精品解析：广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度上学期2024级（高一）期末考试 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整数有理数的定义可判断A,B选项；利用集合的定义及集合的特性可判断C,D选项. 【详解】对于选项A：Z为正整数，显然A不正确； 对于选项B：Q为有理数，但为无理数，故B不正确； 对于选项C：利用集合元素的互异性即可判断，C正确； 对于选项D：表示集合里只有一个元素，而表示集合里的两个元素，两个集合不存在包含关系，故D不正确. 故选：C 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为指数函数为上的增函数，则， 指数函数为上的减函数，则， 对数函数在上为增函数，则， 因此，. 故选：A. 3. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式计算可得，再由周期公式以及余弦函数的奇偶性可得结论. 【详解】易知， 所以其最小正周期为， 且满足，即该函数为偶函数； 因此函数是最小正周期为的偶函数. 故选：B 4. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正切函数定义域可判断A错误，根据指数函数单调性可得B错误，再由幂函数性质及定义域可得C错误，利用分段函数单调性以及对数函数性质可得D正确. 【详解】对于A，显然函数的定义域不为，即A错误； 对于B，因为，所以函数在上单调递减，即B错误； 对于C，易知的定义域为，即在上单调递增，即C错误； 对于D，易知在上单调递增，在上单调递增， 且，所以在上单调递增，即D正确. 故选：D 5. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 6. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（ ） A. 2080 B. 40020 C. D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据均值不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当C最小时，s的值为20. 故选：D 7. 已知命题，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】取出反例得到是假命题，是真命题，根据零点存在性定理判断得到方程有根，故是真命题，是假命题，得到答案. 【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题. 对于而言，令，，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 故是真命题，是假命题. 综上，和都是真命题. 故选：B 8. 函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式将函数图像画出，得到关于对称，而，再利用不等式性质即可判断. 【详解】 由题意，假设，由上图可知关于对称，故， 由不等式得，又当且仅当时取等号，但是故等号不成立，即； 又因为都为负值，故；而，故， 所以，故，又，故. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式求A，由辅助角公式求B，由两角和的正切公式求C，由同角三角函数的关系结合二倍角公式求D. 【详解】A选项，根据两角差的正弦公式，，A选项错误； B选项，根据辅助角公式，，B选项正确； C选项，根据两角和的正切公式，，C选项正确； D选项，，D选项正确. 故选：BCD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 二次函数的零点是 B. 函数与是同一函数 C. 函数且的图象恒过点 D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的零点定义判断选项A；利用同一个函数的概念判断B；求出指数型函数恒过的定点可判断C，利用二次函数的单调性判断选项D. 【详解】对于选项A：令，解得：或，故零点为，故A正确； 对于选项B:因为定义域为，函数定义域为R,故B错误； 对于选项C：令得，此时，所以函数且的图象恒过点，故C错误； 对于选项D：函数开口向上，对称轴为，函数在上单调递增，所以，解得：，实数的取值范围是，故D正确. 故选：AD 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 该图象向左平移个单位长度可得图象 C. 该图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来倍可得图象 D. 函数在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】由图可知，由得，将点代入求得，从而得，验证 是否为0可判断A；根据三角函数图象的变换规律求得变换后的函数解析式可判断B、C；利用三角函数的图象及其单调性可判断D. 【详解】由图可知，由得 ，， 将点的坐标代入中，可得， 则，因为，所以，得， 对于A，将代入，得到， 故函数的图象关于点对称，故A正确； 对于B， 图象向左平移个单位， 则，故B正确； 对于C，对于，如果横坐标伸长到原来的2倍，则； 同时纵坐标缩短到原来的倍，得，故C正确； D.由于，则，而在不单调 故函数在上不单调，故D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出扇形半径，利用扇形面积公式可求得结果. 【详解】弧长为的弧所对的圆心角为，则扇形的半径， 因此该扇形的面积为. 故答案为： 13. 设函数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数的解析式，由内到外逐层计算可得出的值. 【详解】因为，则， 所以，. 故答案为：. 14. 若函数且是指数函数，其图象过点，则函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数定义确定参数值，再结合复合函数单调性可求得单调区间. 【详解】由指数函数定义可得，解得； 代入点可得，解得； 因此， 显然，解得或，即的定义域为； 再由复合函数单调性可得的单调递增区间即为在上的单调递减区间； 由二次函数性质可得在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案. （2）由题结合诱导公式、二倍角正切公式可得答案. 【小问1详解】 由题结合任意角三角函数定义可得： ，； 【小问2详解】 根据诱导公式化简可得： ， 由（1）知，，，则， 所以， 所以. 16. 已知集合（其中）， （1）求； （2）当时，求； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求出集合，再由补集运算可得结果； （2）将代入，再由交集运算可得； （3）根据交集结果得出集合间的包含关系，再对集合是否为空集分类讨论可得结果. 【小问1详解】 不等式，解得，故， 所以或； 【小问2详解】 当时，集合， 所以或； 【小问3详解】 由可得， 当时，即时，满足题意； 当时，要使得， 或， 解得或； 综上可知，实数的取值范围为或. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值； （3）若，求的值. 【答案】（1），单调减区间为. （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由（1）得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解； （3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. 【小问3详解】 由函数，可得， 因为， 所以 . 18. 函数，函数，已知函数是定义域为的奇函数. （1）解不等式：； （2）求的值，并判断函数在上的单调性（不用证明）； （3）若存在使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）,在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数函数的值域解指数型不等式即可； （2）根据奇函数的定义求参数值，然后根据定义判断函数的单调性； （3）结合（2）的函数单调性，分离参数，得到，然后根据不等式能成立的方法求解. 【小问1详解】 由题知，，即，即， 根据指数函数的性质，恒成立，于是解得，解得， 即的解为 【小问2详解】 由题知，，由于在上的奇函数， 则对于成立， 即， 即， 即； 于是.任取，结合指数函数性质， ， 即在上单调递增 【小问3详解】 由（2）可知，根据可得， 由，整理可得， 存在，使得成立， 故需求不等式右边的最小值，由，则， 故当时，不等式右边取到最小值， 即. 19. 现定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（，为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如：函数在上是同步函数.理由：，，，得，在上是同步函数. （1）若函数在上是同步函数，求的值； （2）已知反比例函数在上是同步函数，求的值； （3）若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）直接按新定义求解即可； （2）经分析得出含的方程组解出即可； （3）由新定义解出抛物线方程，进而利用基本不等式解出的最小值即可. 【小问1详解】 函数在上是同步函数，且函数是递减函数， 又，，故当时，；当时，； 即，解得，. 【小问2详解】 由反比例函数在上是同步函数，，， 反比例函数在和上都是递减的， 当时，取最大值，当，取最小值， 即，故得. 【小问3详解】 可化为，过点， 因，，则对称轴， 故在上递增， 又在上是同步函数， 当时，取最小值1，当时，取最大值3. 即得，，解得，， 函数表达式为， 所以，当且仅当时取“”， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：转化思想是解决集合新定义题目的一种常见方法；如小问由函数新定义解出，变形转化为；小问解出函数表达式为，将转化成基本不等式求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期2024级（高一）期末考试 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 4. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 6. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（ ） A. 2080 B. 40020 C. D. 20 7. 已知命题，命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 8. 函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个式子中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 二次函数的零点是 B. 函数与是同一函数 C. 函数且的图象恒过点 D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 该图象向左平移个单位长度可得图象 C. 该图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来倍可得图象 D. 函数在上单调递减 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为__________. 13. 设函数，则__________. 14. 若函数且是指数函数，其图象过点，则函数的单调递增区间为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知集合（其中）， （1）求； （2）当时，求； （3）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在上的最值； （3）若，求的值. 18. 函数，函数，已知函数是定义域为的奇函数. （1）解不等式：； （2）求的值，并判断函数在上的单调性（不用证明）； （3）若存在使成立，求实数的取值范围. 19. 现定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（，为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如：函数在上是同步函数.理由：，，，得，在上是同步函数. （1）若函数在上是同步函数，求的值； （2）已知反比例函数在上是同步函数，求的值； （3）若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $