第9章 分式（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪科版2024）

第9章 分式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 4．下列分式中，为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 5．若把分式中的，的值都扩大倍，那么分式的值将（    ） A．缩小 B．缩小 C．扩大倍 D．不变 6．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 7．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 9．已知，，，，，则为（　　） A． B． C． D． 10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D．且 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．当 时，分式的值为． 12．若关于x的方程增根，则a的值为 ． 13．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 14．若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解分式方程： (1)； (2) 16．先化简，再求值：，其中． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 18．为庆祝附中博才建校十五周年，各校区开展了以“辉煌十五载，共逐幸福梦”为主题的校园文化艺术节，学校决定购买附中熊和博才牛两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知附中熊比博才牛每个多10元，用600元购买附中熊的个数恰好与用500元购买博才牛的个数相同． (1)求附中熊和博才牛的单价； (2)学校决定购买附中熊、博才牛两种奖品共60个，实际购买时，附中熊的售价打九折，博才牛的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过3100元，最多可购买多少个附中熊？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 20．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 六、（本题满分12分） 21．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 七、（本题满分12分） 22．嘟嘟商店分别花费9000元、4800元一次性购买甲乙两种电纸书，已知购买甲电纸书的数量比乙电纸书的数量多，每台甲电纸书比每台乙电纸书的价格贵200元． (1)求甲、乙型号电纸书分别进价为多少元； (2)该店发现销售情况良好，第一批货卖完货，以相同进价再次购入电纸书，预计用不少于万元且不多于万元的资金购进这两种型号电纸书共20台， ①请问有多少种进货方案？ ②若甲型号电纸书的售价为1500元，乙型号电纸书的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号电纸书．返还顾客现金a元，甲型号电纸书售价不变，若①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同，求a的值． 8、 （本题满分 14 分） 23．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式，，，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； (2)已知分式，，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”， ①求_____（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值； (3)若分式，（b，c为整数且），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”，求a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 分式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式的定义是解答本题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分数，不是分式，故A选项不符合题意； B、是分式，故B选项符合题意； C、是整式，不是分式，故C选项不符合题意； D、是整式，不是分式，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．要使分式有意义，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．利用分式有意义，分式的分母不为零即可求出． 【详解】解：根据题意得， 解得 故选：C． 3．下列各式从左到右变形正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键，分子分母同时扩大或缩小相同的倍数（非零），分式的值不变． 据此即可求解． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 4．下列分式中，为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】本题考查分式的基本性质，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．分子和分母分解因式后，如果还有公因式存在，就不是最简分式，要进行化简，化简时要注意： ①当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ②首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【详解】A：不能再简化； B：，故选项B不符合题意； C：，故选项C不符合题意； D：，故选项D不符合题意； 故选A． 5．若把分式中的，的值都扩大倍，那么分式的值将（    ） A．缩小 B．缩小 C．扩大倍 D．不变 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，解答本题的关键是正确运用分式的基本性质． 用、分别代替原分式中的、，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大倍， 则， ， 分式的值将缩小， 故选：B． 6．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干；若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一次分钱的人数为人，根据题意列出即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：． 7．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握去分母法则是解题关键．将方程两边同时乘以去分母即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以去分母得：， 故选：A． 8．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况分别求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 当时，整式方程无解； 当时，， 分式方程无解， 是方程的增根， ， 解得：； 综上所述，k的值为2或． 故选：A． 9．已知，，，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式，根据题意可分别求得，，，，即可求得每个数为一个循环． 【详解】解： 可知，每个数为一个循环． 可知． 故选：D 10．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可． 【详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， 且 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．当 时，分式的值为． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据分式的值为，分子等于分母不为，列式求解即可解答． 【详解】∵分式的值为， ∴且， ∴， 故答案为：． 12．若关于x的方程增根，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的增根，去分母后确定x的值是求解本题的关键．根据增根概念进行计算． 【详解】解：方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入得 ， 故答案为：． 13．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 14．若关于x的不等式组有且只有三个偶数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】14 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值．先根据不等式组“有且只有三个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到且，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有三个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ∴且 ∴且， 综上，且，为整数， 或8， 所有满足条件的整数的和是． 故答案为：14． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可； （2）方程两边同时乘以，然后再进行求解方程即可 【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得， ， ， ， ， ， 检验：当时，方程左右两边相等． 所以原分式方程的解为． （2）解：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ； 检验：当时，最简公分母，原方程中的分式无意义； 所以原方程无解． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）把？代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为，去分母后把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：设？为m，则分式方程为， 方程两边同时乘得 整理得， 由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即 所以把代入得，解得， 所以，原分式方程中“？”代表的数是． 18．为庆祝附中博才建校十五周年，各校区开展了以“辉煌十五载，共逐幸福梦”为主题的校园文化艺术节，学校决定购买附中熊和博才牛两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知附中熊比博才牛每个多10元，用600元购买附中熊的个数恰好与用500元购买博才牛的个数相同． (1)求附中熊和博才牛的单价； (2)学校决定购买附中熊、博才牛两种奖品共60个，实际购买时，附中熊的售价打九折，博才牛的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过3100元，最多可购买多少个附中熊？ 【答案】(1)附中熊的单价是60元/件，博才牛的单价是50元/件 (2)最多可以购买25个附中熊 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设附中熊的单价是x元/件，则博才牛的单价是元/件，依题意：列式，再解出，最后验根，即可作答． （2）设购买m件附中熊，则购买件博才牛，再结合题意得，最后解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设附中熊的单价是x元/件，则博才牛的单价是元/件， 根据题意得：， 解得 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：附中熊的单价是60元/件，博才牛的单价是50元/件； （2）解：设购买m件附中熊，则购买件博才牛，根据题意得： ， 解得， 答：最多可以购买25个附中熊． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 20．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 六、（本题满分12分） 21．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【知识点】分式的求值、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 七、（本题满分12分） 22．嘟嘟商店分别花费9000元、4800元一次性购买甲乙两种电纸书，已知购买甲电纸书的数量比乙电纸书的数量多，每台甲电纸书比每台乙电纸书的价格贵200元． (1)求甲、乙型号电纸书分别进价为多少元； (2)该店发现销售情况良好，第一批货卖完货，以相同进价再次购入电纸书，预计用不少于万元且不多于万元的资金购进这两种型号电纸书共20台， ①请问有多少种进货方案？ ②若甲型号电纸书的售价为1500元，乙型号电纸书的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号电纸书．返还顾客现金a元，甲型号电纸书售价不变，若①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同，求a的值． 【答案】(1)甲型号电纸书进价为每台元，乙型号电纸书进价为每台元 (2)①有种进货方案② 【知识点】整式加减中的无关型问题、分式方程的经济问题、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，整式混合运算的应用； （1）等量关系式：购买甲型号电纸书的台数购买乙型号电纸书的台数，列方程，即可求解； （2）①不等关系式：购买甲型号电纸书的费用购买乙型号电纸书的费，列不等式组，解不等式组，即可求解； ②总利润甲型号电纸书的利润乙型号电纸书的利润，对其进行化简，最终的利润与购买的方案无关，即可求解． 找出等量关系式和不等关系式，能将实际问题转化为多项式中的不含某一项问题是解题的关键， 【详解】（1）解：设甲型号电纸书进价为每台元，则乙型号电纸书进价为每台（）元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， （元／台）， 答：甲型号电纸书进价为每台元，乙型号电纸书进价为每台元． （2）解：①设购买甲型号电纸书台，则购买乙型号电纸书（）台，由题意得 ， 解得：， 为非负整数， 可取、、、、、、、， 故有种进货方案； ②设获得总利润为元， ， ①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同， 的值与无关， ， 解得：， 故a的值为． 8、 （本题满分 14 分） 23．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式，，，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； (2)已知分式，，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”， ①求_____（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值； (3)若分式，（b，c为整数且），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”，求a的值． 【答案】(1)A与B是互为“幸福分式”，“幸福值”k为2 (2)①；② (3)的值为4或16 【知识点】分式化简求值、同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由的值为正整数，x为正整数，可得或或或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“幸福分式”，理由如下： 分式，， ∴， ∴A与B是互为“幸福分式”，“幸福值”k为2； （2）解：①∵，且“幸福值”， ∴， ∴； ② ∵分式D的值为正整数， ∴是的约数，即或或或 解得：或0或或； ∵x为正整数， ∴． （3）解：E是F的“幸福分式”， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴c，b为整数， ∴一定是5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或4或16或16， 即a的值为4或16． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$