第04讲 数列通项公式（5大考点&题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

第04讲 数列的通项公式 课程标准 学习目标 ①观察法、公式法求通项公式 ②累加法、累乘法求通项公式 ③构造法求通项公式 1. 掌握数列递推公式的特点，并能够熟练掌握应用法。 2. 掌握累加法、累乘法步骤，并能够熟练的进行应用。 3. 掌握构造法应用及其技巧，并能够数量的运用其解决相关题目。 知识点01 观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 【即学即练1】，数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：检验可知对均成立，故D正确； 故选：D. 知识点02 公式法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 【即学即练2】 知识点03 累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 【即学即练3】已知数列中，，则 ． 【答案】29 【详解】根据题意，， ，满足该式， 所以，则， 故答案为：29． 知识点04 累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 知识点05 构造数列法 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 题型01 公式法 【典例1】设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，得，满足． 所以是首项为8，公比为4的等比数列，，． （2）因为， 所以． 所以. 故数列的前n项和为，. 【变式1】（多选）数列满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由且，可得，而A选项中，，显然不符合，A错误； 对于B，，即有， 可得，即，， 则，而B选项中，，显然不符合，B错误； 对于D，由B可知，故D正确； 对于C， ，故C正确. 故选：CD. 【变式2】已知数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中， 令，得， 因为， 所以当时，有， 两个式子相减，得，显然适合， 因此； （2）； （3）由（1）（2）可知：， ， ， 两式相减，得 所以 所以. 【变式3】已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，当时，，解得， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）得：， 所以. 题型02 累加法 【典例2】已知数列满足，则（    ） A． B．为递减数列 C．的最小值为-20 D．当时，的最大值为8 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，，所以，A项正确； 对于B，由，得当2时，， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以，由二次函数的性质可知不为递减数列，B项错误； 对于C，因为，所以当或时，取得最小值-20，C项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ACD. 【变式1】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以， 即，，，，， 所以， 即，则， 当时也成立，所以， 故答案为：． 【变式2】在数列中，已知，且，则 ． 【答案】 【解析】由可得： ， ． 故答案为：. 【变式3】已知数列的前n项和为，若，，且 ，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】当时，， 因为，，所以， 因此当时，， 于是当时， ， 显然适合， 故， 故答案为：. 题型03 累乘法 【典例3】（多选）若数列的首项为1，其前项和为，且满足为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为数列的首项为1，其前项和为，且满足①， 所以，当时，②， ①-②得，当时，， 所以当时，，上述各式左右相乘，得 所以，， ， 所以当时，，所以当时，所以，综上，，故A正确； ，故B正确； 因为，所以数列从第二项开始是以首项为1，公差的等差数列， 所以，故C错误； 因为，所以 ，故D正确， 故选：ABD 【变式1】1.在数列中，已知，，则数列的前2024项和 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 因此， 故答案为：. 【变式2】已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【解析】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 【变式3】已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式等于 【答案】 【解析】由得：，当时，， 两式相减得：，化简整理得：， 当时，，即有，解得，因此，，，， ， 而满足上式，所以. 故答案为： 题型04 倒数法 【典例4】已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1），， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； ， 当时，，即， 当时，，所以，即， 当时，，； （2）由（1）得 ， ， 作差可得， . 【变式1】1.（多选）在数列中，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C． D．是等比数列 【答案】BCD 【详解】，则， 因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列， 则，则， 所以，， 所以， 所以是首项为3，公比为1的等比数列， 所以A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD 【变式2】已知数列满足，，，则 . 【答案】 【解析】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 【变式3】已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【解析】对两边取倒数得，即， 当时，，，，，， 将以上各式累加得，又， 所以，所以，当时，也满足，所以. 故答案为： 【变式4】已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 题型05 构造法 【典例5】（多选）已知数列满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．能被3整除 【答案】BCD 【分析】利用构造法得到数列是等比数列，从而求得通项，就可以判断选项，对于数列求和，可以用分组求和法，等比数列公式求和完成，对于幂的整除性问题可以转化为用二项式定理展开后，再加以证明. 【详解】由可得：，所以数列是等比数列，即， 则显然有，所以不成等比数列，故选项A是错误的； 由数列是等比数列可得：，即，故选项B是正确的； 由可得：前项和，故选项C是正确的； 由 ，故选项D是正确的； 方法二：由，1024除以3余数是1，所以除以3的余数还是1，从而可得能补3整除，故选项D是正确的； 故选：BCD． 【变式1】1.已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得数列是以2为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出. 【详解】因为，所以， 由于，则，所以， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以， 所以 ， 故选：D 【变式2】2．数列满足，则数列的前8项和为（      ）. A．63 B．127 C．255 D．256 【答案】C 【详解】由，得， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前8项和为. 故选：C 【变式3】数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 1．（多选）已知数列，下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则数列是等比数列 D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列 【答案】ABD 【详解】对于选项A，由，得， 则 ，故A项正确； 对于选项B，由得， 所以为等比数列，首项为，公比为2， 所以，所以，故B项正确； 对于选项C，因为， 当时，， 当时，， 将代入，得， 所以，所以数列不是等比数列，故C项错误. 对于选项D，设等差数列的公差为d， 由等差数列前项和公式可得， 所以与n无关， 所以数列为等差数列，故D项正确. 故选：ABD 2．设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，则， 因为①， 所以时，②， 由①－②得，时，，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1），得， 所以， . 3．已知数列的首项为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1); (2). 【详解】（1）由，两边取倒数得：， 可得：是等差数列，首项为，公差为3， 所以通项为，即； （2）由得：， , 则两式相减得：， ， ， 即. 4设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题，， 所以当时， 当时，，整理得， 因为，所以，即， 所以数列是以为首项和公差的等差数列， 所以. （2）由（1），故， 所以， 所以 ， 所以不等式对任意正整数均成立对任意正整数均成立 对任意正整数均成立， 所以，又， 所以，所以满足题意的实数的取值范围为. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 数列的通项公式 课程标准 学习目标 ①观察法、公式法求通项公式 ②累加法、累乘法求通项公式 ③构造法求通项公式 1. 掌握数列递推公式的特点，并能够熟练掌握应用法。 2. 掌握累加法、累乘法步骤，并能够熟练的进行应用。 3. 掌握构造法应用及其技巧，并能够数量的运用其解决相关题目。 知识点01 观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 【即学即练1】，数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 知识点02 公式法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 知识点03 累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 【即学即练3】已知数列中，，则 ． 知识点04 累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 知识点05 构造数列法 （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 题型01 公式法 【典例1】设数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【变式1】（多选）数列满足且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【变式3】已知为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 题型02 累加法 【典例2】已知数列满足，则（    ） A． B．为递减数列 C．的最小值为-20 D．当时，的最大值为8 【变式1】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【变式2】在数列中，已知，且，则 ． 【变式3】已知数列的前n项和为，若，，且，则数列的通项公式为 . 题型03 累乘法 【典例3】（多选）若数列的首项为1，其前项和为，且满足为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】1.在数列中，已知，，则数列的前2024项和 ． 【变式2】已知是数列的前项和，，，则 . 【变式3】已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式等于 题型04 倒数法 【典例4】已知数列满兄，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式， (2)求数列的前项和为． 【变式1】1.（多选）在数列中，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C． D．是等比数列 【变式2】已知数列满足，，，则 . 【变式3】已知数列满足，则的通项公式为 . 【变式4】已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 题型05 构造法 【典例5】（多选）已知数列满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的前项和为 D．能被3整除 【变式1】1.已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】2．数列满足，则数列的前8项和为（      ）. A．63 B．127 C．255 D．256 【变式3】数列满足，则数列的通项公式为 . 1．（多选）已知数列，下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则数列是等比数列 D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列 2．设为数列的前项和，已知，. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 3．已知数列的首项为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 4设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$