第05讲 数列求和（5考点&6题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

第05讲 数列求和 课程标准 学习目标 ①公式法 ②分组求和法 ③裂项相消、错位相减法 1. 掌握理解等差、等比数列的求和公式，并能够熟练应用。 2. 掌握数列的分组求和，并能够熟练的进行应用。 3. 掌握裂项相消和错位相减法，并能够熟练的运用其解决相关题目。 知识点01 公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 知识点02 分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 知识点03 相裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 知识点04 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 知识点05 倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型01 公式法求和 【典例1】已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 (1)求通项公式 (2)设，求数列的前项和 【变式1】已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若． (1)求数列，的通项公式； (2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和． 【变式2】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 题型02 分组求和法 【典例2】例1.已知等差数列前项的和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式1】已知数列满足，，为数列的前项和． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【变式2】若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型03 裂项相消求和 【典例3】已知等比数列和等差数列，满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 【变式1】.（多选）设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前10项和为 【变式2】.已知等差数列满足，则数列的通项公式为 ；记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式3】.设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为 . 【变式4】.已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式5】已知公比为的等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型04 错位相减法 【典例4】已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【变式1】（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【变式2】已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式3】已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 题型05 并项求和 【典例5】记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)求证：对于且，． 【变式1】在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，且__________. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式2】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 【变式3】记为数列的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项的和． 题型06 周期数列 【典例6】设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 【变式1】1．已知数列中，，则数列前2024项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 【变式2】无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则 . 1．已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 2．已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，记的前项和，求． 3.已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，求数列的前项和． 4.设数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足，，求数列的前项的和． 5.已知为公比大于0的等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足.其中. （i）求及； （ii）求. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 数列求和 课程标准 学习目标 ①公式法 ②分组求和法 ③裂项相消、错位相减法 1. 掌握理解等差、等比数列的求和公式，并能够熟练应用。 2. 掌握数列的分组求和，并能够熟练的进行应用。 3. 掌握裂项相消和错位相减法，并能够熟练的运用其解决相关题目。 知识点01 公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 知识点02 分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 知识点03 相裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 知识点04 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 知识点05 倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 题型01 公式法求和 【典例1】已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列 (1)求通项公式 (2)设，求数列的前项和 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，即， 又成等比数列，所以，即， 整理得，得或， 若，则，， 若，则，得，，. 综上所述：或. （2）若，则，； 若，则，. 【变式1】已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若． (1)求数列，的通项公式； (2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和． 【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 因为 则，解得， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 因为，所以，， 所以． （2）设数列的第项与数列的第项相等， 则，，， 所以，，， 因为，， 所以当时，，当时，，则，当时，， 当时，，则，当时，， 当时，，则，当时， 当时，，则，当时， 当时，，则， 故的前5项之和． 【变式2】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以. （2）由（1）知， 当时，，则； 当时，，则， 当时，， 当时，. 综上，. 题型02 分组求和法 【典例2】例1.已知等差数列前项的和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得 所以 . 【变式1】已知数列满足，，为数列的前项和． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）对整理有：， 等式两边同时除以可得， 等式两边再同时减得，即， 又由，可得，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）得的通项公式为， 得，所以． （3）由（2）知， 所以 ． 【变式2】若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由为“比差等数列”， 得， 从而. 设，则， 所以数列为等差数列. 因为， 所以为常数列， 因此，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 因此. （2）当为偶数时， ； 当为奇数时，. 综上，. 题型03 裂项相消求和 【典例3】已知等比数列和等差数列，满足，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：． 【解析】（1）等比数列满足，，所以单调递增， 设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得， 解得或（舍去）， 所以，． （2）由（1）可得， 所以 所以， 故， 又，， 即， 所以 ． 【变式1】.（多选）设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【详解】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为： ，D正确. 故选：BD. 【变式2】.已知等差数列满足，则数列的通项公式为 ；记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 ； . 【详解】由等差数列性质得， 解得， 故数列的通项公式为， 所以， 故， 故恒成立， 故， 又， 所以是递增数列，且当趋向于时，恒成立且趋向于2， 故，解得或， 实数的取值范围为. 故答案为：，. 【变式3】.设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，解得， 则， 则 ， 则数列的前项和为： . 故答案为：. 【变式4】.已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）证明：∵，则，即 故数列是首项和公差都为2的等差数列， ∴，即 （2）∵， ∴． 【变式5】已知公比为的等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【解析】（1）由，有，① 又由，有，② ①②得， 整理为，解得或， 由，可得， 可得数列的通项公式为； （2）由， 有， 所以 ． 题型04 错位相减法 【典例4】已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由， 可得，解得 因此. （2）由（1）知，① ，② ①-②得： ， . 【变式1】（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【详解】对于选项A：由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 对于选项B：因为，即， 显然，且，即， 所以为递增数列，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 两式相减得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以的前项和，故D正确． 故选：BCD． 【变式2】已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由， 所以是首项、公比均为3的等比数列，故 所以. （2）由（1）有，则， 所以， 两式相减，得 所以. 【变式3】已知数列的前项和为，且分别满足：，. (1)求通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）令得， 当时，由得： ，两式相减得： ， 整理得，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，得， 当时，， 时，上式也成立，所以， 所以，即. （2）记，其前项和为， 则， ， 两式相减得 所以 题型05 并项求和 【典例5】记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)求证：对于且，． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）在等差数列中，，解得，而， 则数列的公差，通项公式为， 由，得，令等比数列的公比为， 由，得，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 所以数列的前项和 . （3）由（1）知， 当时，， 所以 . 【变式1】在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，且__________. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）若选①，因为为等差数列，令，则，所以公差， 所以等差数列的通项公式为； 若选②，当时，，因此， 即，所以为常数列，因此，所以； 若选③，当时，，即. 又因为，所以. 当时，有，， 所以，即. 又因为，所以，所以是以2为公差的等差数列， 所以. （2）若选①，由（1）可知， ； 若选②，由（1）可知， ； 若选③，由（1）可知， . 【变式2】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，则. 依题意，，即， 解得，，所以. 故. （2）由（1）得，， . 【变式3】记为数列的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项的和． 【解析】（1）由是首项与公差均为1的等差数列得 则，当时，， 两式相减得，， 当时，，也满足上式，故数列的通项公式为． （2）由（1）得，， 所以数列的前2024项的和为： 题型06 周期数列 【典例6】设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列满足，，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即， 因此，显然的周期为4， 则 ， 令，则有， 因为， 所以数列是等差数列， 所以数列的前100项和，即数列的前25项和为. 故选：B. 【变式1】1．已知数列中，，则数列前2024项的和为（   ） A．0 B．1012 C．2024 D．4048 【答案】C 【详解】由题意可得，，，，，… 则可得下表： 易知数列存在周期性，最小正周期为， 由，则. 故选：C. 【变式2】无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则 . 【答案】 【详解】已知的前四项成等比数列，，，故， 由于为“和谐递进数列”，故，则 故为周期数列，且周期为4， 故， 故答案为： 1．已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得（，）， ，（，）． 又，，，整理得． 数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的通项公式为． （2）由（1）得，．， 即，， 两式相减，得，． 2．已知等差数列与正项等比数列满足，且是和的等差中项. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，记的前项和，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差，等比数列的公比为， 由可知：，所以，，， 又因为是与的等差中项， 所以，即， 所以. （2）因为， 所以. （3）， ①， ②， ②-①得：. 3.已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，得， 令，则，解得； 当时，， 所以，所以， 所以当时，， 有， 又满足上式， 所以，得， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，所以， 所以， 故， 两式相减，得 ， 所以. 4.设数列的前项和为，已知. (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列满足，，求数列的前项的和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 当时，得，解得； 由题意①，得②， ②①得， 即， 又 所以，即 所以是首项为1，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，则， 又，所以， 且， 又因为当为偶数时，，即， 所以 . 5.已知为公比大于0的等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设数列满足.其中. （i）求及； （ii）求. 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【详解】（1）的公比为， 因为， 可得，解得或（舍去）， 所以 （2）（i）由（1）可知， ， 当时，，可知为等差数列， （ii）由（i）可知，当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 记 则， ， ①， ②， ①－②得， ， ， 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$