精品解析：四川省眉山中学校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

2023级高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ） A. 9或1 B. 1 C. 9 D. 9或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】是双曲线上一点，所以，所以， 由双曲线定义可知， 所以或者，又，所以， 故选：C 3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 4. 在不超过 9 的质数中， 随机选取两个不同的数， 其和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法写出所有可能，计数后计算概率． 【详解】不超过9的质数有共4个，任取两个求和有：，，，，，共6个， 其中和为偶数的有3个：，，， 和为偶数的概率为， 故选：C． 5. 已知事件互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得. 故选：D 6. 已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案. 【详解】设，其中， 则，即， 所以， 所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线. 故选：D 7. 如图，已知在平行六面体中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，进而根据空间向量求模即可. 【详解】由题意可知，因为， 所以，所以． 故选：A． 8. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，由，得到，结合双曲线的定义，求得，再由，得到，即可求解. 【详解】设的内切圆半径为，因为， 所以，可得， 因为点为双曲线右支上一点， 所以，可得，解得， 又因为，可得，整理得， 即，解得或（舍去）. 故选：D. 二、多选题 9. 中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三个桩，一个好汉三个帮”等等．都能体现团队协作、集体智慧的强大．假设某人能力较强，他独自一人解决某个项目的概率为．同时，有由个水平相当的人组成的团队也在研究该项目，团队成员各自独立解决该项目的概率都是．如果这个人组成的团队解决该项目的概率为，且，则的取值可能是（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】从对立事件角度考虑求得，依题建立指数不等式，通过取对数，利用对数函数的单调性和对数的运算性质计算即得的取值范围，即可确定选项. 【详解】依题意，， 由可得，即， 两边取对数，可得. 故选：BCD. 10. 设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由焦点在x轴上和渐近线方程，求出，由焦点在y轴上和渐近线方程，求出，从而求出离心率. 【详解】当焦点在x轴上，所以，故离心率. 当焦点在y轴上，所以，故离心率. 故选：AC 11. 在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（ ） A. 二面角 的平面角的正切值为 B. 三棱锥 体积为 C. 以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为 D. 线段 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设交于点，证明是二面角的平面角，计算其正切判断A，由体积公式计算体积判断B，设交于点，证明平面，由球性质得为截面圆圆心求出半径后再计算圆面积判断C，作出点关于平面的对称点，建立空间直角坐标系，计算的长判断D． 【详解】如图，设交于点， 平面，平面，则，同理， 又，，平面， 所以平面，而平面，所以， 所以是二面角的平面角， 由已知，， 所以，A正确； 由正方体性质知，B错； 如图，设交于点，由且得， 即，， 由平面，平面，得，同理可得， 而，平面，所以平面， （易得实际上等边是的中心） 以点为球心作一个半径为的球，则该球被平面所截的圆面， 为圆心，设是圆周上一点，则， 圆面积为，C正确； 延长至点，使得，则，即是关于平面的对称点， 因此，当且仅当是与平面的交点时，等号成立， 以为原点，o 轴建立空间直角坐标系，如上图， 则，，，∴， ，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离等于，列出方程，即可求解． 【详解】由抛物线，可得，所以准线方程为， 如图所示，设点其中，且 过点作，垂足为， 由抛物线的定义得，点到抛物线的准线的距离等于， 即， 所以，解得，即点的横坐标为． 故答案为：18. 13. 小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为__________ 【答案】##0.56 【解析】 【分析】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况.运用独立事件概率乘法公式分别求出概率，再相加即可. 【详解】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况，小耿会小吴不会和小吴会小耿不会. 则小耿与小吴恰有1人会答的概率为. 故答案为：. 14. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，不妨令焦点在轴，设出椭圆和双曲线的方程，根据垂直关系得到，然后结合三角函数，利用换元法表示出，结合辅助角公式即可求出最终结果. 【详解】由题意不妨设双曲线方程为， 椭圆方程为，， 则，，， 则，， 又，则， 化简可得，即， 设，，则， 设，，， 因为，， 所以， 即，解得， 则， 又，则， 所以，， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，.第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，. （1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率； （2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率； （3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率. 【答案】（1）；（2），，；（3）. 【解析】 【分析】（1）要求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格，甲合格和乙不合格 这两个事件是相互独立事件，根据相互独立事件同时发生的概率公式和对立事件的概率公式， 得到结果；（2）甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格，对于每一个人来说两次选拔 是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，分别得到结果； （3）甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格，包括三种情况，即只有甲合格， 只有乙合格，只有丙合格，这三种情况是互斥的，三个人是否合格是相互独立的，根据概率公式得到结果． 【详解】（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件，； 设表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则 . （2）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件、、，则 ，，. （3）设表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格， 则 . 16. 已知圆. （1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； （2）若圆与圆C相切，求实数m的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情况； （2）分内切和外切，结合公式，列式求值. 【小问1详解】 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 则，解得，所以直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问2详解】 圆的方程可化为. 若圆与圆C外切，则，解得. 若圆与圆C内切，则，解得. 综上，或. 17. 2023年4月21日，以“去南充，Lang起来”为主题的南充文旅（成都）推介会在成都宽窄巷子举行．本次推介会围绕“六百里秀美嘉陵江，两千年人文南充城”展开，通过川北大木偶、川剧快闪等多个环节，展示了将帅故里、锦绣南充的文旅资源，同时还向成都市民和广大游客推介了千年古城阆中游、将帅故里红色游、山水风光览胜游、亲子行读研学游和潮流江岸时尚游等五条精品旅游线路，为了解本次推介会的效果，随机抽取了名观众进行有奖知识答题，现将答题者按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若第一组有5人． （1）求； （2）现用分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取6人，再从这6人随机抽取2人作为幸运答题者，求这2人幸运答题者恰有1人来自第五组的概率． 【答案】（1）100 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可知第一组的频率，结合第一组的频数求解即可； （2）先根据分层抽样确定在第四组和第五组中分别抽取的人数，从这6人随机抽取2人，列举出所有抽取情况，再根据古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图知：第一组的频率为， 因此，. 【小问2详解】 根据频率分布直方图知，第四组的人数为， 第五组的人数为， 根据分层抽样可知：第四组应抽取人，记这4人分别为， 第五组应抽取人，记这2人分别为， 再从这6人随机抽取2人， 则样本空间为， 共计15个样本点，事件“2位幸运答题者恰有1位来自第五组的”包含的样本点为 ，共计8个 由古典概型概率公式得：， 所以这2位幸运答题者恰有1位来自第五组的概率为. 18. 如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. （1）求证: 平面 ； （2）若四面体的体积为 ，求； （3）在（2）的条件下，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） .的中点为，则. . ，则， 故，即. 因为，，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可证线面垂直； （2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 而， 所以，解得：. 【小问3详解】 过作轴垂直平面，以方向分别为 则， ， 设平面法向量为 由得， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19. 已知椭圆，短轴长为，且经过点.过左焦点 的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明:直线过定点，并求定点坐标； （3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，定点； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据短轴长及椭圆上点求椭圆参数，即可得方程； （2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理求中点坐标，利用垂直关系确定坐标，进而写出直线的方程，即得定点； （3）由，结合（2）及弦长公式求关于m的表达式，最后应用基本不等式求面积的最值. 【小问1详解】 由题设，，可得，故. 【小问2详解】 由点B，D在x轴上方，直线l斜率存在且不为0， 设直线，联立椭圆，消去得， 由韦达定理得，且， 则中点，由，则代替m，得， 所以，故， 化简得，则过定点． 当时，取，，则过定点； 当时，取，，则过定点； 综上，直线MN过定点． 【小问3详解】 由点M，N分别为AB，DE的中点， 由 ， 由（2）知， 以代替m，得， 所以， 当且仅当，即时，． 【点睛】关键点点睛：第三问，数形结合得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ） A. 9或1 B. 1 C. 9 D. 9或2 3. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ） A. ，3 B. ，2 C. 1，3 D. ，2 4. 在不超过 9 的质数中， 随机选取两个不同的数， 其和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7. 如图，已知在平行六面体中，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三个桩，一个好汉三个帮”等等．都能体现团队协作、集体智慧的强大．假设某人能力较强，他独自一人解决某个项目的概率为．同时，有由个水平相当的人组成的团队也在研究该项目，团队成员各自独立解决该项目的概率都是．如果这个人组成的团队解决该项目的概率为，且，则的取值可能是（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 10. 设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率可以为（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，为平面 上的一动点，则下列选项正确的是（ ） A. 二面角 的平面角的正切值为 B. 三棱锥 体积为 C. 以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为 D. 线段 的最小值为 三、填空题 12. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为______． 13. 小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为__________ 14. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是_______. 四、解答题 15. 某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，.第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，. （1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率； （2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率； （3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率. 16. 已知圆. （1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程； （2）若圆与圆C相切，求实数m的值. 17. 2023年4月21日，以“去南充，Lang起来”为主题的南充文旅（成都）推介会在成都宽窄巷子举行．本次推介会围绕“六百里秀美嘉陵江，两千年人文南充城”展开，通过川北大木偶、川剧快闪等多个环节，展示了将帅故里、锦绣南充的文旅资源，同时还向成都市民和广大游客推介了千年古城阆中游、将帅故里红色游、山水风光览胜游、亲子行读研学游和潮流江岸时尚游等五条精品旅游线路，为了解本次推介会的效果，随机抽取了名观众进行有奖知识答题，现将答题者按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若第一组有5人． （1）求； （2）现用分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取6人，再从这6人随机抽取2人作为幸运答题者，求这2人幸运答题者恰有1人来自第五组的概率． 18. 如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. （1）求证: 平面 ； （2）若四面体的体积为 ，求； （3）在（2）的条件下，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 19. 已知椭圆，短轴长为，且经过点.过左焦点 的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明:直线过定点，并求定点坐标； （3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $