第8章 整式乘法与因式分解（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（沪科版2024）

第8章 整式乘法与因式分解（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列各式中，计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 2．已知某细菌直径长约0.0000231米，数据0.0000231用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列多项式，能用公式法分解因式的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知，则“”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 7．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 8．已知，则a，b，c按从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 9．已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为，中间位置上的数记为．下列所给的数据中，不可能是（    ） A．161 B．298 C．420 D．465 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．计算的结果是 ． 12．因式分解： ． 13．已知，则 ， ． 14．（1）已知，则代数式的值为 ． （2）若均为正整数，且，则的值为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．分解因式： (1) (2) 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．先化简，再求值：，其中． 18．（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 20．【阅读材料】因式分解：． 解：令，则原式．第①步 ．第②步 再将“”还原，原式．第③步 【问题解决】 (1)上面解法中的第②步运用了因式分解的方法中的_____； A．提公因式法，    B．平方差公式法，    C．两数和的完全平方公式法 (2)因式分解：的结果是_____； (3)证明：若为正整数，则的值是某个整数的平方． 六、（本题满分12分） 21．先阅读下列解答过程：已知有一个因式，求m的值． 解：可以设为一个因式为，则，即 由此得：∴﹔也可以采用另一种方式：当时，， 解得．然后解答问题： (1)已知有一个因式，则另一个因式为___________； (2)已知有一个因式，求m的值； (3)已知多项式有一个因式，求k的值及直接写出此多项式分解因式的结果． 七、（本题满分12分） 22．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 8、 （本题满分 14 分） 23．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法与因式分解（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共 10小题，每小题4分，满分40分） 1．下列各式中，计算结果是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可． 本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、不是同类项不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 2．已知某细菌直径长约0.0000231米，数据0.0000231用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 3．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键． 根据把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A． 是整式乘法运算，故本选项不符合题意； B．是因式分解，故本选项符合题意； C．右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D．，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法法则对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，计算正确，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．下列多项式，能用公式法分解因式的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了公式法分解因式；分别利用平方差公式和完全平方公式的结构特征逐项判断即可． 【详解】解：①不能用公式法分解因式； ②，能用平方差公式分解因式； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④，能用完全平方公式分解因式； 综上，能用公式法分解因式的有2个， 故选：B． 6．已知，则“”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 8．已知，则a，b，c按从小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，乘方的运算，据此相关性质内容先化简，再结合有理数的大小比较，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9．已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，根据题意可得，从而得出，，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 10．如图为2024年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为，中间位置上的数记为．下列所给的数据中，不可能是（    ） A．161 B．298 C．420 D．465 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据平方数的特点来进行解答．用含有的式子表示出最大和最小的两个数，再将相乘等于，最后将换成四个选项的数，根据平方数的特点进行讨论即可． 【详解】解：最大和最小的两个数是和， ， 即， A选项中，当时，，则，，，所以可能是161，故A不符合题意； B选项中，当时，，则没有正整数的平方等于，不符合日历，所以不可能是298，故B符合题意； C选项中，当时，，则，，，所以可能是420，故C不符合题意； D选项中，当时，，则，，，所以可能是465，故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．计算的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】合并同类项、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用积的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为： ． 13．已知，则 ， ． 【答案】 2 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，平方的非负性等知识．熟练掌握完全平方公式，平方的非负性是解题的关键． 整理得，，则，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：2，． 14．（1）已知，则代数式的值为 ． （2）若均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】 4 4或5/4或4 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方等运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可． （1）将所求式化为以为底数的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则，并整体代入可解答． （2）先根据同底数幂的乘法和乘方进行变形∶，得到，由和为正整数进行讨论即可得到答案． 【详解】解：（1）， ． ． 故答案为： 4． （2）， ． ． 均为正整数， 当时，；当时，． 所以或． 故答案为：4或5 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的混合运算，乘法公式，熟练掌握相关计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂和负整数指数幂及化简绝对值，再计算实数的求和即可； （2）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方法则，再合并同类项，即得答案； （3）先用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项，即得答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 16．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键． （1）先提取公因数3，进而利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，先用平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则计算括号里面，再算除法，最后代入求值．掌握乘法的平方差、完全平方公式及多项式除以单项式法则是解题的关键．也考查了负整数指数幂及零指数幂． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18．（1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）m的值为15；（2）512 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】（1）解：原式 即，则，即， ∴m的值为15； （2）解：原式． ∴的值为512． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、同底数幂相乘、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】（1）根据题中给出的定义计算出，根据代数式中不含x的一次项，计算结果即可； （2）先根据同底数幂的乘法求出m的值，再根据题中给出的定义算出A、B的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意， 的代数式中不含x的一次项， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义，整式的混合运算，平方差公式的运用，整式运算中无关型问题，同底数幂乘法的计算，准确计算是解答本题的关键． 20．【阅读材料】因式分解：． 解：令，则原式．第①步 ．第②步 再将“”还原，原式．第③步 【问题解决】 (1)上面解法中的第②步运用了因式分解的方法中的_____； A．提公因式法，    B．平方差公式法，    C．两数和的完全平方公式法 (2)因式分解：的结果是_____； (3)证明：若为正整数，则的值是某个整数的平方． 【答案】(1)C (2) (3)见解析 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据解题过程可知，第②运用了完全平方公式，据此可得答案； （2）仿照题意令，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先把原式前两项相乘得到，进一步变形得到，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，第②步运用了因式分解的方法中的两数和的完全平方公式法， 故选：C； （2）解：令，则原式． 再将“”还原，原式． （3）证明： 原式 ． 为正整数， 为正整数． 代数式的值是某个整数的平方． 六、（本题满分12分） 21．先阅读下列解答过程：已知有一个因式，求m的值． 解：可以设为一个因式为，则，即 由此得：∴﹔也可以采用另一种方式：当时，， 解得．然后解答问题： (1)已知有一个因式，则另一个因式为___________； (2)已知有一个因式，求m的值； (3)已知多项式有一个因式，求k的值及直接写出此多项式分解因式的结果． 【答案】(1) (2)； (3)， 【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用 【分析】此题主要考查因式分解，理解题意，设出因式，运用题目中的方法求解是解题关键． （1）利用题目中已知的方法求解即可； （2）利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可； （3）设另一个因式为，利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， ∴， 故答案为：； （2）设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：； （3）设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：， ∴k的值为． ∴ 七、（本题满分12分） 22．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 【答案】(1)①；② (2)，， 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解及其因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）根据题干中提供的信息用分组分解法和拆项法分解因式即可； （2）根据得出，根据非负数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ，，． 8、 （本题满分 14 分） 23．【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）96；（4），． 【知识点】幂的乘方运算、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查幂的运算，平方差公式和完全平方公式的应用． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据新运算的法则得到，，再根据图中阴影部分的面积，整体代入计算即可求解； （4）根据新运算的法则得到，，再利用完全平方公式变形得到，，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴；；． 故答案为：2，4，6； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积； （4）∵， ∴，， ∵矩形的面积是5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$