专题09 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用（5大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题09 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 1 题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 3 题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 5 题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 8 题型05 三角函数图像与性质的综合应用 10 题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 【解题规律·提分快招】 1、的单调性 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值（以下） （4）单调性 【典例训练】 一、单选题 1．（23-24高三下·云南红河·期末）若函数，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上单调； ③的最大值为，最小值为，则； ④最小正周期是. 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，设函数，则的单调递减区间是 ． 7．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数在的单调递减区间是 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 9．（23-24高三上·安徽·开学考试）写出函数，的一个单调递增区间为 . 10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则当时的最大值为 ． 题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 【解题规律·提分快招】 1、的对称性和奇偶性 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 2、对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 3、函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·云南昆明·期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则是（   ） A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数 ，其中正确的是 （    ） A． 的最小正周期为 ； B． 的图象关于直线 对称； C． 的图象关于点 对称； D． 在区间上单调递增. 4．（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数有下列结论： ①最小正周期为； ②点为图象的一个对称中心； ③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是； ④若的导函数为，则函数的最大值为. 则上述结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 6．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 7．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 10．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（   ） A．在上单调递减 B．是图象的一个对称中心 C．是的一个对称轴 D．的值域为 二、填空题 11．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的最小正周期为，则函数图象的一条对称轴方程为 ． 12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若是偶函数，则实数的值为 . 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上有两个不同的零点，则 . 14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的值域为，则 ． 15．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 . 题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 【解题规律·提分快招】 1、的平移与伸缩 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．（24-25高三上·吉林·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广西·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·山东·阶段练习）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东淄博·期末）把函数的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有2个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 9．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B． C． D．函数的图象的对称轴方程为 题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【解题规律·提分快招】 1、根据图像求解析式一般步骤 ①根据最高最低点求出A ②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分 ③通过带最高或最低点算出φ 【典例训练】 一、多选题 1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．在上有两个极值点 D．点是曲线的一个对称中心 2．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递增区间为 3．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 4．（24-25高三上·河南·期中）函数的部分图象如图所示，直线与图象的其中两个交点的横坐标分别为，，则（    ） A． B． C．的图象关于轴对称 D．在上的最小值为 5．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数的部分图象如图所示，，，，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．当在上恰有4个零点时， 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的图象如图所示，的导函数为，令，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．函数在区间上有2024个零点 D．函数与的图象关于点对称 题型05 三角函数图像与性质的综合应用 【典例训练】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2024·广东·模拟预测）已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．直线是曲线的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上恰有2024个零点 二、多选题 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，其中相邻的两个极值点的距离为，且经过点，则（   ） A． B． C．时，的值域为 D．时，与的交点数为个 三、填空题 5．（2024·北京西城·二模）已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 6．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）定义函数，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为 （2）当且仅当时，该函数取得最大值 （3）该函数是以为最小正周期的周期函数 （4）当且仅当时，. 上述命题中正确的序号是 . 一、单选题 1．（24-25高三上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数（）的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，为了得到（为的导函数）的图象，则只需要将函数图象上的点（    ） A．向左平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的 D．向左平移个单位长度，纵坐标不变 4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．的最小正周期为 B．当时，的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 6．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，且是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 9．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数的图像与轴的两个相邻交点的距离是，若将的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则的表达式是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（    ） ①函数的最小正周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象； ④当时， A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（    ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 二、多选题 13．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增 D．关于直线对称 14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数与，下列说法正确的是（    ） A．将的图象上所有点的横坐标变为原来的，并向左平移个单位可以得到的图象 B．与的图象存在相同的对称中心 C．与在区间上单调性相同 D．当时，与的图象有且仅有个交点 15．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为 D． 16．（2024·全国·模拟预测）已知，若，使得，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上恰有4个零点，则 D．当时，函数的值域为 三、填空题 18．（24-25高三上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为 ． 19．（24-25高三上·河北承德·期中）已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为 ． 20．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则 ． 21．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最大值为 . 22．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 23．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且，则在上的零点个数为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 1 题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 7 题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 18 题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 24 题型05 三角函数图像与性质的综合应用 32 题型01 y＝Asin(ωx＋φ)的单调性 【解题规律·提分快招】 1、的单调性 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值（以下） （4）单调性 【典例训练】 一、单选题 1．（23-24高三下·云南红河·期末）若函数，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将函数解析式化简整理，得到，根据，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 则函数的单调递增区间为，， 故选：C 2．（2024·福建泉州·一模）已知函数的周期为，且在区间内单调递增，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数周期排除AB，根据函数的单调性判断CD即可. 【详解】因为函数的周期为， 所以当时，对正、余弦函数来说，，故排除AB， 当时，， 因为在上单调递增，故C正确，D错误. 故选：C 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）在下列区间函数单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】根据正弦函数的图象，作出函数的图象，如图所示， 可得函数在区间上单调递减. 故选：C. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据辅助角公式化简，结合单调性与周期的关系可得，进而可得，由整体法求解函数的单调增区间，对进行取值，即可求解. 【详解】，周期， 因为函数在上单调递增，则解得， 此时， 则. 函数的单调递增区间满足，即， 当时，，不符合，舍去， 当时，，此时，解得. 当时，，不符合题意舍去， 综上可知最大值为 故选：C 5．（2024·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上单调； ③的最大值为，最小值为，则； ④最小正周期是. 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由偶函数的概念可判断；②先整理当时，，根据的单调性可得；③先去绝对值，分别根据单调性求函数的最值即可；④根据周期函数的概念可得. 【详解】函数的定义域为，因为， 故是偶函数； 当时，，此时， 对于，令，得， 令，得， 又，故在上单调递增，在上单调递减，故②错误； 当时，， 由②可知，在上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，最小值为， 当时，，， 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，最小值为， 故，，，故③正确； 由③可知， 又， 故④正确； 故选 ：C 二、填空题 6．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，设函数，则的单调递减区间是 ． 【答案】（开区间，半开半闭区间也正确） 【分析】根据正弦函数的性质结合条件即得. 【详解】依题意，因为函数在上单调递减， 令，解得， 所以的单调递减区间是． 故答案为：． 7．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数在的单调递减区间是 【答案】和 【分析】，求得在的单调递增区间即可. 【详解】， 故的单调递增区间即为的减区间， 由，得， 又，所以或， 所以函数在的单调递减区间是和. 故答案为：和. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用三角函数值域以及二次函数单调性计算可得结果. 【详解】因为，所以， 易知 当时，， 当时，， 可得函数的值域为. 故答案为： 9．（23-24高三上·安徽·开学考试）写出函数，的一个单调递增区间为 . 【答案】，或，等 【分析】根据函数的奇偶性以及正弦型函数的单调区间公式得出结果. 【详解】因为，所以为偶函数， 由，， 故在上单调递增，在上单调递减， 由对称性可知在上单调递增. 故答案为：，或，等. 10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则当时的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数性质求解可得. 【详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型02 y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 【解题规律·提分快招】 1、的对称性和奇偶性 正弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置，对称中心是与轴交点的位置. 2、对称与周期 (1)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴之间的距离是； (2)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两个对称中心的距离是； (3)y＝Asin(ωx＋φ)相邻两条对称轴与对称中心距离； 3、函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·云南昆明·期中）下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可. 【详解】对A，其最小正周期为，故A错误； 对B，设，且，解得， 其定义域为，关于原点对称，其最小正周期为，故B正确； 对C，其最小正周期为，故C错误； 对D，设 ，定义域为，关于原点对称， 则，则其为偶函数，故D错误. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则是（   ） A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 【答案】A 【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数化简为，即可判断奇偶性和周期性. 【详解】因， 故为奇函数，且最小正周期为. 故选：A. 3．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数 ，其中正确的是 （    ） A． 的最小正周期为 ； B． 的图象关于直线 对称； C． 的图象关于点 对称； D． 在区间上单调递增. 【答案】D 【分析】根据三角函数万能恒等变换化简，然后结合三角函数图象的性质逐项判断. 【详解】根据三角函数万能变换公式，, 选项A：的最小正周期为 ； 选项B：令   所以 的图象关于点 对称； 选项C：令所以的图象关于直线 对称； 选项D：，根据正弦函数的图象性质，在区间上单调递增. 故选：D. 4．（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除A；分别取，，结合函数符号排除CD. 【详解】由题意可知：的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除A； 当时，，所以，排除D； 当时，，所以，排除C． 故选：B． 5．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数有下列结论： ①最小正周期为； ②点为图象的一个对称中心； ③若在区间上有两个实数根，则实数a的取值范围是； ④若的导函数为，则函数的最大值为. 则上述结论正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的性质判断①，②，③，然后求导，利用辅助角公式判断④即可. 【详解】由题可知最小正周期为,故①正确； 根据正弦型函数的性质可知，的对称中心横坐标满足， 显然，故②不正确； 因为，所以， 由复合函数的单调性可知，当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，有最大值为1 ， 所以要使在区间上有两个实数根 则，故③错误; 由题得， 所以 其中，所以的最大值为，故④正确. 故选：C 6．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数的最小正周期为，最大值为，则函数的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 【答案】C 【分析】先利用辅助角公式化简，再根据周期性求出，根据最值求出，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可. 【详解】，其中， 因为函数的最小正周期为， 所以，解得， 因为函数的最大值为， 所以，解得（舍去）， 所以， 因为， 所以函数图象不关于直线对称，也不关于点对称，故AB错误； 因为， 所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故C正确，D错误. 故选：C. 7．（24-25高三上·河北邢台·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的零点与两函数的交点横坐标的关系，借助于函数图象的对称性，即可求得. 【详解】由可得， 则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标. 对于函数，其最小正周期为， 当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3, 当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3. 类似可得函数在区间上的图象变化情况. 如图分别作出和在上的图象如下. 由图可知，两函数在上的图象关于直线对称， 故两者的交点与也关于直线对称， 故 即函数的所有零点的和为 故选：C. 8．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得，再画出与图象在同一坐标系中即可得解. 【详解】，其中，且， 则有，解得，即， 则，即， 画出与图象如图所示： 由图可知，曲线与的交点个数为. 故选：B. 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的的取值为或9，分类讨论验证单调性即可得结论. 【详解】设函数的最小正周期为，因为函数在上单调递增，所以，得，因此． 由知的图象关于直线对称，则①． 由知的图象关于点对称，则②． ②①得，令，则， 结合可得或9． 当时，代入①得，又，所以， 此时，因为，故在上单调递增，符合题意； 当时，代入①得，，又，所以， 此时，因为， 故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去． 综上，的值为3． 故选：A. 10．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（   ） A．在上单调递减 B．是图象的一个对称中心 C．是的一个对称轴 D．的值域为 【答案】D 【分析】先根据最小正周期为，求出，确定的解析式，画出函数图象，判断函数的奇偶性，对称性，求出一个周期内函数值的范围，然后对选项中的结论逐一分析即可得结论. 【详解】函数的最小正周期为，所以， 从而 即，其图象如图所示， 由图象知先减后增，故A错误； ， 不是的一个对称中心，，故B错误； ， 不是的一条对称轴，因此答案C错误； 时，此时， 因为是偶函数，所以时， 又因为函数的最小正周期为，所以的值域为，D正确. 故选：D. 二、填空题 11．（2024·贵州毕节·三模）已知函数的最小正周期为，则函数图象的一条对称轴方程为 ． 【答案】（答案不唯一，符合均为正确答案） 【分析】求出，求出即可求出对称轴方程. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，所以，所以， 令，所以， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若是偶函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由函数是偶函数，则，代入计算并验证即可求出. 【详解】函数是偶函数，则, , 化简可得. 当时，则 所以，则， 所以函数是偶函数，则. 故答案为： 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上有两个不同的零点，则 . 【答案】/ 【分析】由得，令，则，有两个不同的解，易得关于对称，所以，即得，由可得答案. 【详解】由，得， 则在上有两个不同的解. 当时，， 令，则，有两个不同的解. 易得关于对称， 所以，即， 所以，即，所以， 所以 . 故答案为：. 14．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的值域为，则 ． 【答案】2 【分析】令，由的奇偶性，得到，进而得到，即求得的值. 【详解】令，的定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，， ，，即. 故答案为：2. 15．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数，，，，则 ；方程的所有实数解的和为 . 【答案】 0 16 【分析】代入计算可得第一空，利用图象的对称性可求所有实数解的和. 【详解】， 而， ，故的对称中心为， 在平面直角坐标系中，画出和在上的图像， 由图象可得的图象在上共有4个不同的交点， 它们的横坐标的和为， 故答案为：0；16 题型03 y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换 【解题规律·提分快招】 1、的平移与伸缩 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的步骤 注：每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 【典例训练】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得函数的解析式，进而可得函数值. 【详解】函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 得到函数， 再把所有点的横坐标变为原来的后得到函数， 所以. 故选：A. 2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）要得到函数的图象，只要将函数的图象（   ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据三角函数图象平移变换法则判断，注意化为同名函数． 【详解】， 所以将函数的图象向右平移个单位即得函数的图象， 故选：D． 3．（24-25高三上·吉林·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换得到，得到平移后的解析式，即，整体法求出函数的值域. 【详解】， 图象向左平移个单位长度，得到， 上，， 则在上的值域为. 故选：C. 4．（24-25高三上·广西·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据函数的性质求的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 函数的图象关于直线对称， 所以，得, 所以的最小值是4，则的最小正周期的最大值为. 故选：A 5．（24-25高三上·山东·阶段练习）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次由各选择支函数根据平移变换求出的解析式，再代值验证对称性可知. 【详解】对于选项A，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由，故图象不关于点中心对称，故A错； 对于选项B，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由，故图象不关于点中心对称，故B错； 对于选项C，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由，可知图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由， 故图象不关于点中心对称，故D错. 故选：C. 6．（24-25高三上·山东淄博·期末）把函数的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据图像变换可得，构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析零点. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得， 再将的图象向左平移个单位长度， 可得，即， 令，则对任意恒成立， 可知函数在上单调递增，且， 所以函数的零点的个数为1. 故选：B. 7．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条相邻对称轴之间的距离可得周期，即可得，由平移性质即可得，再借助正弦型函数单调性计算即可得解. 【详解】由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则有， 则，又，则， 则， 当时，， 由函数在区间上单调递增，则有， 则有，解得， 则当时，，又，故. 故选：B. 二、多选题 8．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的最大值为2 B．在上单调递增 C．在上有2个零点 D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【分析】根据诱导公式化简，则可判断A选项；整体代入法计算的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项． 【详解】函数 ． 选项A：，故最大值为2，A正确； 选项B：时，不单调递增，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时， 即以及时，在上有2个零点，故C正确； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误. 故选：AC． 9．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B． C． D．函数的图象的对称轴方程为 【答案】ACD 【分析】整理可得，根据平移整理得，结合余弦函数得对称轴求解． 【详解】对于A，由已知得， 由，得为偶函数，故A正确； 对于B，C，可得，故C正确； 对于D，令，，可得，故D正确. 故选：ACD. 题型04 根据图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【解题规律·提分快招】 1、根据图像求解析式一般步骤 ①根据最高最低点求出A ②根据周期算出,题目一般会提供周期的一部分 ③通过带最高或最低点算出φ 【典例训练】 一、多选题 1．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．在上有两个极值点 D．点是曲线的一个对称中心 【答案】BC 【分析】利用余弦函数的性质，结合图象求得可判断A，利用整体法，结合余弦函数的性质可判断BC，利用代入检验法可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为经过点， 所以，即， 又的图象在点附近呈递增状， 则，即，所以，故A错误； 对于B，由选项A可得， 由，得， 而在上单调递增，故在上单调递增，故B正确； 对于C，由，得， 而在上单调递增，在上单调递减， 所以在有两个极值点，则在上有两个极值点，故C正确； 对于D，因为， 所以点不是曲线的对称中心，故D错误. 故选：BC. 2．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递增区间为 【答案】ACD 【分析】先利用图象求出的解析式，然后利用三角恒等变形公式化简，对于A选项，直接求周期；对于B选项，令求对称轴；对于C选项，求出的范围，再利用余弦求范围；对于D选项，令可求单调递增区间. 【详解】对于函数， 由图可知，函数的最小正周期为，则， 所以， 又，所以， 解得，又，所以，则， 所以 ， 对于A选项，的最小正周期为，A 正确； 对于B选项，对于，令，解得， 函数的对称轴方程为，B错误； 对于C选项，当时，，所以， 即在上的值域为，C正确； 对于D选项，令， 解得， 即的单调递增区间为，D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高三上·湖南·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】BD 【分析】根据图象结合周期性和最值求，即可判断AB；可得、的解析式， 直接代入运算判断对称性，即可判断CD. 【详解】设的最小正周期为， 则，即， 且，则，解得，故B正确； 则， 因为，可得， 又因为，则， 可得，解得，故A错误； 所以， 对于选项C：因为， 所以的图象关于点对称，故C错误； 对于选项D：令， 因为（为最小值），所以的图象关于直线对称，故D正确； 故选：BD. 4．（24-25高三上·河南·期中）函数的部分图象如图所示，直线与图象的其中两个交点的横坐标分别为，，则（    ） A． B． C．的图象关于轴对称 D．在上的最小值为 【答案】ABD 【分析】由图象可得的周期，由周期与的关系求，由，结合求，结合函数图象变换及正弦型函数的对称性判断C，求的范围，结合余弦函数的性质判断函数的单调性，由此求其最小值，判断D. 【详解】A：由题意得的周期为，又， 所以，故 A 正确； B：因为，所以，又 所以，又，观察图象可得， 所以，故B正确； C：由B知， 所以， 所以 的图象不关于轴对称，故C错误； D：由 ，得， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知函数的部分图象如图所示，，，，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．当在上恰有4个零点时， 【答案】ABD 【分析】A选项，由图象可得，从而求出；B选项，由计算出，解得；C选项，求出，根据得到C错误；D选项，得到，数形结合得到，解得，D正确. 【详解】A选项，由图象可知和为相邻的两个最大值点和最小值点， 设的最小正周期为，则，故， 又，故，A正确； B选项，因为，所以， 因为，所以，解得，B正确； C选项，， 故， 由于，故， 显然不为奇函数，C错误； D选项，时，， 在上恰有4个零点，故， 解得，D正确. 故选：ABD 6．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的图象如图所示，的导函数为，令，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．函数在区间上有2024个零点 D．函数与的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】首先根据图象求得，即可得，再结合正余弦函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由图象知，设的最小正周期为，则，解得， 由图得，又，所以，故， 从而； A，，正确； B，由，得， 所以函数图象的对称轴方程为，错误； C，由，得，故，即，， 故在区间上有零点2025个，错误； D，若函数与的图象关于点对称，则恒成立， 即，又，， 则，应用和差化积公式可得， 故，得， 所以函数与的图象关于成中心对称，正确． 故选：AD 【点睛】关键点点睛：对于D，假设存在，整理得，进而找到满足要求的点为关键. 题型05 三角函数图像与性质的综合应用 【典例训练】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】整理，其中，由图中最值可得，利用对称轴和相邻零点的距离求得，根据顶点求得，进而可得，即可求解. 【详解】，其中， 令，设其周期为，结合题中的图可知①，，则， 所以，把点的坐标代入， 得，则， 所以，则②， 由①②及，，得. 故选：A. 2．（2024·广东·模拟预测）已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案. 【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为，可得，又，可得， 由函数经过点，则，即， 又，可得，所以， 因为函数的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为， 所以在函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点， 故选：A. 3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．是以为周期的函数 B．直线是曲线的一条对称轴 C．函数的最大值为，最小值为 D．函数在上恰有2024个零点 【答案】C 【分析】对于A，用周期性定义验证即可；对于B,用对称性定义验证即可；对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值.结合换元和二次函数，正弦函数最值问题求解即可；对于D,先研究函数在上的零点个数，再用周期性拓广即可. 【详解】对于A,因为与不恒相等，所以不是的周期，故A错误； 对于B,又与不恒相等，故B错误； 对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值. ①当时，，令， 则，易知在区间上的最大值为，最小值为， ②当时，,令， 则，知在区间上的最大值为，最小值为， 综上所述函数的最大值为，最小值为，故C正确； 对于D,先研究函数在上的零点个数，由C可知,当时，令得， 又因为，在只有唯一解，即此时函数只有唯一零点. 同理可得当时函数也只有唯一零点.所以函数在上恰有2025个零点.故D错误. 故选:C. 二、多选题 4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，其中相邻的两个极值点的距离为，且经过点，则（   ） A． B． C．时，的值域为 D．时，与的交点数为个 【答案】AB 【分析】选项A，根据极值点的距离可得，可求出，即可判断选项A的正误；选项B，利用函数过点，代入解析式得，结合及特殊角的三角函数值，可得，即可判断选项B的正误；选项C，由选项A和B，可得函数解析式，再根据自变量范围可得，即可判断选项C的正误，选项D，作出函数和图像，数形可得交点个数，即可示解. 【详解】对于选项A，由已知相邻两个极值点的距离为，可得， 又，解得，所以选项A正确； 对于选项B，由函数经过点，得到，即， 又，可得，所以选项B正确； 对于选项C，由选项A和B知，，当时，， 则，所以，所以选项C错误； 对于选项D，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上，函数有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象， 如图所示，由图可知，两函数图象有个交点，所以选项D错误； 故选：AB. 三、填空题 5．（2024·北京西城·二模）已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 【答案】 2 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 又，， 综上所述：，. 故答案为：2，. 6．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）定义函数，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为 （2）当且仅当时，该函数取得最大值 （3）该函数是以为最小正周期的周期函数 （4）当且仅当时，. 上述命题中正确的序号是 . 【答案】（4） 【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断即可. 【详解】因为， 对于（3），当时，， 当时，，所以函数为周期函数， 作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为，（3）错； 对于（1），由图可知，函数的值域为，（1）错； 对于（2），由图可知，当且仅当或时， 函数取得最大值1，（2）错； 对于（4），由图可知，当且仅当时，，（4）对. 故答案为：（4）. 一、单选题 1．（24-25高三上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换得，利用正弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】 对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减， 因此函数在区间上不单调，AB错误； 对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减，C错误，D正确. 故选：D 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数（）的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先利用最小正周期求出的值，再根据正弦函数的图象和性质求解最小值即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 当时，， 由正弦函数的图象和性质可知当即时，取最小值， 故的最小值为. 故选：C 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，为了得到（为的导函数）的图象，则只需要将函数图象上的点（    ） A．向左平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，纵坐标缩短为原来的 D．向左平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】B 【分析】由导数求出的解析式，并化为“”型函数，然后由图象变换得结论． 【详解】，则 所以将函数图象上的点向左平移个单位长度，纵坐标不变可得的图象. 故选：B． 4．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而可得的解析式，从而可求对称中心. 【详解】因为为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 由，解得， 所以的对称中心为. 故选：B. 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．的最小正周期为 B．当时，的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】B 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象和性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可. 【详解】对于A，由图可知，，函数的最小正周期， 故A正确； 由，，知， 因为，所以，所以，， 即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，， 所以，故B不正确； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 因为当时，， 所以得到的函数图象关于点对称，故D正确. 故选：B. 6．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，且是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可. 【详解】因为函数为奇函数，即， 且函数的定义域为，所以，， 可得，解得， 所以，， 则为奇函数，合乎题意. 因此，. 故选：A. 7．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线方程，结合两点斜率公式，求出，得到最小正周期，求出，再将代入，求出，得到解析式，再代值计算即可. 【详解】连接，与轴交于点，由图象的对称性，知点也在函数的图象上，所以点的坐标为.设，由，得，所以的最小正周期满足，解得，即，解得， 所以. 因为点是图象的一个最高点，所以，结合，解得， 所以，所以. 故选：D. 8．（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，可判断AB选项；利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断C选项；利用正弦型函数的周期性可判断D选项. 【详解】设，由可得， 所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数不是偶函数，A错B错； 当时，则 ， 当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对； 因为， 结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错. 故选：C. 9．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数的图像与轴的两个相邻交点的距离是，若将的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，结合函数的周期求出，即可求出解析式，再根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】因为， 又函数的图象与轴的两个相邻交点的距离是， 所以，解得，所以， 将的图象向左平移个单位长度得到， 将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到， 即. 故选：A 10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据三角函数的图象与性质计算即可得表达式，先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m的取值范围. 【详解】由函数的部分图象可知，， 因为，所以， 又，所以，解得， 由可得，所以， 将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，令，由，可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图像在上有两个交点， 即与在上有两个交点， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 11．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（    ） ①函数的最小正周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象； ④当时， A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据正弦函数的图象性质逐一判断即可. 【详解】由图象知：，解得，故①错误； 所以，解得. 将代入得， 所以，即， 又因为，所以，. 当时，， 所以函数的图象关于直线对称，故②正确； 把函数图像上的点横坐标缩短为原来的， 得到，故③正确； 当时，， ，，故④错误. 所以说法正确的是②③. 故选：C. 12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（    ） A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】D 【分析】根据周期性求出，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质判断即可. 【详解】依题意，又，所以，解得， 所以， 又函数过点，所以，所以， 又，所以， 所以，故A、B错误； 又，所以不是的对称轴，故C错误； ，所以是图象的一个对称中心，故D正确. 故选：D 二、多选题 13．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．的最小正周期为 B． C．在上单调递增 D．关于直线对称 【答案】BCD 【分析】利用三角函数图象的变换先得的解析式，利用三角函数的性质一一判定选项即可. 【详解】易知， 显然的最小正周期为，故A错误； 而，故B正确； 当时，，显然此时单调递增，故C正确； 当时，，此时取得最大值，即关于直线对称，故D正确. 故选：BCD. 14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数与，下列说法正确的是（    ） A．将的图象上所有点的横坐标变为原来的，并向左平移个单位可以得到的图象 B．与的图象存在相同的对称中心 C．与在区间上单调性相同 D．当时，与的图象有且仅有个交点 【答案】ACD 【分析】根据三角函数图像平移，正弦函数的对称中心和单调性，以及化简求值，即可逐个选项判断. 【详解】对于A，将的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到， 再将向左平移个单位，得的图象，A正确； 对于B，的图象对称中心的横坐标满足， 又的图象对称中心横坐标满足，， 解得，两个方程无公共解， 所以两个函数图象不存在相同的对称中心，选项B错误； 对于C，令，则， 则与在区间上均单调递增，故选项C正确； 对于D，令，得或， 解得或， 所以时，零点有，共有个，选项D正确. 故选：ACD 15．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为 D． 【答案】ABD 【分析】A由图象可确定，即可判断选项正误；BD验证是否满足选项描述即可判断选项正误；C解方程，验证相邻根的差值即可判断选项正误. 【详解】由图可得，， ，因，取， 对于A，，故A正确； 对于B，， 则， ， 即，故B正确； 对于C，令 或，得或，其中， 分别取，得相邻的三个根为， 则相邻根的差值即的图象与直线的相邻两交点间的距离为或，故C错误； 对于D，， ， 则，故D正确. 故选：ABD 16．（2024·全国·模拟预测）已知，若，使得，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由辅助角公式可得，后由图象可得范围，即可得答案. 【详解】， 因为，使得，所以， 令，作出函数在上的图象，如图所示： ①当函数的图象与函数的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为， 此时取得最小值，，所以； ②当函数的图象与函数的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为， 此时取得最大值，. 则，故只有BC选项满足条件. 故选：BC．    17．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上恰有4个零点，则 D．当时，函数的值域为 【答案】ABC 【分析】对于A：根据函数周期分析判断；对于B：根据函数最值分析判断；对于C：令，可得，以为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D：整理可得，结合正切函数分析求解. 【详解】对于选项A：因为， 由图象可知：函数的最小正周期， 且，则，解得，可得，故A正确； 对于选项B：由图可知：当时，函数取到最大值， 则， 整理可得，解得， 则， 所有为偶函数，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为，则， 若在上有4个零点， 则，解得，故C正确； 对于选项D：因为， 又因为，则，可得， 所以函数的值域为，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 18．（24-25高三上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的奇偶性整理函数，根据整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】， 要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 令，解得， 令，又，故函数的单调递增区间为． 故答案为：. 19．（24-25高三上·河北承德·期中）已知函数的图象的一条对称轴为直线，则函数的零点的最小正值为 ． 【答案】 【分析】根据辅助角公式可得，即可根据对称求解，进而根据求解. 【详解】，， 令，则， 得，所以， 所以， 令，则，得，由可得． 故答案为：． 20．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函数，若，且在区间上恰有两个极值点，则 ． 【答案】 【分析】先根据条件确定函数周期，进而确定的值，再求对应的函数值. 【详解】因为， 又因为在区间上恰有两个极值点，且， 所以的最小正周期，即， 所以． 故答案为： 21．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换求出，进而结合诱导公式和辅助角公式可得，进而即可求得最大值. 【详解】将函数的图象上每一点横坐标变为原来的一半， 此时函数解析式为， 再向左平移个单位长度，得， 则 ， 所以的最大值为. 故答案为：. 22．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 【答案】 【分析】根据三角恒等变换的化简可得（其中），根据三角函数图象的对称性建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】因为 （其中）， 且函数图象关于直线对称， 所以， 整理得，解得. 故答案为： 23．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且，则在上的零点个数为 . 【答案】6 【详解】由函数相邻两条对称轴之间的距离为，得，故. 又因为，即， 所以或，所以或， 因为，所以， 故， 因为，故，结合正弦函数的图象可知， 函数在上的零点个数为6. 故答案为：6. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$