第10章 相交线、平行线与平移（单元复习 3大易错+5大压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪科版2024）

第10章 相交线、平行线与平移 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　平行线的判定和性质多结论题 1 易错题型二　旋转使两直线平行的多解题 6 易错题型三　角的边平行的多解问题 13 【压轴题型】 17 压轴题型一　平行线的判定和性质综合问题 17 压轴题型二　根据平行线的判定与性质探究角的关系 25 压轴题型三　根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 35 压轴题型四　根据平行线的判定与性质接解决光线问题 42 压轴题型五　根据平行线的判定与性质探解决平移问题 50 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　平行线的判定和性质多结论题 例题：（24-25七年级上·四川内江·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，过点D作交于点A，连接，若．以下四个结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，，平分，平分，关于下列结论：①，②，③平分，④，正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 3．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 4．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图，，为上一点，，过点作于点，且，且平分，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③ 易错题型二　旋转使两直线平行的多解题 例题：（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，． （1）若，则的度数为 ； （2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动 秒后，与平行． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）． 易错题型三　角的边平行的多解问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角α比另一个角的4倍少30度，则角α的度数为 ． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）画一画：在图①中，以P为顶点画（为锐角），使的两边分别与的两边平行；再在图②中，以P为顶点画（为钝角），使的两边分别与的两边平行． （2）量一量：量出与的度数，它们之间的数量关系是_______． （3）猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这个两个角的数量关系是_______． （4）做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为，求另一个角的大小． 2．（23-24六年级下·山东泰安·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，问：与相等吗？为什么？ (2)如图②，，问：与互补吗？为什么？ (3)经过上述探索与推理，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角____________； (4)若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，则这两个角分别是多少度？ 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平行线的判定和性质综合问题 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)猜想与是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别在线段上，连接，过点F作分别交于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，交于点F，点C在的延长线上，．    (1)若，求的度数． (2)若，求证：． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若，求的度数． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知：中，D、E、F、G分别在、和上，连接、和，，． (1)判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求的度数． 6．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点E是直线上的一点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连结，若，，则是否平分？请说明理由． 7．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、被直线所截，分别交、于点、，平分交于点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点为射线上一点，连接．平分交于点，，求的度数． 压轴题型二　根据平行线的判定与性质探究角的关系 例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 巩固训练 1．（23-24七年级下·吉林四平·期末）已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图) (1)如图1，当点在线段上时， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则__________(填度数)． (2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明． (3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明． 2．（23-24七年级下·四川泸州·阶段练习）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 3．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）【问题背景】 如图，线段的端点M、N分别在直线，上，E为，之间一点，连接NE，过点E作，交于点F，． 【问题探究】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点P，若平分，交于点Q． ①若，求的度数； ②判断与之间的数量关系，并说明理由． 4．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 压轴题型三　根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 压轴题型四　根据平行线的判定与性质接解决光线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直． (1)求的度数： (2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 3．（23-24七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术，如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是_____； （2）如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，，之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图3，在（2）的条件下，在，之之间，MN左侧再取一点Q，连接，，，若使求与之间的数量关系． 压轴题型五　根据平行线的判定与性质探解决平移问题 例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 巩固训练 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 相交线、平行线与平移 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　平行线的判定和性质多结论题 1 易错题型二　旋转使两直线平行的多解题 6 易错题型三　角的边平行的多解问题 13 【压轴题型】 17 压轴题型一　平行线的判定和性质综合问题 17 压轴题型二　根据平行线的判定与性质探究角的关系 25 压轴题型三　根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 35 压轴题型四　根据平行线的判定与性质接解决光线问题 42 压轴题型五　根据平行线的判定与性质探解决平移问题 50 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　平行线的判定和性质多结论题 例题：（24-25七年级上·四川内江·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质证明、三角板中角度计算问题等知识点，掌握相关结论即可．若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④； 【详解】解：若，则， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； 若，则； ∴，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； 若，由③得， 由①得：， ∴，故④正确； 故选：D 巩固训练 1．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，过点D作交于点A，连接，若．以下四个结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】先由平行线的性质得到，，进而得到，则，即可推出，进而得到，则，进一步得到，则，根据现有条件无法证明平分，由此可得答案．本题主要考查了平行线的性质与判断，解题的关键是掌握平行线的性质和判断． 【详解】解：， ，， ， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， ，故④正确； 根据现有条件无法证明平分，故③错误； 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，，平分，平分，关于下列结论：①，②，③平分，④，正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据，， ，可得，即可判断③正确；再证明，即可判断①正确；根据不一定是等腰直角三角形，可判断②错误；由①得：，即有，结合平分，即可得，问题得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分．故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； 若，则是等腰直角三角形， 而不一定是等腰直角三角形，故②错误； 由①得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴．故④正确． 故选：D． 3．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、垂线的定义理解 【分析】本题考查平行线的性质、垂线、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 由可得，由平分可得可判定①；根据垂直的定义、交的和差可判定②正确；再结合角平分线的定义可判定③；先说明，而不一定成立即可判定④． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴，即①正确； ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴,，即③正确； ∴ ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， 而题目中不能得到，故④错误． 故选：B． 4．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图，，为上一点，，过点作于点，且，且平分，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解：∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误； 综上，正确的是①②， 故选：A． 易错题型二　旋转使两直线平行的多解题 例题：（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是含有角的三角板， ∴，，， ∵是含有的三角板， ∴，， ∵在旋转的过程中(转动角度小于)，与的一边平行， ∴有以下三种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为的平分线，即， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，． （1）若，则的度数为 ； （2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ． 【答案】 或/或 【知识点】三角板中角度计算问题、垂线的定义理解、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（）设交于点，由，则，证明，然后根据平行线的性质即可求解； （）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，当三角形在线段右侧时进行分析即可； 本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，如图①，过点作， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； 当三角形在线段右侧时，如图②，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动 秒后，与平行． 【答案】30或110 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用．设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：分两种情况讨论，当和时，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点M，转动后与交于点N， 当时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，射线转动30或110秒，两射线互相平行； 故答案为：30或110． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）． 【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，分5种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，如图， 则：， ∴， ∴； ②当时，此时， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； ④当时，则：， ∴； ⑤当时，则：， ∴； 综上：0.5或1.5或3.5或4.5或5； 故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5． 易错题型三　角的边平行的多解问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角α比另一个角的4倍少30度，则角α的度数为 ． 【答案】10度或138度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用． 由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设另一个角的度数为，由其中一个角α比另一个角的4倍少30度，分别从这两个角相等或互补去分析，即可列方程，解方程即可求得这两个角的度数． 【详解】解：∵两个角的两边分别平行，如图1， ∵，， ∴，， ∴， 如图2，∵，， ∴，， ∴， ∴这两个角相等或互补，设另一个角的度数为 ∵其中一个角α比另一个角的4倍少30度， ∴ ①若这两个角相等，则， 解得：， ∴； ②若这两个角互补，则， 解得：， ∴ 综上，角α的度数为10度或138度． 故答案为：10度或138度． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）画一画：在图①中，以P为顶点画（为锐角），使的两边分别与的两边平行；再在图②中，以P为顶点画（为钝角），使的两边分别与的两边平行． （2）量一量：量出与的度数，它们之间的数量关系是_______． （3）猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这个两个角的数量关系是_______． （4）做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为，求另一个角的大小． 【答案】（1）见解析   （2）或  （3）相等或互补  （4）或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）根据题意，画出符合条件的即可； （2）动手量一量即可得到结论； （3）根据角的两边同方向平行和反方向平行两种情况，根据平行线的性质即可才想出数量关系； （4）利用（3）的结论即可求出另一个角的度数． 【详解】解：（1）根据题意画图，如图所示．（答案不唯一）     （2）由测量得到结论：或 （3）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这个两个角相等或互补     （4）应用（3）的结论得另一个角的大小为或． 2．（23-24六年级下·山东泰安·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，问：与相等吗？为什么？ (2)如图②，，问：与互补吗？为什么？ (3)经过上述探索与推理，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角____________； (4)若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少，则这两个角分别是多少度？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)相等或互补 (4)，或者，． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题考查了平行线的性质，涉及了一元一次方程的求解，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）结合已知条件以及（1）（2）的结论求解即可； （4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，根据（3）的结论分两种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） （2）．理由如下： ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等量代换） （3）由（1）（2）可知我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补． （4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，分两种情况： ①当，解得， 则这两个角的度数分别为，； ②当，解得， 则这两个角的度数分别为， 综上，这两个角的度数分别为，或者，． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平行线的判定和性质综合问题 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)猜想与是否平行，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．熟练掌握对顶角相等，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，可证，则，，进而可证； （2）由（1）可知，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：；理由如下： 由题意知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 巩固训练 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别在线段上，连接，过点F作分别交于点H、G，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据平行线的性质和已知条件证明，据此可证明； （2）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，交于点F，点C在的延长线上，．    (1)若，求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． （1）结合平行线判定和性质和角的关系求得，，从而求解； （2）根据平行线的性质和判定进行推理论证． 【详解】（1）解：， ， ． ， ，即． （2）证明：由（1），可知， ． 又， ， 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，掌握三角形的内角和及平行线的判定定理与定义是解题的关键． （1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，再由平分，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·黑龙江双鸭山·期末）如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)108° 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，是解题的关键． （1）根据，，得，即得； （2）根据，得，根据角平分线性质得， ，即得 ． 【详解】（1），且， ， ； （2），， ， 又为的角平分线， ， ， （方法不唯一）． 5．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知：中，D、E、F、G分别在、和上，连接、和，，． (1)判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，证明见详解 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）由可得，结合已知条件进而可得，继而得到； （2）由平行线的性质可得，继而可得，依据可进行求解． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点E是直线上的一点，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)连结，若，，则是否平分？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)平分，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定以、角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据、，求出，再根据得到，最后判断平行即可解答； （2）根据、得到，再根据得到即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下：   ∵， ∴（两直线平行， 同旁内角互补） ∵， ∴．      ∵， ∴，       ∴ （内错角相等，两直线平行）． （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴（两直线平行， 同旁内角互补）， ∵， ∴．     ∵， ∴， ∴平分． 7．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、被直线所截，分别交、于点、，平分交于点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点为射线上一点，连接．平分交于点，，求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质等知识点， （1）由角平分线的性质得到，再由可得，进而即可得解； （2）由平行线的性质和平角的性质可得，由角平分线的性质可得，进而即可得解； 熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质的综合应用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知， ， ， 平分，平分， ， ， ． 压轴题型二　根据平行线的判定与性质探究角的关系 例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义； （1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）先证明，，，再进一步可得结论. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分交于点C、平分交于点D， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵BD平分， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级下·吉林四平·期末）已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图) (1)如图1，当点在线段上时， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则__________(填度数)． (2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明． (3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)当点D在上时，；当D点在的延长线上时，；当D点在的延长线上时， 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）①根据几何语言画出对应的几何图形； ②根据平行线的性质得到，，所以； （2）当D点在的延长线上时，；根据平行线的性质分别进行证明即可； （3）分三种情况进行讨论：当点D在线段上时，当点D在线段延长线上时，当点D在线段的延长线上，分别根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图1所示： ②∵， ∴，， ∴； （2）解：当D点在的延长线上时，如图2，； 理由如下： ∵， ∴，， ∴； （3）解：当点D在上时，； ∵， ∴，， ∴； 当D点在的延长线上时，根据解析（2）可知，； 当D点在的延长线上时，如图3，； 理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·四川泸州·阶段练习）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1) (2)①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由见解析；②与之间的关系为或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长到，由平行线的性质可得，求出，由角平分线的定义得出，最后再由平行线的性质可得答案； （2）①延长到，设，由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而得出，求出，由角平分线的定义得出，再由计算即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时，延长至；当点在点的右侧时，延长至，分别利用平行线的性质并结合角平分线的定义计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，延长到， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由如下： 如图，延长到， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②与之间的关系为或， 当点在点的左侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的关系为或． 3．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）【问题背景】 如图，线段的端点M、N分别在直线，上，E为，之间一点，连接NE，过点E作，交于点F，． 【问题探究】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点P，若平分，交于点Q． ①若，求的度数； ②判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，推得，根据平行线的判定即可证明； （2）①根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质和可得，，即可求得．②根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴． ∵NM平分， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． ②． 理由如下： ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知，直线，点P为平面上一点，连接与． (1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点P在直线，之间，与的角平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在外． ①直接写出、、的数量关系为______． ②与的角平分线相交于点K，请直接写出与的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用： （1）先过P作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）①过P作，根据，可得，，进而得到； ②过K作，根据，可得，，进而得到，由①，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过P作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过P作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点K， ， ； （3）解：①如图3，过P作， ， ， ，， ， 故答案为：； ②如图3，过K作， ， ， ，， ， 由①知，， 与的角平分线相交于点K， ， ． 压轴题型三　根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)9或27，12或30； (3)，见解析． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质， （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答即可； （2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解； 读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ； （2）解：， ，， 当在直线上时，，此时旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或， 当直线恰好平分锐角时，旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴时间为或， 故答案为：9或27；或； （3）解：，理由如下： ∵在的内部， ∴，， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解∶ ， ， ， ， ， ； （2）解∶ ，理由如下： 如图2，过点B作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解∶ ，理由如下： ， ， ，， ， ． 2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】（1）先求出，再求出； （2）先证明，根据内错角相等即可证明； （3）先求出，进而可证，然后可证． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）． 理由：，， ， ， ． ， ， ． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，t的值为；②满足条件的t的值为或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题； （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题； ②分两种情形：当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题；当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图②中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图③﹣1中，当时，延长交于R． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 综上，当边时，的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，学会用分类讨论的思想思考问题及利用参数构建方程是解题的关键． 压轴题型四　根据平行线的判定与性质接解决光线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，余角的性质等； （1）由垂直的定义得，，由余角的性质即可求解； （2）①过点作，由平行线的性质得 ，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，求出后，即可求解；②由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助平行线是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案：； （2）解：①过点作，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：； ②如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直． (1)求的度数： (2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）由角平分线定义求得，再根据垂直定义可得，即可由求解； （2）根据平行线的性质可求解； （3）过点、作，，根据平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ， ∵， ∴， ∴． （2）解：由题可知， ∴ ∴ 由题可知， ． （3）解：如图所示，分别过点、作， ，，， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答； （2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形连锐角互补即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶． （2）解：∵是与入射镜筒壁平行，， ∴， ∴， 过点C作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 3．（23-24七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术，如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： （1）如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是_____； （2）如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，，之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： （3）如图3，在（2）的条件下，在，之之间，MN左侧再取一点Q，连接，，，若使求与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． （1）过点作，由平行线的传递性得，由平行线的性质得，，进而可得； （2）由（1）得，然后结合邻补角的定义可得； （3）由（1）（2）知，，结合，可证结论成立； 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ． （2） 理由： 由（1）得， ， ； （3）由（1）（2）知，， ∴， ， ． 压轴题型五　根据平行线的判定与性质探解决平移问题 例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【答案】(1)180 (2)，不一定平行于 (3) 【知识点】垂线的定义理解、利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得，进而可求出； （2）由可证；无法判断与是否平行． （3）由平移的性质得，然后证明可得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：180； （2），不一定平行于． ∵， ∴． 无法判断与是否平行． （3）， ． 又平移， ． ， ， ． ， ． 巩固训练 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ） 【知识点】数轴上两点之间的距离、图形的平移、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键． （1）由矩形的面积即可表示点； （2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求出，即可求解； ②ⅰ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求解即可； ⅱ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，分别表示出D、E表示的数，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为30，边长为5． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）解：当向左移动时，如图， ， ， 移动后的表示3； 当向右移动时，如图， ， 又 ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②ⅰ）当向左移动时，如图， ， ， 当向右移动时，如图， ， ， 综上，， 故答案为：20； ⅱ）由题意知： 为线段的中点，点E在线段上，且， ，， 当向左移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当向右移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上，． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析；，理由见解析． 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质证明 【分析】（）根据，得，又故有，从而求解； （）由平移的性质可得，又，则有，最后由线段和差即可求解； 由平分，则，设，从而有，，根据，则， 通过平移的性质可得，由平行线的性质得，，故有， 得，即，则点与点重合，又，根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短即可判断． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ，理由如下： ∵平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，                          ∴， ∴，     ∴点与点重合， ∵， 根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，垂直的定义，平行线的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$