黄金卷04（福建专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A C A A B D B C 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．1≤x＜7 12．29 13．甲 14．4﹣π 15．9 16．9 α﹣β＝7.5° 三、解答题：（本大题共9题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（8分） 【思路分析】】原式第一项是绝对值的化简，第二项特殊角的三角函数，第三项是二次根式的计算，第四项是有理数的乘方，最后一项是负整数指数的计算，再利用二次根式的加减法即可得到结果． 【解题过程】原式=2-+--+=． 18.（8分）【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD， ∵DE=CF， ∴AE=DF， 在△BAE和△ADF中，AB=AD、∠BAE=∠ADF、AE=DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF； 19.（8分） 分析：根据解分式方程的步骤解答即可. 解：去分母，得（x+1)2－4＝x2－1 去括号，得x2+2x+1－4＝x2－1 移项、合并同类项，得2x＝2 二次项系数化为1，得，x＝1. 检验，当x＝1时，（1-x）（1+x）=0， ∴x=1是分式方程的增根，故原分式方程无解. 20.（8分） 解：（1）甲成绩的平均数为：； 甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100 ， ∴甲成绩的中位数为：； （2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，（a为0-9的整数） 则乙成绩的平均数为：， 当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即， 解得， ∴a的值可以为这8个整数 ∴P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数)； （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，，解得， 此时乙的平均数也为95， ∴甲的方差为： ； 乙的方差为：， ∵， ∴甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛． 解析：本题考查了中位数、算术平均数、方差、一步事件的概率．（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，求出乙成绩的平均数，解不等式得到a的范围，利用概率公式即可求解；（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方差较小的即可． 21.（10分） 【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标代入可求解； （2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M（c，c），由两点距离公式可得（c﹣2）2+（c2）2＝8，可求c＝4或，即可求解； 【解析】（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0）， ∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， ∵二次函数图象过点C（0，4）， ∴4＝a（0+2）（0﹣4）， ∴a， ∴二次函数的解析式为y（x+2）（x﹣4）x2+x+4； （2）存在， 理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ， ∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点， ∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC4， 设直线BP解析式为：y＝kx+b， 由题意可得：， 解得： ∴直线BP的解析式为：yx， ∵∠BMC＝90° ∴点M在以BC为直径的圆上， ∴设点M（c，c）， ∵点Q是Rt△BCM的中点， ∴MQBC＝2， ∴MQ2＝8， ∴（c﹣2）2+（c2）2＝8， ∴c＝4或， 当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去， ∴c，则点M坐标（，）， 故线段PB上存在点M（，），使得∠BMC＝90°； 22.（10分） 【思路分析】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可； 方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可. （2）根据（1）中的作图方法，利用待定系数法求出函数表达式. 【解题过程】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可； 方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可. （2）方法一：由作图可知点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，4）， 设AC的解析式为y=kx+b， 则，解得, ∴. 方法二：作BM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，则BM=4，BN=6， 设A（a，0）C（0，b），利用轴对称的性质可得BC=OC=b，AB=OA=a， 由△BAM∽BCN得， ∴， ∴ 设AC的解析式为y=mx+n， 则，解得, ∴. 23.（10分） 【分析】（1）设v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出m和n；设y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可； （2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可； （3）设黑白两球的距离为wcm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质可得出结论． 【解析】（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得， 解得，， ∴v＝﹣t+10； 设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得， 解得， ∴y＝﹣t2+10t． （2）令y＝64，即﹣t2+10t＝64， 解得t＝8或t＝32， 当t＝8时，v＝6； 当t＝32时，v＝﹣6（舍）； （3）设黑白两球的距离为wcm， 根据题意可知，w＝70+2t﹣y ＝t2﹣8t+70 ＝（t﹣16）2+6， ∵＞0， ∴当t＝16时，w的最小值为6， ∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球． 另解1：当w＝0时，t2﹣8t+70＝0，判定方程无解． 另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm． 【点评】本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，（3）关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到． 24.（10分） 思路分析： （1）直接代入计算可得； （2）综合运用上面的三角形面积公式和余弦定理可解决问题． 解：（1）S△DEF＝EF·DFsin∠F＝×3×8×＝6； DE2＝EF 2＋DF2－2EF·DFcos∠F＝32＋82－2×3×8×＝49． （2）∵AB2＝AC2＋BC2－2 AC·BCcos60°， ∴AB2＝AC2＋BC2－ AC·BC． ∴AB2＋AC·BC＝AC2＋BC2． ∵S1＋S2＝AC·BCsin60°＋AB2·sin60°＝（AC·BC+ AB2）sin60°， S3＋S4＝BC2·sin60°＋AC2·sin60°＝（BC2＋AC2）sin60°， ∴S1＋S2＝S3＋S4． 25.（14分） 【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论； （2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论； （3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90°，则可求出答案； ②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案． 【解析】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD（∠ACD﹣∠ABC）α， （2）如图1，延长BC到点T， ∵四边形FBCD内接于⊙O， ∴∠FDC+∠FBC＝180°， 又∵∠FDE+∠FDC＝180°， ∴∠FDE＝∠FBC， ∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠FDE， ∵∠ADF＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴BE是∠ABC的平分线， ∵， ∴∠ACD＝∠BFD， ∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°， ∴∠DCT＝∠BFD， ∴∠ACD＝∠DCT， ∴CE是△ABC的外角平分线， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）①如图2，连接CF， ∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角， ∴∠BAC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BAC， ∴∠BFC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵∠FCE＝∠FAD， ∴∠BEC＝∠FAD， 又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD， ∴△FDE≌△FDA（AAS）， ∴DE＝DA， ∴∠AED＝∠DAE， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝∠DAE＝45°， ②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FAC＝∠EBC∠ABC＝45°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AED＝∠FAC， ∵∠FED＝∠FAD， ∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD， ∴∠AEG＝∠CAD， ∵∠EGA＝∠ADC＝90°， ∴△EGA∽△ADC， ∴， ∵在Rt△ABG中，AG， 在Rt△ADE中，AEAD， ∴， ∴， 在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2， ∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2， ∴x， ∴ED＝AD， ∴CE＝CD+DE， ∵∠BEC＝∠FCE， ∴FC＝FE， ∵FM⊥CE， ∴EMCE， ∴DM＝DE﹣EM， ∵∠FDM＝45°， ∴FM＝DM， ∴S△DEFDE•FM． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　） A．3.14 B． C． D． 【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解． 【解析】3，4， A、3.14是有理数，故此选项不合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意； D、比4大的无理数，故此选项不合题意； 故选：C． 2．2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成，（其中，为整数），即可得到答案． 【详解】解：万， 故选B． 3．我国古代数学家刘徽用"牟合方盖"找到了球体体积的计算方法."牟合方盖"是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌人一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成"牟合方盖"的一种模型,它的俯视图是( ) 第3题图 【答案】A 【解析】由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体,而横嵌入圆柱的俯视图是长方形,纵嵌入圆柱的俯视图是圆,正方体俯视图是正方形,故选A. 4. 如图，将一副三角形和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角析的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 答案：C，解析：延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2＝30°，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得：∠1＝∠3－∠2＝45°－30°＝15°．故选C． 5.下列运算结果正确的是 A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】解：A选项，a3·a2=a3+2=a5，故正确； B选项(a3)2=a3×2=a6，故错误； C选项，a3和a2不是同类项，不能合并，故错误； D选项，a-2=，故错误. 故选A. 【知识点】同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，负整数指数幂 6．如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：本题主要考查随机事件的概率，由题可知，米粒落在阴影部分的概率=，结合图形，可计算得到大正方形的边长为，因此大正方形的面积为27，所以阴影部分的面积为27-(12+3)=12，因此P(米粒落在阴影部分)=,故本题选A. 7．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数． 【解答】解：如图，设AD与BC交于点F， ∵BC∥DE， ∴∠CFA＝∠D＝90°， ∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAD＝30° 故选：B． 8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（　　） A．x＝100x B．x＝100﹣x C．x＝100+x D．x＝100x 【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解析】设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走60， 依题意，得：60+100＝x． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）． A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7° C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5° 答案：B 解析：本题考查了圆的基本性质与定理，根据圆周角定理、直径所对的圆周角，可以求得α的值． 连接DE、CA、CD．∵＝，∴∠EDB＝∠EBD＝α ∵∠ABC＝∠CBD＝∠EBD，∴＝＝ ∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝2α ∠CAD＝∠CDA＝∠DCB＋∠EBD＝3α ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90° ∴∠CAD＋∠EBD＝4ɑ＝90°，∴α＝22.5°因此本题选B． 10．已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m）， B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．4 【分析】求出抛物线的对称轴x＝b，再由抛物线的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），也可以得到对称轴为，可得b＝c+1，再根据二次函数的图象与x轴有公共点，得到b2﹣4c≤0，进而求出b、c的值． 【解析】由二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c的图象与x轴有公共点， ∴（﹣2b）2﹣4×1×（2b2﹣4c）≥0，即b2﹣4c≤0 ①， 由抛物线的对称轴xb，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m）， b，即，c＝b﹣1 ②， ②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2， c＝b﹣1＝2﹣1＝1， ∴b+c＝2+1＝3， 故选：C． 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．不等式组的解集为 1≤x＜7　　 ． 答案：1≤x＜7． 解析：本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后取它们的公共部分，即为该不等式组的解集，即解不等式x﹣3＜4，得：x＜7，解不等式，得：x≥1，则不等式组的解集为1≤x＜7，因此本题答案为1≤x＜7． 12．已知，，则 29 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 13．为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 　甲　鱼池．（填甲或乙） 【分析】根据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大小即可． 【解析】由题意可得， 甲鱼池中的鱼苗数量约为：100÷＝2000（条）， 乙鱼池中的鱼苗数量约为：100÷＝1000（条）， ∵2000＞1000， ∴初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池， 故答案为：甲． 14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为　4﹣π　．（结果保留π） 【分析】根据勾股定理求出AC，得到OA、OC的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 【解析】∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°， 由勾股定理得，AC2， ∴OA＝OC， ∴图中的阴影部分的面积＝222＝4﹣π， 故答案为：4﹣π． 15．如图，点A、B在反比函数y的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是　9　． 【分析】根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 【解析】∵点A、B在反比函数y的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6， ∴A（4，3），B（2，6）， 作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E， ∴S△AOD＝S△BOE12＝6， ∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED， ∴S△AOB（4+2）×（6﹣3）＝9， 故答案为9． 16．图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在点A观测点F的仰角为45°． （1）点F的高度EF为 　9　m． （2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是 　α﹣β＝7.5°　． 【分析】（1）连接A′A并延长交EF于点H，易证四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均为矩形，可得HE＝AB＝1m，HD＝EB＝8m，再根据在点A观测点F的仰角为45°，可得HF＝HD＝8m，即可求出FE的长； （2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，根据入射角等于反射角，可得∠FAM＝2∠FAK，∠AF′N＝2∠FA′R，根据HF＝8m，HA′＝8m，解直角三角形可得∠HFA′＝60°，从而可得∠AFA′的度数，根据三角形外角的性质可得∠FA′R＝7.5°+∠FAK，再根据平行线的性质可表示∠DAB和∠D′A′B′，从而可得α与β的数量关系． 【解析】（1）连接A′A并延长交EF于点H，如图， 则四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均为矩形， ∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8m， ∵在点A观测点F的仰角为45°， ∴∠HAF＝45°， ∴∠HFA＝45°， ∴HF＝HD＝8， ∴EF＝8+1＝9（m）， 故答案为：9； （2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，如图所示： 则∠FAM＝2∠FAK，∠AF′N＝2∠FA′R， ∵HF＝8m，HA′＝8m， ∴tan∠HFA′＝， ∴∠HFA′＝60°， ∴∠AFA′＝60°﹣45°＝15°， ∵太阳光线是平行光线， ∴A′N∥AM， ∴∠NA′M＝∠AMA′， ∵∠AMA′＝∠AFM+∠FAM， ∴∠NA′M＝∠AFM+∠FAM， ∴2∠FA′R＝15°+2∠FAK， ∴∠FA′R＝7.5°+∠FAK， ∵AB∥EF，A′B′∥EF， ∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°， ∴∠DAB＝∠BAF+∠FAK﹣∠DAK＝135°+∠FAK﹣90°＝45°+∠FAK， 同理，∠D′A′B′＝120°+∠FA′R﹣90°＝30°+∠FA′R＝30°+7.5°+∠FAK＝37.5+FAK， ∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°， 故答案为：α﹣β＝7.5°． 三、解答题：（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 计算： 【思路分析】】原式第一项是绝对值的化简，第二项特殊角的三角函数，第三项是二次根式的计算，第四项是有理数的乘方，最后一项是负整数指数的计算，再利用二次根式的加减法即可得到结果． 【解题过程】原式=2-+--+=． 18．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G． 求证：BE=AF； 【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD， ∵DE=CF， ∴AE=DF， 在△BAE和△ADF中，AB=AD、∠BAE=∠ADF、AE=DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF； 19. 解方程：. 分析：根据解分式方程的步骤解答即可. 解：去分母，得（x+1)2－4＝x2－1 去括号，得x2+2x+1－4＝x2－1 移项、合并同类项，得2x＝2 二次项系数化为1，得，x＝1. 检验，当x＝1时，（1-x）（1+x）=0， ∴x=1是分式方程的增根，故原分式方程无解. 20．某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下： 甲：92，95，96，88，92，98，99，100 乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98 由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清， （1）求甲成绩的平均数和中位数； （2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率； （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛． 解：（1）甲成绩的平均数为：； 甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100 ， ∴甲成绩的中位数为：； （2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，（a为0-9的整数） 则乙成绩的平均数为：， 当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即， 解得， ∴a的值可以为这8个整数 ∴P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数)； （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，，解得， 此时乙的平均数也为95， ∴甲的方差为： ； 乙的方差为：， ∵， ∴甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛． 解析：本题考查了中位数、算术平均数、方差、一步事件的概率．（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，求出乙成绩的平均数，解不等式得到a的范围，利用概率公式即可求解；（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方差较小的即可． 21．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）． （1）求二次函数的解析式． （2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标代入可求解； （2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M（c，c），由两点距离公式可得（c﹣2）2+（c2）2＝8，可求c＝4或，即可求解； 【解析】（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0）， ∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， ∵二次函数图象过点C（0，4）， ∴4＝a（0+2）（0﹣4）， ∴a， ∴二次函数的解析式为y（x+2）（x﹣4）x2+x+4； （2）存在， 理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ， ∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点， ∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC4， 设直线BP解析式为：y＝kx+b， 由题意可得：， 解得： ∴直线BP的解析式为：yx， ∵∠BMC＝90° ∴点M在以BC为直径的圆上， ∴设点M（c，c）， ∵点Q是Rt△BCM的中点， ∴MQBC＝2， ∴MQ2＝8， ∴（c﹣2）2+（c2）2＝8， ∴c＝4或， 当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去， ∴c，则点M坐标（，）， 故线段PB上存在点M（，），使得∠BMC＝90°； 22. 如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）. （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹） （2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式. 【思路分析】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可； 方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可. （2）根据（1）中的作图方法，利用待定系数法求出函数表达式. 【解题过程】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可； 方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可. （2）方法一：由作图可知点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，4）， 设AC的解析式为y=kx+b， 则，解得, ∴. 方法二：作BM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，则BM=4，BN=6， 设A（a，0）C（0，b），利用轴对称的性质可得BC=OC=b，AB=OA=a， 由△BAM∽BCN得， ∴， ∴ 设AC的解析式为y=mx+n， 则，解得, ∴. 23．在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处． 小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度v/cm/s 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． （1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 【分析】（1）设v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出m和n；设y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可； （2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可； （3）设黑白两球的距离为wcm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质可得出结论． 【解析】（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得， 解得，， ∴v＝﹣t+10； 设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得， 解得， ∴y＝﹣t2+10t． （2）令y＝64，即﹣t2+10t＝64， 解得t＝8或t＝32， 当t＝8时，v＝6； 当t＝32时，v＝﹣6（舍）； （3）设黑白两球的距离为wcm， 根据题意可知，w＝70+2t﹣y ＝t2﹣8t+70 ＝（t﹣16）2+6， ∵＞0， ∴当t＝16时，w的最小值为6， ∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球． 另解1：当w＝0时，t2﹣8t+70＝0，判定方程无解． 另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm． 【点评】本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，（3）关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到． 24. 如图，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C＝，则 S△ABC＝BC·AD＝ BC·AC sin∠C＝absin∠C， 即S△ABC＝absin∠C， 同理S△ABC＝bcsin∠A， S△ABC＝acsin∠B， 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理—余弦定理： 在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2＝b2＋c2－2bccos∠A b2＝a2＋c2－2 accos∠B c2＝a2＋b2－2 abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题： （1）如图，在△DEF中，∠F＝60°，∠D、∠E的对边分别是3和8． 求S△DEF和DE 2． 解：S△DEF＝EF·DFsin∠F＝_______________； DE2＝EF 2＋DF2－2EF·DFcos∠F＝______________． （2）在△ABC中，已知AC＞BC，∠C＝60°，△ABC＇、△BCA＇、△ACB＇分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC＇、△BCA＇、△ACB＇的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1＋S2＝S3＋S4． 思路分析： （1）直接代入计算可得； （2）综合运用上面的三角形面积公式和余弦定理可解决问题． 解：（1）S△DEF＝EF·DFsin∠F＝×3×8×＝6； DE2＝EF 2＋DF2－2EF·DFcos∠F＝32＋82－2×3×8×＝49． （2）∵AB2＝AC2＋BC2－2 AC·BCcos60°， ∴AB2＝AC2＋BC2－ AC·BC． ∴AB2＋AC·BC＝AC2＋BC2． ∵S1＋S2＝AC·BCsin60°＋AB2·sin60°＝（AC·BC+ AB2）sin60°， S3＋S4＝BC2·sin60°＋AC2·sin60°＝（BC2＋AC2）sin60°， ∴S1＋S2＝S3＋S4． 25．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E． （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径． ①求∠AED的度数； ②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积． 【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论； （2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90°，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论； （3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90°，则可求出答案； ②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，解得x，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案． 【解析】（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD（∠ACD﹣∠ABC）α， （2）如图1，延长BC到点T， ∵四边形FBCD内接于⊙O， ∴∠FDC+∠FBC＝180°， 又∵∠FDE+∠FDC＝180°， ∴∠FDE＝∠FBC， ∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠FDE， ∵∠ADF＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴BE是∠ABC的平分线， ∵， ∴∠ACD＝∠BFD， ∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°， ∴∠DCT＝∠BFD， ∴∠ACD＝∠DCT， ∴CE是△ABC的外角平分线， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）①如图2，连接CF， ∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角， ∴∠BAC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BAC， ∴∠BFC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵∠FCE＝∠FAD， ∴∠BEC＝∠FAD， 又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD， ∴△FDE≌△FDA（AAS）， ∴DE＝DA， ∴∠AED＝∠DAE， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝∠DAE＝45°， ②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FAC＝∠EBC∠ABC＝45°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AED＝∠FAC， ∵∠FED＝∠FAD， ∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD， ∴∠AEG＝∠CAD， ∵∠EGA＝∠ADC＝90°， ∴△EGA∽△ADC， ∴， ∵在Rt△ABG中，AG， 在Rt△ADE中，AEAD， ∴， ∴， 在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2， ∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2， ∴x， ∴ED＝AD， ∴CE＝CD+DE， ∵∠BEC＝∠FCE， ∴FC＝FE， ∵FM⊥CE， ∴EMCE， ∴DM＝DE﹣EM， ∵∠FDM＝45°， ∴FM＝DM， ∴S△DEFDE•FM． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（福建专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题4分，共40分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　） A．3.14 B． C． D． 2．2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学家刘徽用"牟合方盖"找到了球体体积的计算方法."牟合方盖"是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌人一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成"牟合方盖"的一种模型,它的俯视图是( ) 第3题图 4. 如图，将一副三角形和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角析的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 5.下列运算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 7．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（　　） A．x＝100x B．x＝100x C．x＝100+x D．x＝100﹣x 9．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）． A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7° C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5° 10．已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m）， B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分.） 11．不等式组的解集为 　　 ． 12．已知，，则 ． 13．为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 　 　鱼池．（填甲或乙） 14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为　 　．（结果保留π） 15．如图，点A、B在反比函数y的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是　 　． 16．图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在点A观测点F的仰角为45°． （1）点F的高度EF为 　 　m． （2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是 　 　． 三、解答题：（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 计算： 18．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G． 求证：BE=AF； 19. 解方程：. 20．某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下： 甲：92，95，96，88，92，98，99，100 乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98 由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清， （1）求甲成绩的平均数和中位数； （2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率； （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛． 21．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）． （1）求二次函数的解析式． （2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）. （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹） （2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式. 23．在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处． 小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度v/cm/s 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． （1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 24. 如图，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C＝，则 S△ABC＝BC·AD＝ BC·AC sin∠C＝absin∠C， 即S△ABC＝absin∠C， 同理S△ABC＝bcsin∠A， S△ABC＝acsin∠B， 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理—余弦定理： 在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2＝b2＋c2－2bccos∠A b2＝a2＋c2－2 accos∠B c2＝a2＋b2－2 abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题： （1）如图，在△DEF中，∠F＝60°，∠D、∠E的对边分别是3和8． 求S△DEF和DE 2． 解：S△DEF＝EF·DFsin∠F＝_______________； DE2＝EF 2＋DF2－2EF·DFcos∠F＝______________． （2）在△ABC中，已知AC＞BC，∠C＝60°，△ABC＇、△BCA＇、△ACB＇分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC＇、△BCA＇、△ACB＇的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1＋S2＝S3＋S4． 25．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E． （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径． ①求∠AED的度数； ②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$