神舟”十八号宇宙飞船绕地球运动 2．（23-24七年级下·全国·阶段练习）在如图的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）下列现象中属于平移的是（    ） A．火箭从点火开始垂直上升 B．小朋友荡秋千 C．凌云塔倒印在洞庭湖湖面上 D．五星红旗迎风飘扬 题型十三　利用平移的性质求解 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图，（）沿着射线平移至的位置，若，则图中阴影部分的面积为 ． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）如图，△经过一次平移到△的位置，请回答下列问题： （1）点的对应点是点 ， ， ； （2）连接，那么平移的方向就是 的方向，平移的距离就是线段 的长度，可量出约为 cm； （3）连接、、，与线段相等的线段有 ． 3．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点D，如果，，那么四边形的面积 ． 4．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，将直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置，交于点G，，三角形的面积为4，下列结论： ①；②；③三角形平移的距离是4；④；⑤四边形的面积与四边形的面积的和为40． 其中正确的结论是 ． 题型十四　平移作图 例题：（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． (1)请你作出平移后的图形； (2)线段与的关系是：______ 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 2．（21-22七年级下·安徽六安·期末）如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 题型十五　平移与平行线的综合问题 例题：（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 巩固训练 1．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 2．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$