数学（新高考Ⅰ卷03）-学易金卷：2025年高考第二次模拟考试

2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B C C C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．6 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）该比赛三局定胜负意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢， 则该比赛三局定胜负的概率为.（5分） （2）依题意，的可能取值为2，3，4，（6分） 则，， ，（11分） 则的分布列为 2 3 4 故.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）证明：由于垂直下底面圆, 故, （1分） 平面，平面，所以平面 又,所以， 平面，平面，所以平面 平面,所以平面平面 （6分） （2）由题意可得四边形为等腰梯形，且， 故，,（7分） 由于为等边三角形，，, 又，在圆上，所以,, 故为中点，（8分） 过作交圆于点，又 ，故， 则为平面和平面的交线, 建立如图所示的空间直角坐标系系， ,（10分） 则, 设平面的法向量为，则， 取，则，（12分） ，所以，（14分） 故与平面所成角的正弦值为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）在排列中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个， 与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个， 所以.（5分） （2）由（1）中的方法，同理可得， 又，所以， 设，得，（7分） 所以，解得，则， 因为， 所以数列是首项为1，公比为5的等比数列， 所以，则.（10分） （3）因为， 所以，（12分） 所以， 所以.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由已知得，解得，         所以的方程为.（4分） （2）（i）设，，则， 联立， 消去得，（6分） 则，， 解得，且. 又与的右支交于，两点，的渐近线方程为， 则，即， 所以|的取值范围为.        （9分） （ii）由（i）得，，（10分） 又点在轴上的投影为，所以，， 所以， ，（15分） 所以， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以直线过点.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）当时， 所以切线方程为：即（4分） （2）（ⅰ） 即， 设 又是的一个必要条件，即（6分） 下证时，满足 又， 设在上单调递减， 所以， 又即在单调递增. 时，；（8分） 下面证明时不满足， ， 令， 则， ， ∴在为增函数， 令满足， 则， 又∴,使得，（10分） 当时，， ∴此时在为减函数， 当时，， ∴时，不满足恒成立. 综上.（12分） （ⅱ）设 （15分） 由（ⅰ）知， 在上单调递增，即（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．__________ __________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C．，或 D． 2．复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D．1 3．已知向量，满足，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 4．若，，则（   ） A． B． C． D． 5．在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从分布，且，则 D．若随机变量满足，则 10．设函数，则（   ） A．当时，的极大值大于0 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．，曲线的对称中心的横坐标为定值 11．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．点P的横坐标的取值范围是 B．的最大值是 C．面积的最大值为2 D．的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。 12．椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于 . 13．若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 . 14．在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长． 16．（15分） 已知双曲线的离心率为2，实轴的左､右顶点分别为，虚轴的上､下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内． (1)求证：； (2)为棱上一点，且二面角为，求的值． 18．（17分） 已知函数 (1)判断曲线是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明； (2)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (3)若函数有两个零点，证明：． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． (1)求点的坐标； (2)设，求数列的前项和； (3)若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C．，或 D． 1.【答案】D 【分析】求出集合，集合，再利用并集定义求出． 【详解】因为集合，集合， 所以． 故选：D． 2．复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D．1 2.【答案】D 【分析】由复数的除法计算可得； 【详解】因为，即，所以，所以复数的虚部为1. 故选：D. 3．已知向量，满足，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 3.【答案】A 【分析】将两边平方，由可得，根据数量积的运算计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，即，， 解得（负值已舍去）. 故选：A 4．若，，则（   ） A． B． C． D． 4.【答案】A 【分析】利用同角三角函数的关系求解即可. 【详解】由得， ， ，即， 解得或， ，，. 故选：A. 5．在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 5.【答案】C 【分析】将棱台补全为棱锥，结合已知条件求出大小棱锥的高，利用及棱锥体积公式求棱台的体积. 【详解】由题设，将棱台补全为正棱锥，如下图，且均为正三角形， 其中为底面中心，连接，则面，而面，即， 所以与平面ABC所成角为，而，则，所以， 令的高为，结合棱台的结构特征，知， 所以棱台体积. 故选：C 6．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.【答案】C 【分析】根据分段函数分别应用复合函数单调性及导数求解单调性，分段求解函数值范围及最值再比较列不等式关系即可. 【详解】当时，函数单调递减，无最小值； 当时，函数 当时，函数， 所以单调递增，当时， 要使函数存在最小值，即. 故选：C. 7．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7.【答案】B 【分析】根据伸缩变换规则可得，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果. 【详解】由题可知， 当时，， 若在上只有一个极大值点， 则由的图像可得， 解得， 因为，所以的最大值为3. 故选：B. 8．已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 8.【答案】C 【分析】对于A，由为奇函数，则，再将代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得，再由为偶函数可得，令可求出；对于C，由的图象关于点对称，结合求出进行判断；对于D，利用赋值法求解判断. 【详解】对于A，因为为奇函数， 所以，即， 所以，所以， 所以函数的图象关于点对称，所以A正确， 对于B，在中，令，得，得， 因为函数为偶函数，所以， 所以， 所以， 令，则，所以，得，所以B正确， 对于C，因为函数的图象关于点对称，， 所以，所以， 所以4不是的周期，所以C错误， 对于D，在中令，则， 令，则，因为，所以， 因为，所以，所以D正确， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从分布，且，则 D．若随机变量满足，则 9.【答案】ABD 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从分布，且，则，故错误； D.由随机变量满足，则， 所以，故正确； 故选：ABD 10．设函数，则（   ） A．当时，的极大值大于0 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．，曲线的对称中心的横坐标为定值 10.【答案】BD 【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，再根据极大值即可判断；对于B，由恒成立即可判断；对于C，由解集能否为即可判断；对于D，求出图象的对称中心即可判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或， 由，得，于是在，上单调递增， 在上单调递减，在处取得极大值， 极大值为，故A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，故B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，故C错误； 对于D，由， 得曲线的对称中心的坐标为，故D正确. 故选：BD. 11．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．点P的横坐标的取值范围是 B．的最大值是 C．面积的最大值为2 D．的取值范围是 11.【答案】BCD 【分析】根据双纽线的定义求出曲线的方程，逐一判断各选项的真假即可. 【详解】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：， 当时，曲线的方程为， 对于A：整理可得：，则， 可得，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，所以， 所以，即曲线上任意一点到坐标原点的距离的最大值为，故B正确； 对于C：，令，则， 所以， 所以当时，，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时取等号， ， 所以， 所以的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。 12．椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于 . 12.【答案】 【分析】求出直线的方程为：，根据点到直线距离得到方程，求出，求出离心率. 【详解】依题意，，，，所以直线的方程为：， 又直线与以为圆心半径为的圆相切，故， 即，， 方程两边同除以得，解得或， 又椭圆的离心率，所以. 故答案为： 13．若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 . 13.【答案】 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得，进而代入在直线上，求解. 【详解】因为，所以， 设直线与的切点为，则切线方程为，即， 又因为，所以解得，所以切线方程为， 因为，所以， 设直线与的切点为，所以①， 又因为切点在直线上，所以②， 由①和②可得，所以，解得. 故答案为： 14．在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为 . 14.【答案】 / 【分析】根据条件概率公式之积可得第二次毽子由乙踢出的概率，再由若第次踢出后，建子恰好踢给乙，则第次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可得概率的递推公式，进而可得概率. 【详解】由已知接到前两次踢出的毽子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种， 设事件：第二次的毽子由丙接到，事件：第二次的毽子由乙踢出，丙接到， 则，， 则； 设第次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为， 易知若第次踢出后，建子恰好踢给乙，则第次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙， 即，，且， 则， 即是以为首项，为公比的等比数列， 则， 即， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长． 15.【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，在由三角恒等变换公式化简，即可求出，从而得解； （2）根据等面积法得到，再由余弦定理得到，即可求出，从而求出周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，（1分） ，（2分） ， ，（3分） ，即，（4分） 即， ∴．（5分） 又， ；（6分，不写B的范围扣1分） （2）因为的角平分线与边相交于点， 所以，（7分） 即，（8分） 所以，所以，（9分） 又由余弦定理，即，（10分） 所以，（11分） 解得或（舍去），（12分） 所以.（13分） 16．（15分） 已知双曲线的离心率为2，实轴的左､右顶点分别为，虚轴的上､下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围. 16.【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的性质确定四边形是菱形，结合，，的关系，解方程可得，，，进而得到双曲线方程； （2）由得到，联立直线方程与双曲线方程，结合韦达定理、斜率公式即可求解. 【详解】（1）由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，（1分） 四边形的面积为，①（2分） 又离心率为，②（3分） 联立①②可得，（4分） 双曲线的标准方程为.（5分） （2）设，线段中点， 联立消去整理可得，（6分） ， 即且①，（7分） .（8分） .（9分） .（10分） ，（11分） ②，（12分） 又③，（13分） 由①②③得或， 实数的取值范围是.（15分） 17．（15分） 已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内． (1)求证：； (2)为棱上一点，且二面角为，求的值． 17.【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可知直线与平面所成的角为，根据已知条件求出、的长，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：取线段的中点，连接、， 在斜三棱柱中，且，则四边形为平行四边形， 所以，且，（1分） 因为、分别为、的中点，所以，四边形为平行四边形， 所以，，（2分） 又因为，则，因为，则，（3分） 因为，为的中点，则，（4分） 因为，、平面，所以，平面，（5分） 因为平面，所以，.（6分） （2）解：由（1）可知，平面， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，平面，则， 又因为，，、平面，则平面，（7分） 所以，直线与平面所成的角为， 所以，，则， 因为，可得，， 因为，则，， 所以，，则，（8分） 因为为的中点，所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， ，则， 即点，同理可得点、，（9分） 设，其中， 则，且， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以，平面的一个法向量为，（11分） 易知平面的一个法向量为，（12分） 因为二面角为， 则，（13分） 整理可得，（14分） 因为，解得，即.（15分） 18．（17分） 已知函数 (1)判断曲线是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明； (2)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (3)若函数有两个零点，证明：． 18.【答案】(1)具有中心对称，对称中心为点 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）先求函数定义域，结合对称性的定义分析证明； （2）分析可知在内恒成立，根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解； （3）根据题意可得，，分析可得等价于，构建，利用导数分析分析证明即可. 【详解】（1）令，等价于，解得， 可知的定义域为，（1分） 因为，（2分） 可知具有中心对称，对称中心为点， 显然不为常函数，可知不具有轴对称， 所以具有中心对称，对称中心为点.（3分） （2）因为， 则，（4分） 若在定义域内单调递增，则在内恒成立，（5分） 又因为，则，当且仅当时，等号成立，（6分） 可得，解得， 所以的取值范围为.（7分） （3）由题意可得：，（8分） 令，解得， 可知，， 令，则， 构建，则， 令，解得；令，解得；（9分） 可知在内单调递增，在内单调递减，则，（10分） 且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， 若函数有两个零点，可知与有两个交点， 则，即；（11分） 又因为，两式相减可得， 两式相加可得，（12分） 不妨设，令，可得， 又因为，等价于，等价于，（13分） 构建，则，（14分） 构建，则，（15分） 可知在上单调递增，则，即，（16分） 可知在上单调递增，则， 即，所以.（17分） 19．（17分） 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． (1)求点的坐标； (2)设，求数列的前项和； (3)若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 19.【答案】(1)， (2) (3)和 【分析】（1）根据特征方程和特征根的定义求解即可； （2）由（1）知，化简，再利用裂项相消法求解即可； （3）求得，设，分别求出，再根据特征方程和特征根的定义即可得出答案. 【详解】（1）因为点列的特征根为和， 所以点列的特征方程为，（1分） 所以，（2分） 则，即，（3分） 所以， 所以的坐标为，（4分） 由， 得，即，（5分） 所以， 所以的坐标为；（6分） （2）由（1）知，（7分） ，（8分） 所以；（10分） （3）因为， 所以， 所以，（11分） 设， 则， ， ，（12分） 设， 则①，（13分） ②，（14分） 由①②得，即，（15分） 将代入②得， 因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数， 所以， 又，所以，得，（16分） 又， 所以点列的特征方程为，特征根为和.（17分） 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第二次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C．，或 D． 2．复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D．1 3．已知向量，满足，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 4．若，，则（   ） A． B． C． D． 5．在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从分布，且，则 D．若随机变量满足，则 10．设函数，则（   ） A．当时，的极大值大于0 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．，曲线的对称中心的横坐标为定值 11．中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线C是当时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．点P的横坐标的取值范围是 B．的最大值是 C．面积的最大值为2 D．的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。 12．椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于 . 13．若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则 . 14．在甲､乙､丙､丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为 ；第次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长． 16．（15分） 已知双曲线的离心率为2，实轴的左､右顶点分别为，虚轴的上､下顶点分别为，且四边形的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与交于两点，若，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内． (1)求证：； (2)为棱上一点，且二面角为，求的值． 18．（17分） 已知函数 (1)判断曲线是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明； (2)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (3)若函数有两个零点，证明：． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． (1)求点的坐标； (2)设，求数列的前项和； (3)若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$