精品解析：湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高一上学期期末考试 数学试题 命题单位：恩施州高中教育联盟咸丰一中 命题人：杨金煜 谢勇 谢辉 考试满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数的大致图象是（ ） A B. C. D. 6. 当生物死亡后，机体内原有的碳14含量会按确定的比率（称为衰减率）衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.如果是某生物刚死亡时机体内碳14的质量，那么经过年后，其机体内碳14所剩的质量.考古学家经常利用生物机体内碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.现考古发现某生物机体内碳14的含量是刚死亡时的，根据以上知识推断该生物的死亡时间距今约（ ）（参考数据：，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 7. 已知函数的定义域为，，当时，恒有.若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数且且，，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. 若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为 C. 若是第二象限角，则是第一或第四象限角 D. 若，则 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A B. 若方程有两个不等实根，则 C. 若方程有四个不等实根，则 D. 方程所有实数根的和为10 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为0 B. 若且，则 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若是的三边，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数称为Gauss函数，表示不超过实数的最大整数，例如：，.若函数，则______________. 13. 已知是圆心在原点，半径为2的圆上一点，点从开始，在圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为，则2s时点的坐标为______________. 14. 正实数x，y满足，则的最小值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的值； （2）计算：. 16. 已知. （1）若，求的值； （2）已知的三个内角分别为，且，若，求的值. 17. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）当时，判断函数在区间上的零点个数并证明. 18. 矩形的周长为20，设. （1）求矩形面积最大值及此时的值； （2）当矩形为正方形时，将矩形分割成如图1所示的四个全等的直角三角形和一个正方形，若正方形的边长为1，求； （3）若，如图2，把矩形沿某条直线折叠，使得重合，记为，折叠后，折痕与原矩形边分别交于点的面积为，求的最小值. 19. 中国桥梁建筑奇迹——四渡河大桥位于湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县，该桥主桥是一座特大单跨双铰钢桁架加劲梁悬索桥，两座桥墩之间的钢索构成的曲线形态在数学上被称为悬链线，悬链线在建筑和工程等领域有着广泛的应用.悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝、两根电线杆之间的电线、横跨深涧的观光索道的电缆等，这类悬链线对应的函数表达式为是非零常数，无理数2.71828…） （1）当时，悬链线对应的函数又称为双曲正弦函数，记为；当时，悬链线对应的函数又称为双曲余弦函数，记为.求证：； （2）若为偶函数且在上单调递增，请写出一组符合条件的a，b的值，并说明理由； （3）在（2）的条件下，关于的不等式的解集，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高一上学期期末考试 数学试题 命题单位：恩施州高中教育联盟咸丰一中 命题人：杨金煜 谢勇 谢辉 考试满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两个集合后可求它们的交集. 【详解】，故， 故选：C. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可得解. 【详解】因为命题为全称命题， 所以该命题的否定为. 故选：B. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断充分性，举例说明判断必要性，进而求解. 【详解】由，得，所以充分性成立； 当时，满足，但不满足，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集得出关系，再解分式不等式即可. 【详解】由不等式的解集为， 可得，，即， 所以不等式可化为，即， 所以可得，解得或， 所以不等式的解集为， 故选：C 5. 已知函数，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】，所以AD选项错误， ，所以C选项错误. 综上所述，B选项正确. 故选：B 6. 当生物死亡后，机体内原有的碳14含量会按确定的比率（称为衰减率）衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.如果是某生物刚死亡时机体内碳14的质量，那么经过年后，其机体内碳14所剩的质量.考古学家经常利用生物机体内碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.现考古发现某生物机体内碳14的含量是刚死亡时的，根据以上知识推断该生物的死亡时间距今约（ ）（参考数据：，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】由生物机体内碳14所剩的质量，生物机体内碳14的含量是刚死亡时的，列出方程，利用对数运算求出. 【详解】因为生物机体内碳14所剩的质量，且生物机体内碳14的含量是刚死亡时的， 则，所以，则， 则，又， 又，， 所以， 解得， 所以该生物的死亡时间距今约年. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，，当时，恒有.若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析条件可得为奇函数且为上的增函数，根据奇函数可得，结合自变量的大小可得答案. 【详解】令，则，∴. 令，则，∴，故为奇函数. 当时，， ∵当时，恒有， ∴，即， ∴为上的增函数. ∵，且， ∴，即. 故选：B. 8. 已知函数且且，，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件构造新函数得到它在上是增函数，再利用分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为且， 不妨设，则， 则， 所以， 令函数 则为上的增函数，则 解得. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. 若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为 C. 若是第二象限角，则是第一或第四象限角 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数值、扇形面积、象限角、同角三角函数的基本关系式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， 所以，所以A选项错误. B选项，对应的弧度为，所以扇形的半径为， 所以扇形的面积为，所以B选项正确. C选项，是第二象限角，则，， 所以是第一或第三象限角，C选项错误. D选项，若，两边平方可得： 由于，所以，即或。 当时，，此时， 当时，，此时， 综上，若，则（）， 所以D选项正确. 故选：BD 10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A B. 若方程有两个不等实根，则 C. 若方程有四个不等实根，则 D. 方程所有实数根的和为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解. 【详解】画出函数的图象， 对于A，由的图象可知其关于直线对称， 所以，故A选项正确； 对于B，如图1，当方程有两个不等实根时，或，故B选项错误. 对于C，若方程有四个不等实根， 由前分析知，根据对称性可知， 而是方程的两个不等实根，所以， 所以，故C选项正确. 对于D，方程可化为， 则， 令，则，即的图象关于直线对称， 由A选项知，的图象也关于直线对称，而， 下面仅讨论当时两个函数图象公共点的情况： ， 如图2，当时，函数单调递减，单调递增，所以没有公共点； 当时，联立和，得0， 即，所以曲线和在上仅有一个公共点； 当时，联立和，得（舍去）或， 所以曲线和在上仅有一个交点； 故的图象与的图象在上有两个公共点， 根据函数对称性，的图象与的图象在上也有两个公共点. 综上，的图象与的图象共有五个公共点，且关于直线对称， 如图3，所以方程所有实数根的和为10，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为0 B. 若且，则 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 若是的三边，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断AB；利用函数定义域不对称判断C；利用函数单调性、结合放缩法与作差法判断D. 【详解】对于A，当时，函数， 当且仅当1，即时，等号成立， 所以函数的最小值为0，故A选项正确； 对于B，由，得， 即（当且仅当4时，等号成立），故B选项正确； 对于C，由的定义域为且，可知的定义域不关于点对称， 所以函数的图象不关于点中心对称，故C选项错误； 对于D，在上单调递增，是的三边， 则，， 所以，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 函数称为Gauss函数，表示不超过实数的最大整数，例如：，.若函数，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中定义求出的值，即可求得的值. 【详解】因为， 所以；， . 故答案为：. 13. 已知是圆心在原点，半径为2的圆上一点，点从开始，在圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为，则2s时点的坐标为______________. 【答案】 【解析】 【分析】记点是角终边上的一点，求出角；经过2s，记点是角终边上的一点，根据三角函数定义，即可求出点的坐标. 【详解】记点是角终边上的一点， 则，，则； 经过2s，记点是角终边上的一点， 由题意， 则，， 即点的坐标为. 故答案为： 14. 正实数x，y满足，则的最小值为______________. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解. 详解】由，有， 令函数，因为和都是增函数，则是增函数， 所以，则，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）3；（2）7 【解析】 【分析】（1）根据对数运算性质先求出，再由指数运算法则，即可求出结果； （2）根据对数运算和指数幂的运算法则，即可求出结果. 【详解】（1）， . （2）原式 . 16. 已知. （1）若，求的值； （2）已知的三个内角分别为，且，若，求的值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. （2）利用诱导公式求得正确答案. 【小问1详解】 ， 因，所以， . 【小问2详解】 由（1）得， 因为的三个内角分别为，所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以. 17. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）当时，判断函数在区间上的零点个数并证明. 【答案】（1） （2）唯一一个零点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得对任意恒成立；讨论，两种情况，即可求出结果； （2）当时，，先根据复合函数单调性的判断方法，判断其单调性，再由零点存在性定理，即可判断出零点个数. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 所以对任意恒成立； 当时，不等式可化为，解得，不符合题意； 当时，只需， 解得， 所以实数取值范围为. （2）在区间上有唯一一个零点，证明如下： 当时，， 令，所以函数在区间上单调递增.又因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 而，又，所以， 因为， 又，所以， 所以，结合在区间上单调递增. 所以在区间上有唯一一个零点. 18. 矩形的周长为20，设. （1）求矩形面积的最大值及此时的值； （2）当矩形为正方形时，将矩形分割成如图1所示的四个全等的直角三角形和一个正方形，若正方形的边长为1，求； （3）若，如图2，把矩形沿某条直线折叠，使得重合，记为，折叠后，折痕与原矩形边分别交于点的面积为，求的最小值. 【答案】（1）最大值为25，此时 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式可求最大值； （2）设，根据正余弦的平方关系可求该角的正余弦，故可求正切或者根据勾股定理可求的长，从而求得角的正切值； （3）利用面积差或等积法可得，再结合基本不等式可求最小值 【小问1详解】 设，由题意，， 所以矩形的面积，当且仅当时，等号成立， 所以矩形面积的最大值为25，此时. 【小问2详解】 设，由题意，， 即，又， 所以， 所以. 另解：设，则， 在中，，解得， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为，所以，设， 所以，即， 易知直线PQ过矩形中心，所以梯形APQD的面积为， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 另解：因为，所以，设， 所以，即， 易证，所以， 所以，所以， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 19. 中国桥梁建筑的奇迹——四渡河大桥位于湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县，该桥主桥是一座特大单跨双铰钢桁架加劲梁悬索桥，两座桥墩之间的钢索构成的曲线形态在数学上被称为悬链线，悬链线在建筑和工程等领域有着广泛的应用.悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝、两根电线杆之间的电线、横跨深涧的观光索道的电缆等，这类悬链线对应的函数表达式为是非零常数，无理数2.71828…） （1）当时，悬链线对应的函数又称为双曲正弦函数，记为；当时，悬链线对应的函数又称为双曲余弦函数，记为.求证：； （2）若为偶函数且在上单调递增，请写出一组符合条件的a，b的值，并说明理由； （3）在（2）的条件下，关于的不等式的解集，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）（答案不唯一），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算求证即可； （2）利用指数函数的单调性及函数单调性的定义求解即可； （3）利用函数的单调性转化为，再由解集为的子集，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 证明：由题意，， 所以， 【小问2详解】 因为为偶函数，所以，即， 所以，所以，即， 此时，任取且， 所以. 因为，所以， 所以，所以， 要使在上单调递增，则，可以取.（答案不唯一） 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以原不等式可化为. 又因为是单调递增的函数，且， 所以原不等式可化为. 由题意，即， 当时，上式恒成立，即不等式的解集为，不符合题意； 当时，解得，即不等式的解集. 因为，所以，所以或， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$