黄金卷05（福建专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C D D C C A D A 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11． 12．﹣3≤x＜1 13．乙 14．5 15．0 16．-4＜m＜0 三、解答题：（本大题共9题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分） 【答案】-2 【解析】 【分析】 先计算乘方和去绝对值符号，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解． 【详解】 解：原式=-1+2-1-2×1 =-1+2-1-2 =-2． 【点睛】 本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂的运算、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 18.（8分）【思路分析】利用平行四边形的性质证明△ABF≌△CDE，进而得到结论 【解题过程】∵四边形ABCD是平行四边形中， ∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC， ∵E、F分别是边BC、AD的中点， ∴AF=CE. 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠ABF=∠CDE. 【知识点】线段中点的定义、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质 19.（8分） 思路分析：将括号内通分，注意-x+1的符号变化，注意选取字母值时要保证原分式有意义. 解：原式 = = ==． ∵满足的整数有-2，-1，0，1，2，又∵或x=0时，分母的值为0， ∴x只能取-2或2. 当x=-2时，原式=，当x=2时，原式=．（答对两种情况之一即得满分） 20.（8分） 【分析】（1）由M号的销售量及其所占的百分比求出运动服装总销量，再求出XXL号运动服装销量的百分比，根据各组所占百分比的和为单位1求出XL号运动服装销量的百分比； （2）用运动服装总销量分别乘以S号，L号，XL号所占的百分比，得到对应服装销量，即可补全条形统计图； （3）根据题意列出方程组，求解即可． 【解析】（1）60÷30%＝200（件）， 100%＝10%， 1﹣25%﹣30%﹣20%﹣10%＝15%． 故XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%； （2）S号服装销量：200×25%＝50（件）， L号服装销量：200×20%＝40（件）， XL号服装销量：200×15%＝30（件）， 条形统计图补充如下： （3）由题意，得， 解得． 故所求x，y的值分别为12，6． 21.（8分） 【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离； （2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可． 【解析】（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N， 由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°， 在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝8040 （mm）＝FM， ∠DCN＝90°﹣60°＝30°， 又∵∠DCB＝80°， ∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°， ∵AM⊥DE，CN⊥DE， ∴AM∥CN， ∴∠A＝∠BCN＝50°， ∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°， 在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44， ∴AM＝AF+FM＝51.44+40120.7（mm）， 答：点A到直线DE的距离约为120.7mm； （2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°， 在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40， ∴tan∠D0.500， ∴∠D＝26.6°， 因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°， 答：CD旋转的角度约为33.4°． 22.（10分） 解：（1）如图所示， ①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线； ②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O； ③如图，⊙O与AB交于点M； （2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在AD上， ∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC， ∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切线． （3）根据题意可知OM＝OA＝ODAM，AM＝4BM， ∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴， 由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B， ∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴，即，解得DO＝6，故⊙O的半径为6． 解析：本题考查圆的综合运用，将圆的相关性质与角平分线及垂直平分线的性质结合一起，要充分的数形结合，找到图中相等的角、线段或者相似三角形，从而进行求解（1）①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；（2）根据线段垂直平分线及角平分线的性质推出角之间的关系，再根据平行线的判定得出OD∥AC，从而得出OD⊥BC即可；（3）根据题意得到线段之间的关系：OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，再根据相似三角形的性质求解即可． 23.（10分） 解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下： ∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位， ∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”． （2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下： ①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个； ②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”． 综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13． 24.（12分） 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出10，即a（）2+b•1＝0，推出是方程ax2+bx+1的根，可得结论． （3）由题意a＞0，∴m，n，根据m+n＝0，构建方程可得结论． 【解析】（1）由题意，得到3，解得b＝﹣6， ∵函数y1的图象经过（a，﹣6）， ∴a2﹣6a+a＝﹣6， 解得a＝2或3， ∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3． （2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0， ∴r2+br+a＝0， ∴10， 即a（）2+b•1＝0， ∴是方程ax2+bx+1的根， 即函数y2的图象经过点（，0）． （3）由题意a＞0，∴m，n， ∵m+n＝0， ∴0， ∴（4a﹣b2）（a+1）＝0， ∵a+1＞0， ∴4a﹣b2＝0， ∴m＝n＝0． 25.（14分） 【分析】（1）①结论：△AGD≌△CED．根据SAS证明即可． ②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性质求解即可． （2）①如图3中，设AD交PC于O．利用全等三角形的性质，解决问题即可． ②因为∠CPA＝90°，AC是定值，推出当∠ACP最小时，PC的值最大，推出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）． 【解析】（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED． 理由：∵四边形EFGD是正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°， ∵DA＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠GDE＝∠ADC， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△AGD≌△CED（SAS）． ②如图2中，过点A作AT⊥GD于T． ∵△AGD≌△CED，CD＝CE， ∴AD＝AG＝4， ∵AT⊥GD， ∴TG＝TD＝1， ∴AT， ∵EF∥DG， ∴∠GHF＝∠AGT， ∵∠F＝∠ATG＝90°， ∴△GFH∽△ATG， ∴， ∴， ∴GH． （2）①如图3中，设AD交PC于O． ∵△AGD≌△CED， ∴∠DAG＝∠DCE， ∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP， ∴∠AOP+∠DAG＝90°， ∴∠APO＝90°， ∴CP⊥AG． ②∵∠CPA＝90°，AC是定值， ∴当∠ACP最小时，PC的值最大， ∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）， ∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2， ∴EC2， ∵EF＝DE＝2， ∴CP＝CE+EF＝2+2， ∴PC的最大值为2+2． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在实数，，0，，1.01010010001，中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：实数-3.14，，0，，1.01010010001，中，是无理数的有，，共2个； 故选：B． 2．据光明日报网，中国科学技术大学的潘建伟、陆朝阳等人构建了一台76个光子100个模式的量子计算机“九章”．它处理“高斯玻色取样”的速度比目前最快的超级计算机“富岳”快一百万亿倍．也就是说，超级计算机需要一亿年完成的任务，“九章”只需一分钟．其中一百万亿用科学记数法表示为（　　） A．10×1012 B．10×1014 C．1×1014 D．1×1015 答案：C 解析：本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，因此一百万亿＝1×1014．因此本题选C． 3．某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案． 【解析】A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意； B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意； C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意； D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握n棱柱的底面是n边形是解题的关键． 4.如图，直线m∥n，直角三角板ABCD的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于 A．19° B．38° C．42° D．52° 答案：D，解析：如图，解：过C作CD∥直线m， ∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA＝∠FAC=52°，∠α＝∠DCB，∵∠ACB＝90°， ∴∠α＝90°－52°＝38°，则∠a的余角是52°． 5. 下列计算正确的是 ( ) A.a6+a6＝2a12 B.2－2÷20×23＝32 C. D. 【答案】D 【解析】A.a6+a6＝2a6,故A错误；B.2－2÷20×23＝2,故B错误； C. ,故C错误； D.,D正确,故选D. 6．甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数， ∴乙获胜的概率为， 故选C． 7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　） A．22 B．3 C．4 D．2 答案：C 解析：本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．延长AD、BC交于E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案． 解：延长AD、BC交于E， ∵∠BCD＝120°，∴∠A＝60°， ∵∠B＝90°，∴∠ADC＝90°，∠E＝30°， 在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，在Rt△CDE中，DE， ∴AD＝AE﹣DE＝4，因此本题选C． 8．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用总价＝单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解析】∵共买了一千个苦果和甜果， ∴x+y＝1000； ∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， ∴xy＝999． ∴可列方程组为． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（ ） A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx 【答案】D 【解析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x， ∴∠EAB=x，∴∠FBA=x， ∵AB=a，AD=b， ∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx， 故选D． 10.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM、GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A． 【解析】连接EG,FH交于点O,由折叠得△OGF是等腰直角三角形，OF＝GF．∵正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，∴（OF＋FM）2＝GF＋GF＝GF2，∴GF＋FM＝GF，∴FM＝GF－GF，∴＝.故选A． 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．不等式组的解集是　﹣3≤x＜1　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解析】解不等式x+3≥0，得：x≥﹣3， 解不等式x﹣1＜0，得：x＜1， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜11， 故答案为：﹣3≤x＜1． 13．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么　乙　将被录用（填甲或乙）． 应聘者 项目 甲 乙 学历 9 8 经验 7 6 工作态度 5 7 【分析】根据加权平均数的定义列式计算，比较大小，平均数大者将被录取． 【解析】∵，， ∴， ∴乙将被录用， 故答案为：乙． 14．用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为　5　cm． 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr，然后解关于r的方程即可． 【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得2πr， 解得r＝5（cm）． 故答案为：5． 15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为　0　． 【分析】联立方程组，可求y1，y2的值，即可求解． 【解析】∵直线y＝x与双曲线y交于A，B两点， ∴联立方程组得：， 解得：，， ∴y1+y2＝0， 故答案为：0． 16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 　 ﹣4＜m＜0　． 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解． 【解析】∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴﹣＜0， ∴b＞0， ∵抛物线经过（0，﹣2）， ∴c＝﹣2， ∵抛物线经过（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∴a+b＝2，b＝2﹣a， ∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2， 当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4， ∵b＝2﹣a＞0， ∴0＜a＜2， ∴﹣4＜2a﹣4＜0， 故答案为：﹣4＜m＜0． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系． 三、解答题：（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 【答案】-2 【解析】 【分析】 先计算乘方和去绝对值符号，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解． 【详解】 解：原式=-1+2-1-2×1 =-1+2-1-2 =-2． 【点睛】 本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂的运算、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE. 【思路分析】利用平行四边形的性质证明△ABF≌△CDE，进而得到结论 【解题过程】∵四边形ABCD是平行四边形中， ∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC， ∵E、F分别是边BC、AD的中点， ∴AF=CE. 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴∠ABF=∠CDE. 【知识点】线段中点的定义、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质 19. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数的值代入求值． 思路分析：将括号内通分，注意-x+1的符号变化，注意选取字母值时要保证原分式有意义. 解：原式 = = ==． ∵满足的整数有-2，-1，0，1，2，又∵或x=0时，分母的值为0， ∴x只能取-2或2. 当x=-2时，原式=，当x=2时，原式=．（答对两种情况之一即得满分） 20．如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这（x+y+2）件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值． 【分析】（1）由M号的销售量及其所占的百分比求出运动服装总销量，再求出XXL号运动服装销量的百分比，根据各组所占百分比的和为单位1求出XL号运动服装销量的百分比； （2）用运动服装总销量分别乘以S号，L号，XL号所占的百分比，得到对应服装销量，即可补全条形统计图； （3）根据题意列出方程组，求解即可． 【解析】（1）60÷30%＝200（件）， 100%＝10%， 1﹣25%﹣30%﹣20%﹣10%＝15%． 故XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%； （2）S号服装销量：200×25%＝50（件）， L号服装销量：200×20%＝40（件）， XL号服装销量：200×15%＝30（件）， 条形统计图补充如下： （3）由题意，得， 解得． 故所求x，y的值分别为12，6． 21．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位） （1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，1.732） 【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离； （2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可． 【解析】（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N， 由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°， 在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝8040 （mm）＝FM， ∠DCN＝90°﹣60°＝30°， 又∵∠DCB＝80°， ∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°， ∵AM⊥DE，CN⊥DE， ∴AM∥CN， ∴∠A＝∠BCN＝50°， ∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°， 在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44， ∴AM＝AF+FM＝51.44+40120.7（mm）， 答：点A到直线DE的距离约为120.7mm； （2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°， 在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40， ∴tan∠D0.500， ∴∠D＝26.6°， 因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°， 答：CD旋转的角度约为33.4°． 22．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D； ②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O； ③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M． （2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线； （3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径． 解：（1）如图所示， ①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线； ②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O； ③如图，⊙O与AB交于点M； （2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在AD上， ∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC， ∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切线． （3）根据题意可知OM＝OA＝ODAM，AM＝4BM， ∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴， 由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B， ∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴，即，解得DO＝6，故⊙O的半径为6． 解析：本题考查圆的综合运用，将圆的相关性质与角平分线及垂直平分线的性质结合一起，要充分的数形结合，找到图中相等的角、线段或者相似三角形，从而进行求解（1）①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；（2）根据线段垂直平分线及角平分线的性质推出角之间的关系，再根据平行线的判定得出OD∥AC，从而得出OD⊥BC即可；（3）根据题意得到线段之间的关系：OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，再根据相似三角形的性质求解即可． 23.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”． 定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”， 例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”， 因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数． 解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下： ∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位， ∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”． （2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下： ①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个； ②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”． 综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13． 24．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）． （1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式． （2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）． （3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出10，即a（）2+b•1＝0，推出是方程ax2+bx+1的根，可得结论． （3）由题意a＞0，∴m，n，根据m+n＝0，构建方程可得结论． 【解析】（1）由题意，得到3，解得b＝﹣6， ∵函数y1的图象经过（a，﹣6）， ∴a2﹣6a+a＝﹣6， 解得a＝2或3， ∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3． （2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0， ∴r2+br+a＝0， ∴10， 即a（）2+b•1＝0， ∴是方程ax2+bx+1的根， 即函数y2的图象经过点（，0）． （3）由题意a＞0，∴m，n， ∵m+n＝0， ∴0， ∴（4a﹣b2）（a+1）＝0， ∵a+1＞0， ∴4a﹣b2＝0， ∴m＝n＝0． 25．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）． （1）如图2，在旋转过程中， ①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由； ②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长． （2）如图3，延长CE交直线AG于点P． ①求证：AG⊥CP； ②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①结论：△AGD≌△CED．根据SAS证明即可． ②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．解直角三角形求出AT，GT，再利用相似三角形的性质求解即可． （2）①如图3中，设AD交PC于O．利用全等三角形的性质，解决问题即可． ②因为∠CPA＝90°，AC是定值，推出当∠ACP最小时，PC的值最大，推出当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）． 【解析】（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED． 理由：∵四边形EFGD是正方形， ∴DG＝DE，∠GDE＝90°， ∵DA＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠GDE＝∠ADC， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△AGD≌△CED（SAS）． ②如图2中，过点A作AT⊥GD于T． ∵△AGD≌△CED，CD＝CE， ∴AD＝AG＝4， ∵AT⊥GD， ∴TG＝TD＝1， ∴AT， ∵EF∥DG， ∴∠GHF＝∠AGT， ∵∠F＝∠ATG＝90°， ∴△GFH∽△ATG， ∴， ∴， ∴GH． （2）①如图3中，设AD交PC于O． ∵△AGD≌△CED， ∴∠DAG＝∠DCE， ∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP， ∴∠AOP+∠DAG＝90°， ∴∠APO＝90°， ∴CP⊥AG． ②∵∠CPA＝90°，AC是定值， ∴当∠ACP最小时，PC的值最大， ∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中）， ∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2， ∴EC2， ∵EF＝DE＝2， ∴CP＝CE+EF＝2+2， ∴PC的最大值为2+2． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在实数，，0，，1.01010010001，中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．据光明日报网，中国科学技术大学的潘建伟、陆朝阳等人构建了一台76个光子100个模式的量子计算机“九章”．它处理“高斯玻色取样”的速度比目前最快的超级计算机“富岳”快一百万亿倍．也就是说，超级计算机需要一亿年完成的任务，“九章”只需一分钟．其中一百万亿用科学记数法表示为（　　） A．10×1012 B．10×1014 C．1×1014 D．1×1015 3．某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱 4.如图，直线m∥n，直角三角板ABCD的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于 A．19° B．38° C．42° D．52° 5. 下列计算正确的是 ( ) A.a6+a6＝2a12 B.2－2÷20×23＝32 C. D. 6．甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　） A．22 B．3 C．4 D．2 8．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（ ） A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx 10.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM、GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF面积相等，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共16分.） 11．分解因式： ． 12．不等式组的解集是　 　． 13．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么 将被录用（填甲或乙）． 应聘者 项目 甲 乙 学历 9 8 经验 7 6 工作态度 5 7 14．用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为　 　cm． 15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2的值为 　． 16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18. 如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE. 19. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数的值代入求值． 20．如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这（x+y+2）件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值． 21．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位） （1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，1.732） 22．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D； ②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O； ③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M． （2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线； （3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径． 23.《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”． 定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”， 例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”， 因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数． 24．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）． （1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式． （2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）． （3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值． 25．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）． （1）如图2，在旋转过程中， ①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由； ②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长． （2）如图3，延长CE交直线AG于点P． ①求证：AG⊥CP； ②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$