精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

哈三中2024—2025学年度上学期 高二学年期末考试数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟. 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 已知，，直线和直线垂直，则的最小值为（ ） A. 16 B. 9 C. 8 D. 7 4. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 5. 某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数变小 B. 相关系数的值变小 C. 残差平方和变小 D. 解释变量与预报变量相关性变弱 6. 某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（ ） A. 0.08 B. 0.15 C. 0.1 D. 0.9 7. 已知圆和两点，，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为： 0 1 2 且，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 平面直角坐标系中，抛物线，过的焦点作直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. 则，则直线的倾斜角为60° C. 过线段的中点作轴的垂线，交于点，交的准线于点，则点为线段的中点 D. 过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则的最小值为2 11. 我们把一组渐近线相同的双曲线称为“共渐双曲线”.已知双曲线与双曲线为“共渐双曲线”则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 过点可引四条直线与双曲线有且只有一个公共点 C. 若双曲线的左右顶点分别为，，垂直于轴的直线交双曲线右支于，两点，则直线，交点的轨迹为椭圆的一部分 D. 当时，双曲线的左右焦点为，，圆与在第一象限内交点为，，，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为______. 13. 为筹备2025年第九届亚冬会，某单位需要安排甲、乙、丙三人初一至初四值班4天，每天一人值班，每人至少值一天班，则甲值不连续两天的概率为______. 14. 三棱锥中，已知，当平面与平面的夹角最大时，三棱锥的体积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别是，，.已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，为底面圆周上的两点，且，是母线的中点. （1）求点到平面的距离； （2）设与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过点且与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 18. 2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 （1）通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ （2）园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； （3）为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 19. 已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，的最小值为2. （1）求抛物线的标准方程； （2）已知点是轴上一点，求的最小值； （3）已知，动直线与抛物线相交于两点，，且，过点作，垂足为，求出定点的坐标，使得为定值，并求出定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2024—2025学年度上学期 高二学年期末考试数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟. 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程可知，进而求出即可求解. 【详解】由椭圆，则，所以，即， 所以椭圆的焦点为. 故选：B. 2. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解即可， 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以. 故选：C. 3. 已知，，直线和直线垂直，则的最小值为（ ） A. 16 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直满足的系数关系可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】由于直线和直线垂直，故， 即， 结合，，则， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 4. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则双曲线的实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点差法，结合斜率公式可得，即可根据的关系求解. 【详解】设，则且， 相减可得， 故， 故， 又，故，解得， 故长轴长为， 故选：B 5. 某水文站为了研究所在河段降雨量（单位：）与水位增长量（单位：）之间的关系，记录了9次相关数据，绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合. 若将图中9个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） A. 决定系数变小 B. 相关系数的值变小 C. 残差平方和变小 D. 解释变量与预报变量相关性变弱 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，由决定系数、相关系数、残差平方和及相关性的概念和性质作出判断. 【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好， 对于A：决定系数越接近1，拟合的回归方程越优， 故去掉点后变大，越趋于1，故A错误； 对于B：相关系数越趋于1，拟合的回归方程越优， 由图可得与正相关，故会越接近1，即相关系数的值变大，故B错误； 对于C：残差平方和变小，拟合效果越好，故C正确； 对于D：解释变量与预报变量相关性增强，故D错误. 故选：C 6. 某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，丙厂产品的合格率是80%，若从该地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（ ） A. 0.08 B. 0.15 C. 0.1 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式，即可求解. 【详解】设电动车为甲厂生产为事件，电动车为乙厂生产为事件，电动车为丙厂生产为事件，电动车为次品为事件， 则，，且，， 则 . 故选：C 7. 已知圆和两点，，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得结论. 【详解】圆的圆心，半径为， 因为圆上至少存在一点，使得，则， 所以圆与圆的位置关系为相交、内切或内含， 所以可得，又因为， 所以，即. 即实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知常数，在成功概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.经计算：.对于几何分布的拓展问题，在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据发生的三种可能情况，即可求解. 【详解】由条件可知，， 解得：. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解，以及根据前2次试验结果，发生的三种可能情况. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为： 0 1 2 且，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质以及期望公式可得，即可根据期望的性质以及方差的性质求解. 【详解】由题意可得，解得，故AB正确， ,，故,故C错误，D正确， 故选：ABD 10. 平面直角坐标系中，抛物线，过的焦点作直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. 则，则直线的倾斜角为60° C. 过线段的中点作轴的垂线，交于点，交的准线于点，则点为线段的中点 D. 过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和几何性质及直线与抛物线的位置关系结合韦达定理求解即可. 【详解】设， 由抛物线的性质，，，所以为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B，设直线的倾斜角为，过点作准线于点，过点作准线于点, 则， 则，同理可得， 所以， 解得，所以或，故B错误； 对于C，设线段的中点，设直线， 联立，消去，得， 则，， 所以，，所以，， ，，故C正确； 对于D，①当直线的斜率不存在时易得，，所以； ②当直线的斜率存在时，设直线， 由，得， ，， 所以 ， 易知直线的方程为， 令，得，所以， 所以． 综上所得，的最小值为2，故D正确. 故选：ACD. 11. 我们把一组渐近线相同的双曲线称为“共渐双曲线”.已知双曲线与双曲线为“共渐双曲线”则下列说法正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 过点可引四条直线与双曲线有且只有一个公共点 C. 若双曲线的左右顶点分别为，，垂直于轴的直线交双曲线右支于，两点，则直线，交点的轨迹为椭圆的一部分 D. 当时，双曲线的左右焦点为，，圆与在第一象限内交点为，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】求得双曲线的离心率判断A；设过点的直线方程为，与双曲线联立方程组求得有一个公共点的直线方程可判断B；求得直线，交点的轨迹方程可判断C；求得，为内切圆的半径，利用面积法可求得内切圆的半径，计算可求得可判断D. 【详解】由双曲线，可得渐近线方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，， 双曲线的离心率为， 当双曲线的焦点在轴上时，， 双曲线的离心率为，所以双曲线的离心率为或，故A错误； 过点斜率不存在的直线显然与双曲线无公共点，所以直线斜率存在， 设过点的直线方程为，代入双曲线方程得， 整理得， 当，即时，方程有一解， 当时，，解得， 所以过点可引四条直线与双曲线有且只有一个公共点，故B正确； 若双曲线的左右顶点分别为，，则可得双曲线， 所以，设， 可得直线，， 两式左右两边相乘可得， 又点在双曲线上，所以，所以， 所以，所以，又点，在右支上， 所以直线，交点的轨迹为椭圆的一部分，故C正确； 由题意可知，可得，又，所以， 联立，解得第一象限的点， 设的内心为，由题意可得， 设内切圆与三边的切点分别为， 由双曲线定义可得，结合切线长定理可得， 从而可得，所以为双曲线的右顶点， 所以，其中为内切圆的半径， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，解得， ，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用切线长定理，结合双曲线的性质得到，进而求得内切圆的半径可求解. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线被圆截得的弦长为______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果. 【详解】圆：的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为， 故答案为：2. 13. 为筹备2025年第九届亚冬会，某单位需要安排甲、乙、丙三人初一至初四值班4天，每天一人值班，每人至少值一天班，则甲值不连续两天的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用排列组合，转化为分组分配问题，再结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，甲、乙、丙三人有1人值2天班，其余2人值1天班，共种方法， 甲值不连续两天，有种方法， 所以甲值不连续两天的概率为. 故答案为： 14. 三棱锥中，已知，当平面与平面的夹角最大时，三棱锥的体积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设得当平面与平面的夹角最大时为平面与平面垂直时，建立坐标系，结合椭圆和双曲线的定义以及向量垂直的坐标表示得到，进而由可进行转化求解. 【详解】当平面与平面的夹角最大时为平面与平面垂直时， 以中点为原点，平面与平面所在平面分别为平面和平面建立如图所示的空间直角坐标系， 则，因为， 所以点为平面上以为焦点､实轴长为的椭圆上的点， 该椭圆方程为，设，则， 又因为，所以为平面上以为焦点､实轴长为的双曲线上的点，该双曲线方程为，设， 则，所以， 因为，所以， 所以三棱锥的体积为， 所以 ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别是，，.已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，以及余弦定理，即可求解； （2）由正余弦定理求和，再根据二倍角公式以及两角差的正弦公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知，， 因为，所以，即， 根据余弦定理，； 【小问2详解】 因为，为三角形内角，所以， 根据正弦定理，即，得， 根据余弦定理， 所以，， . 16. 如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，为底面圆周上的两点，且，是母线的中点. （1）求点到平面的距离； （2）设与交于点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据点面距离的公式求解， （2）根据直线方向向量与平面法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系. 由题意得，，，，，，， ∴，, 设平面的法向量为， ∴，令，可取. 故到平面的距离为 【小问2详解】 如图，过点作于点， 由于故， 则， 设直线与平面所成角为， 直线与平面所成角的正弦值为 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过点且与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义及焦点坐标、关系即可求解； （2）根据设直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及三角形面积公式可得关于的表达式，再利用换元法与基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，由的周长等于8，得，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设直线方程：， 联立，得， 所以，可得， ， 所以， 所以， 令，则， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以面积的最大值为. 18. 2024年初，哈尔滨利用得天独厚的冰雪资源，成功火出圈，吸引了大批游客前来旅游.2024年底，第26届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.超级冰滑梯作为园区最具人气的娱乐项目，每年冬天都会吸引众多游客慕名前来体验，坐上专用爬犁，上演冰雪版的速度与激情，让游客大呼过瘾.为了提升游客的游玩体验，园区决定增加超级冰滑梯的滑道数量.现有开放滑道数量和游客平均排队等待时间的数据如下： 滑道数量 11 12 13 14 15 平均等待时间（分钟） 88 81 75 70 66 （1）通过回归分析，可以利用模型对与的关系进行拟合.利用表中数据，求出关于的回归方程，并依据该模型预测，为了让游客的平均等待时间不超过40分钟，至少应开放多少条滑道？ （2）园区内超级冰滑梯和雪花摩天轮2个项目每个项目的平均排队时间为60分钟，冰雪世界等4个体验项目每个项目的平均排队时间为40分钟，梦想大舞台等3个演出活动每个项目的平均排队时间为30分钟.由于天气原因，小红决定选择其中的3个项目进行游玩，求小红排队时间总和恰为120分钟的概率； （3）为吸引游客，园区开展了抽奖活动.现有一家三口参加该抽奖活动，有两种抽奖方式可供选择： 方式①：三人独立抽奖，每人抽奖一次，每人中奖的概率为30%； 方式②：三人组队抽奖，共抽奖三次，第一次中奖的概率为20%，若某次抽奖不中，那么下一次中奖的概率会增加10%，若已中奖，那么下一次中奖的概率恢复到20%.为使三人中奖次数的期望更大，应选择哪种抽奖方式？ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：设，，，，，，，，，，. 【答案】（1），21条 （2） （3）方式一 【解析】 【分析】（1）根据所给的数据，利用最小二乘估计法求和，即可求解回归方程，再根据方程转化为不等式，即可求解； （2）根据古典概型概率公式，结合组合公式，即可求解； （3）分别求两个方式的分布，以及期望，比较大小，即可判断. 【小问1详解】 设， 则，，∴ 令，，∴至少应开放21条滑道 【小问2详解】 设事件“小红排队时间总和恰为120分钟” 则4个体验项目选取3个，或是超级冰滑梯和雪花摩天轮选1个，或是梦想大舞台3个中选2个，则 ， 【小问3详解】 方式①：中奖次数， 方式二：设中奖次数为 ， ， ，所以选方式一 19. 已知抛物线的焦点为，在抛物线上任取一点，的最小值为2. （1）求抛物线的标准方程； （2）已知点是轴上一点，求的最小值； （3）已知，动直线与抛物线相交于两点，，且，过点作，垂足为，求出定点的坐标，使得为定值，并求出定值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用两点间距离公式，结合定义域和二次函数的最值，即可求解； （2）利用两点间距离，转化为关于的二次函数，结合函数的定义域，讨论得到取值范围，求函数的最值； （3）首先设直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，可判断直线过定点，再结合几何关系，即可求解. 【小问1详解】 设，，，. .∴时，，∴， ∴ 【小问2详解】 ，， 当即时，； 当即时，.综上， 【小问3详解】 当不存在时，设，不能和抛物线有2个交点，故舍去， 当存在时，设，设， ，∴，∴，∴， ， ∴ ∵，∴，∴ ∴，∴，∴，即直线过定点 ∵，∴点为中点时，为定值，此时，. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的关键一是判断直线过定点，关键2是利用直角三角形的性质，解决定值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $