第9章 分式（单元复习 6大易错+5大压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪科版2024）

第9章 分式 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　分式值为0时求值，忽略分母不为0 1 易错题型二　整式与分式混合运算易错 3 易错题型三　自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 5 易错题型四　解分式方程不验根 8 易错题型五　分式方程无解与增根混淆不清 12 易错题型六　已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 15 【压轴题型】 18 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 18 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 22 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 24 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 31 压轴题型五　与分式及分式运算有关的新定义型问题 35 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　分式值为0时求值，忽略分母不为0 例题：（23-24八年级下·全国·期中）若分式，则 x= ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，分式的值为0． 3．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）当 时，分式的值为零． 易错题型二　整式与分式混合运算易错 例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简：． 巩固训练 1．（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算：． 2．（2024·陕西西安·一模）化简：． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 易错题型三　自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 例题：（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）先化简，然后从，0，2，3中选一个合适的数代入求值． 巩固训练 1．（2024·江西九江·模拟预测）化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 2．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）先化简：，并在，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值． 3．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）先化简：，再从，中选择一个合适的m值代入求值． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 易错题型四　解分式方程不验根 例题：（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）解分式方程 (1)； (2) 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·开学考试）解分式方程： (1) (2) 2．（23-24八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 3．（23-24九年级上·全国·开学考试）解方程： (1) (2) 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）解方程： (1)； (2)． 易错题型五　分式方程无解与增根混淆不清 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）当 时，关于的方程有增根． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 3．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）关于x的分式方程有增根，则 ． 4．（23-24八年级下·全国·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 5．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 6．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程. (1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值． 易错题型六　已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ． 巩固训练 1．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 2．（2024上·上海·八年级校考期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ． 4．（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 巩固训练 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 4．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若代数式的值为正整数，则整数x的值为 ． 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ； 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 巩固训练 1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）；；；… (1)根据上面个等式存在的规律写出第个等式； (2)用含的代数式表示出第个等式，并证明． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 4．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程： ①的解　 　． ②的解　 　． ③的解　 　． ④的解　 　． …… (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 巩固训练 1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ． (2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解． (3)方程的解为 ． 2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； (1)请完成上面的填空； (2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； (3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解? 压轴题型五　与分式及分式运算有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 3．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为． (3)应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 4．（23-24八年级下·全国·期中）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 分式 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　分式值为0时求值，忽略分母不为0 1 易错题型二　整式与分式混合运算易错 3 易错题型三　自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 5 易错题型四　解分式方程不验根 8 易错题型五　分式方程无解与增根混淆不清 12 易错题型六　已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 15 【压轴题型】 18 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 18 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 22 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 24 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 31 压轴题型五　与分式及分式运算有关的新定义型问题 35 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　分式值为0时求值，忽略分母不为0 例题：（23-24八年级下·全国·期中）若分式，则 x= ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式的值为的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为0.这两个条件缺一不可． 【详解】解：∵分式， ∴，解得， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】1 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式的值为零的条件． 根据“分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0，分母不为0”列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可得，解得， 故答案为：1． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，分式的值为0． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）当 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查分式的值为0的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件．根据分式的解为0的条件，即可得到答案. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：. 易错题型二　整式与分式混合运算易错 例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 巩固训练 1．（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 2．（2024·陕西西安·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，掌握分式的混合运算法则，即可解题． 【详解】解： ． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的通分及运算法则是的关键； （1）先进行分式的通分，在利用同分母分式的减法法则计算，然后进行约分，即可得到答案； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【详解】（1）； ， ； （2） = ． 易错题型三　自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 例题：（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）先化简，然后从，0，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 因为，，，即不能为，0，3 所以；当时，原式． 巩固训练 1．（2024·江西九江·模拟预测）化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 2．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）先化简：，并在，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，代入求值，运用分式的性质，乘法公式，进行计算，根据分式的分母不能为零，确定取值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵当，2时，原分式无意义， ∴x可以是0或1，当时，原式． 3．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）先化简：，再从，中选择一个合适的m值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【知识点】分式化简求值 【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ， 或时，原分式无意义， ， 当时，原式 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值： ，再从，0，1这三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， ∴当时，原式． 易错题型四　解分式方程不验根 例题：（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）解分式方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程. （1）两边同乘以得到整式方程，解方程并检验即可； （2）两边同乘以得到整式方程，解方程并检验即可. 【详解】（1） 方程两边同乘以得，， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解； （2） 两边同乘以得，， 解得 当时，， ∴是增根，分式方程无解. 巩固训练 1．（24-25八年级上·重庆·开学考试）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解； (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根 （1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可； （2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可． 【详解】（1）解：去分母得， 解得， 当时， ， 所以原方程无解； （2）解：去分母得， 解得， 当时， ， 所以是原方程的解； 2．（23-24八年级下·全国·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是增根， ∴原方程无解； （2）解：， 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 3．（23-24九年级上·全国·开学考试）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是： （1）方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： 去分母得，， 解得：， 经检验：当是原方程的根， ∴原方程的解为． 4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是： （1）方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得 ， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的根； （2）解：方程两边都乘，得 ． 解这个方程，得． 经检验是增根，原方程无解． 易错题型五　分式方程无解与增根混淆不清 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ． 【答案】1或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， ∵最简公分母， ， 当时，得， 综上的值为1或． 故答案为：1或． 巩固训练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）当 时，关于的方程有增根． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据解分式方程的一般步骤，化为整式方程，根据分式方程有增根使分母为的的值，可得的值．熟练掌握分式方程的解法，理解增根定义是解决问题的关键． 【详解】解：方程两边都乘以，得 ， 分式方程有增根，则，解得， ，解得， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）若关于x 的分式方程 无解，则m 的值是 ． 【答案】3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，则最简公分母，求得x，进而可求得m． 【详解】解：去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 最简公分母， ， 当时，得， 即的值为3． 故答案为：3． 3．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握分式方程增根的产生原因，增根的求法． 分式方程去分母，化成整式方程，根据分式方程有增根，令公分母等于0求出增根，代入整式方程即可求出m值． 【详解】方程去分母得， ， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 故答案为： 4．（23-24八年级下·全国·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，先去分母变成整式方程，再根据无解求解即可． 【详解】方程两边同乘得， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 去分母，整理得，根据分式方程无解可知增根分别为或，分别求解即可． 【详解】分式方程两边都乘以最简公分母，得：， 整理得：， 关于的分式方程无解， 当时，得，解得， 当时，得，解得． ∴的值为或1． 故答案为：或1． 6．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程. (1)若方程的增根为x＝2，求a的值； (2)若方程有增根，求a的值； (3)若方程无解，求a的值． 【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2 【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可. 试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10. 因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2. (2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2. 因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2. (3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2. 点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解． 易错题型六　已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 根据题意且 ∴ ∴ ∴k的取值范围是且． 故答案为：且． 巩固训练 1．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．解分式方程得：，再根据其解的情况求解即可，注意分母不能为0的条件．掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， 化为整式方程为， 解得：． ∵该分式方程的解为正数， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 2．（2024上·上海·八年级校考期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解与解不等式，把看作常数，根据分式方程的解法求出的表达式，再根据方程的解是负数列不等式组并求解即可，解题的关键是牢记分式有意义的条件，熟练掌握解方程的步骤． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵分式方程的解为负数， ∴，解得：， 又∵， ∴且，解得：且， 综上可知：且， 故答案为：且． 3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 4．（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，利用分式方程的解求参数，先解分式方程，用a表示方程的解，根据方程的解是正整数的要求得出a的值，即可得到答案． 【详解】分式两边都乘以，得， 得， ∵该分式方程的解为正整数， ∴的值为1或2或3， ∴所有满足条件的整数a的值为2或或， 所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 例题：（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数，， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得． 【详解】∵分式的值为正数，， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 4．（23-24八年级上·山东威海·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：分式的值为正， ，， 解得，且 故答案为：且． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时： (1)分式的值为负数？ (2)分式的值为正数？ (3)分式的值为负数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键； （1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可； （2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可； （3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围． 【详解】（1）解：，， ， ， 时，分式值为负数． （2）∵分式的值为正数， ∴或， 当时， 解得：， 当时， 不等式组无解， 综上：当时；分式的值为正数， （3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数， ∴分式的值为负数时，则或； 压轴题型二　求使分式值为整数时未知数的整数值 例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可． 【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数， 则是6的约数，． ∴或或或， 即的值为8或5或4或3，共4个． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若及都是正整数，则所有满足条件的的值的和是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键．根据为整数，且的值也为正整数，列出不等式，求出的取值范围，再枚举求出符合题意的的值，即可求解． 【详解】解：∵及都是正整数， ∴， 即， 解得：， 故当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故所有满足条件的的值有：、、， ∴所有满足条件的的值的和是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 4．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）若代数式的值为正整数，则整数x的值为 ． 【答案】3或7/7或3 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】分子为正整数5，若分式值为正整数，且x为整数，则等于1或5，从而问题可解． 【详解】解：的值为正整数， 或， 或， 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了分式求值，根据题意得出等于1或5是解题的关键． 压轴题型三　与分式有关的规律性问题 例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ； 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查了数字类规律探究，分式的加减运算； （1）根据前5个等式规律写出第6个等式； （2）根据前5个等式猜想出第个等式并验证． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 可得第6个等式为：， 故答案为：； （2）由题意可猜想得，第个等式为：， 证明： ， 第个等式为：． 巩固训练 1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】分式乘方、异分母分式加减法 【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式的运算法则等知识，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，再利用分式的减法和乘方运算进行计算，得到左边等于右边，即可得到验证． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为 故答案为： （2），证明如下： ∵左边， 右边， ∴左边=右边． 故原等式成立． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）；；；… (1)根据上面个等式存在的规律写出第个等式； (2)用含的代数式表示出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【知识点】异分母分式加减法、数字类规律探索 【分析】（）根据前个等式特点写出第个等式； （）根据第（）结论归纳出第个等式的规律； 此题考查了数字的变化规律，分式的运算，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； ； ∴第个等式； （2）解：； ； ； ； 第个等式； 证明：左边 右边． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】分式的规律性问题 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 4．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式：___________________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析． 【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算 【分析】此题考查的是归纳总结能力，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为，分子是，第二项是，等式右边为．代入再进行验证正确性即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 则第5个等式为：； 故答案为：； （2）解：根据题意，则： 第n个等式为：； 证明：等式左边 ， 等式右边， ∴左边右边． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）有下列等式： ①， ②， ③， ④， …… 按照以上规律，解决下面问题： (1)写出第⑤个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含正整数n的等式表示），并说明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)第n个等式为：（n为正整数），证明见解析． 【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了运算规律的探究、分式的混合运算等知识点，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键． （1）根据题干前4个运算式的提示，直接写出第⑤个即可； （2）根据题干前4个运算式的提示，归纳出第n个等式，然后通过计算即可证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 所以⑤为： 故答案为 （2）解： 由（1）归纳可得：第n个等式为：（n为正整数）， 证明如下：． 压轴题型四　与分式方程有关的规律性问题 例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程： ①的解　 　． ②的解　 　． ③的解　 　． ④的解　 　． …… (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 【答案】(1)第⑤个方程：解为第⑥个方程：解为 (2)第个方程：解为． 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）等号左边的分母都是，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是，第二个式子的解是，那么第5个式子的解是第6个式子的解是． （2）由（1）得第个式子的等号左边的分母是，分子是，等号右边的被减数的分母是，分子是，减数是1，结果是 【详解】（1）解：①的解． ②的解． ③的解． ④的解 …… ①，②，③，④ （1）第⑤个方程：的解为 第⑥个方程：的解为 （2）解：第个方程：的解为 方程两边都乘得 解得 检验：当时， ， ∴原方程的解为． 巩固训练 1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ． (2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解． (3)方程的解为 ． 【答案】(1)， (2)，，过程见解析 (3)， 【知识点】数字类规律探索、解分式方程 【分析】（1）从数字找规律，即可解答； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）利用换元法将原方程化为：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于的方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 或， ，， 经检验：，是原方程的根； （3）解：令，则原方程可化为：， ， ，， 或， 解得：，， 经检验：，是原方程的根， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程： ①的解是； ②的解是； ③的解是； ④的解是 ； (1)请完成上面的填空； (2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ； (3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解? 【答案】(1) (2)的解是； (3)的解是． 【知识点】分式的规律性问题、解分式方程 【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子的关系是解题的关键． （1）由题意把方程两边都乘以把分式方程化为整式方程，然后求解即可； （2）由题意先观察①②③④中的方程及其解，根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解； （3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验，为方程的解， 故答案为：． （2）解：由题意得：⑤的解是； 故答案为：的解是； （3）解：由题意得：第个式子及其解为：的解是． 压轴题型五　与分式及分式运算有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，分式的加减混合运算，掌握分式的加减混合运算的运算顺序是解本题的关键； （1）根据新定义列式再通分计算即可； （2）根据新定义列式再通分计算即可； （3）根据新定义列式再通分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 【答案】(1)①③； (2)为“勤业式”，理由见解析； (3)x的值为0或1或． 【知识点】整式的加减运算、分式加减乘除混合运算、分式化简求值、分式方程的实际应用 【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴为“求真式”，故①符合题意， ∵ ∴为“勤业式”， 故②不符合题意， ∵， ∴即， ∴为“求真式”， 故③不符合题意． 故答案为：①③； （2）解：为“勤业式”，理由如下： ∵， ∴， ∴为“勤业式”； （3）解：∵，，且x为整数， ∴ ∵为“至善式”， ∴的值为整数，即为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得或（舍去）或或， ∴x的值为0或1或． 【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． 3．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为． (3)应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④⑤ (2) (3)，或，或． 【知识点】分式化简求值、分式加减乘除混合运算、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式的化简求值∶先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）利用题目所给的方法配一个出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和； （3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式为．把它化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式，利用整除性和分式有意义的条件确定x的值． 【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”， ②不是分式，故不属于“和谐分式”， ③，属于“和谐分式”， ④，属于“和谐分式”， ⑤，属于“和谐分式”， 故答案为：①③④⑤ （2） （3） ∵x为整数，为整数， ∴，或， ∵且且 ∴，或，或．该式的值为整数． 4．（23-24八年级下·全国·期中）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或 (3)的值为 【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式分解因式、异分母分式加减法、解分式方程 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$