1.2直角三角形的性质与判定（Ⅱ）（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 题型一 勾股数的概念 1．下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11 3． 已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是 ． 题型二 利用股定理直接进行计算 1．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 2．在△ABC中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 4． “尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 ． 4．如图，为修通铁路凿通隧道，量出，，，，则隧道的长度为多少？ 题型三 勾股定理的证明 1．2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（  ） A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 2．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（    ） A． 转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 4．如图，毕达哥拉斯用图1，图2证明了．个重要的数学定理，他的思路是图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得．证明的这个定理是（    ） A． 勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．祖暅原理 D．费马定理 5．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得△ABC的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得△BEC的面积______． (2)求证：． 题型四 勾股定理的逆定理与应用 1．在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．78 2．一个直角三角形的三边长分别6，8，10，对应的角分别为，则直角是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．在△ABC中，若，则（    ） A． B．∠B=90° C． D．△ABC不是直角三角形 4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， 5．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．，， 6．如图，在四边形中，，，，，且．求的度数． 7．如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积． 题型五 勾股定理在折叠图形中的应用 1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 2．如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为（ ） A．5 B．4 C．4. 25 D． 3．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点 重合，为折痕，则 . 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC= 6，BC = 2，点D是AB的中点，点P是线段AC上的动点，连结PB，PD ，将△BPD沿直线PD翻折，得到△PD与△APD 重叠部分的面积是△ABP的面积的 时，AP= ． 5．如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 6．如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 题型六 弦图与勾股定理 1．勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（   ） A．8 B．4 C．2 D．34 2．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（    ） A．5 B． C．25 D． 3．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 4．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若，，则小正方形的面积是 ． 题型七 勾股定理的应用 1．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 2．如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 3．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ．(    ) A． B．8 C．11 D．12 4．要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米． A．17 B．13 C．12 D．5 5．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（      ）厘米． A．1 B．2 C．3 D．4 6．一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（    ） A． B．10 C．14 D．8 7．一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形地砖，边长为，中间竖有一根宽为的木条，木条高为．一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间的木条，则它至少要走 cm． 1．下列四个数中，可以和，构成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是   A． B． C． D． 3．如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（   ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 5．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为(    ) A．3cm B．cm C．cm D．4cm 6．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（   ） A． B． C． D． 8．学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数 ； (2)小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 9．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 10．如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 11．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 12．如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？ 13．材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 14．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，△ABC中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，△ABC，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 题型一 勾股数的概念 1．下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．8，10，12 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，注意勾股数的定义要求是正整数，按照公式进行正确的计算是解题的关键．根据满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：， 不是勾股数，不符合题意； 不是勾股数，不符合题意； 是勾股数，符合题意； 不是勾股数，不符合题意， 故选：C． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，故6，8，10是勾股数，符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：C． 3．已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股数，构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的定义列式计算即可，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， 则， ∴，是整数，符合题意； ， ∴，不是整数，不符合题意； 综上可知：勾股数的第三个数是， 故答案为：． 题型二 利用股定理直接进行计算 1．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直接由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：弦长= ， 故选：C． 2．在△ABC中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：，，、的对应边分别是、、， ． 故选：． 3．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解勾股定理的计算方法是解题的关键． 根据题意，设长方形门高x尺，则宽是尺，由勾股定理的计算方法即可求解． 【详解】解：设长方形门高x尺，则宽是尺，对角线长1丈尺， 根据题意得，， 答案为：． 4．如图，为修通铁路凿通隧道，量出，，，，则隧道的长度为多少？ 【答案】隧道的长度为 【分析】本题考查三角形的内角和和勾股定理，先求得，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， 答：隧道的长度为． 题型三 勾股定理的证明 1．2002年国际数学家大会在北京召开，如图①是大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（  ） A．三角形内角和定理 B．三角形全等 C．勾股定理 D．轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了“弦图”与勾股定理的证明；知道利用“弦图”可以证明勾股定理这一历史事实是关键．根据这事实即可求解． 【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的， ∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理． 故选：C． 2．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案． 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 3．赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：题中根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 4．如图，毕达哥拉斯用图1，图2证明了．个重要的数学定理，他的思路是图1中拼成的正方形与图2中拼成的正方形面积相等，通过面积相等可以得到：，整理得．证明的这个定理是（    ） A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．祖暅原理 D．费马定理 【答案】A 【分析】根据勾股定理作答即可． 【详解】解：由， 整理得． 而a、b、c是直角三角形的三边， ∴证明的定理是勾股定理， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 5．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得△BEC的面积______． (2)求证：． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论； （2）用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， 的面积， 由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得△BEC的面积， 故答案为：，，； （2）证明：， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． 题型四 勾股定理的逆定理与应用 1．在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（    ） A．60 B．30 C．65 D．78 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是熟悉勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴△ABC的面积． 故选：B． 2．一个直角三角形的三边长分别6，8，10，对应的角分别为，则直角是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】运用勾股定理的逆定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．通过审题把题目中的条件进行转化是解题的关键． 3．在△ABC中，若，则（    ） A． B．∠B=90° C． D．△ABC不是直角三角形 【答案】B 【分析】根据得，根据勾股逆定理，是斜边，即可作答． 【详解】解：因为， ∴， ∴△ABC是直角三角形，且是斜边， 那么∠B=90°， 因此A、C、D选项是错误的， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股逆定理以及对三角形的认识，难度较小． 4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判断即可． 【详解】A．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； B．，；不相等，不能构成直角三角形，故不符题意； C．，；相等，能构成直角三角形，故符题意； D．，，不相等，不能构成直角三角形，故不符题意． 故答案为：C 5．以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理进行计算即可． 【详解】解：，不可以构成直角三角形，故选项A错误； ，不可以构成直角三角形，故选项B错误； ，可以构成直角三角形，故选项C正确； ，不可以构成直角三角形，，故选项D错误； 故选C． 6．如图，在四边形中，，，，，且．求的度数． 【答案】 【分析】根据勾股定理得，根据可得为直角三角形，． 【详解】解：在∠B=90°中，根据勾股定理：，     在中，，， ，     为直角三角形， ． 【点睛】此题考查勾股定理的定义和勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理逆定理是解题关键． 7．如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积． 【答案】四边形ABCD的面积为234平方米． 【分析】利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，然后根据S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC即可求出空地的面积． 【详解】连接AC． 在Rt△ABC中， ∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15， ∴AC2＝A2+BC2＝202+152＝252， 在△ADC中， CD＝7，AD＝24，AC＝25， ∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2， ∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC15×207×24＝234（平方米）， ∴四边形ABCD的面积为234平方米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 题型五 勾股定理在折叠图形中的应用 1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可． 【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键． 2．如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为 A．5 B．4 C．4. 25 D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得AE=A1E， ∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6， ∴AB=6， ∵A1为BC的中点， ∴A1B=3， 设AE=A1E=x，则BE=6-x， 在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=， 故选D． 【点睛】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用． 3．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 . 【答案】15 【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC中求解x即可. 【详解】解：根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30， 设BE=EB′=x，则EC=40﹣x， ∵∠B=90°，AB=30，BC=40， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50， ∴B′C=50﹣30=20， 在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2， 解得x=15． 故答案是15． 【点睛】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键. 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC= 6，BC = 2，点D是AB的中点，点P是线段AC上的动点，连结PB，PD ，将△BPD沿直线PD翻折，得到△PD与△APD 重叠部分的面积是△ABP的面积的 时，AP= ． 【答案】或 【详解】试题分析：因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°AC= 6，BC = 2，所以AB=,又点D是AB的中点，所以AD=BD=, ,分两种情况讨论：（1）如图：当D与AC交于点E时， 由图形折叠的性质可得：,又△PD与△APD 重叠部分是△EPD,所以,,所以AE=PE，E=ED，又∠AED=∠EP ,所以△AED≌△PE,所以P=BP=AD=,所以在Rt△PBC中，PC=,所以AP=6-; (2）如图; 当P与AB交于点E时，同理可得△AEP≌△DE,所以AP=D=BD=,综上可得AP=或 考点：1．图形折叠的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理． 5．如图，将纸片沿折叠，使直角顶点C与边上的点E重合，若． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据折叠的性质得到，，则，，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 6．如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： (1)的长； (2)重叠部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）先得到，再设，则，据此利用勾股定理得到，解方程即可得到； （2）由（1），得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由折叠和长方形的性质得． 设，则． 在中，由勾股定理，得 ∴， 解得， 的长为． （2）解：由（1），得， ． 题型六 弦图与勾股定理 1．勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（   ） A．8 B．4 C．2 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的背景图，解题关键是掌握它们的面积与正方形边长的关系，以及各边长之间的关系，据此即可求解． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边长分别为， ∴， ∴正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积， ∴正方形B的面积是， ∴正方形B的边长是2， 故选：C ． 2．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的．人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图中阴影部分的面积为S，那么S的值为（    ） A．5 B． C．25 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型，根据题意求出小正方形的边长再计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的长直角边为9，短直角边为4， ∴小正方形的边长为， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 3．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为，再利用勾股定理求出边长即可求解； 【详解】解：如图， 由题意知：，， ∴ 在中，∠ABD=90°， ∴图2中的“风车”图案的周长为： 故选：C 4．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若，，则小正方形的面积是 ． 【答案】1 【分析】根据勾股定理可得的长度，根据四个直角三角形全等可得，进一步即可求出小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵四个直角三角形全等 ∴ ∴ 故小正方形的面积是： 故答案为： 【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算．熟悉勾股定理形式是解题关键． 题型七 勾股定理的应用 1．如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得长即可． 【详解】解： 如图，根据题意，得米，米，， 则， ∴米， ∴大树高（米）， 故选：C． 2．如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 3．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ．(    ) A． B．8 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质，理解题意，掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，，， ∴，， ∴m， ∴m， ∴小鸟至少要飞， 故选：． 4．要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（    ）米． A．17 B．13 C．12 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，观察图形，得到红地毯的长度为楼梯的水平长度加上竖直高度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可得楼梯的水平长度为米， 至少需要红地毯米， 故选：A． 5．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（      ）厘米． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，本题可以先利用勾股定理计算杯内的筷子长度，再利用减法求杯子外面的长度即可． 【详解】解：∵（厘米），（厘米）， ∴筷子露在杯子外面的长度至少为2厘米； 故选：B ． 6．一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（    ） A． B．10 C．14 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ， 答：蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为， 故选：B 7．一个台阶如图所示，阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：B． 8．如图，正方形地砖，边长为，中间竖有一根宽为的木条，木条高为．一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间的木条，则它至少要走 cm． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，根据题意画出展开图形是解题关键．把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，连接，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：将图展开如下图， 则得到的新长方形的长增加了， ， 连接， ， 即一只蚂蚁从点A爬到点C的最短路程为的长，为， 故答案为：． 1．下列四个数中，可以和，构成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数．如果三个正整数满足，则这三个数就是勾股数，设可以和，构成勾股数的另一个数为，当时，有，当时，有，分情况求出的值，再根据勾股数必须为正整数进行判断． 【详解】解：设可以和，构成勾股数的另一个数为， 当时，有， 解得：或(舍去)， 当时，有， 解得：(不是整数，舍去)， 可以和，构成勾股数的是， 故选： B． 2．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．如图，在△ABC中，，为的中点，于点，若，，则为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．由，为，，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得的长，然后由勾股定理求得的长．解题的关键是掌握：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为． 故选：C． 4．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（   ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， ， ， ， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为， 故选A． 5．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为(    ) A．3cm B．cm C．cm D．4cm 【答案】B 【分析】先求出SA、SB、SC的值，再根据勾股定理的几何意义求出D的面积，从而求出正方形D的边长. 【详解】解∵SA=6×6=36cm2，SB=5×5=25cm2，Sc=5×5=25cm2， 又∵ ， ∴36+25+25+SD=100， ∴SD =14， ∴正方形D的边长为cm. 故选B. 【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键. 6．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理；根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 7．如图，在△ABC中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则△ABC的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；延长交的延长线于，由直角三角形的特质及余角的性质得，由等腰三角形的判定及性质得，，由，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性质，构建等腰是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵ ， ∵平分， ， ， ， ，， ， ，， ， ； 故选：B． 8．学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数 ； (2)小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 【答案】(1)9，40，41 (2)，，正确，见解析 【分析】本题主要考查了勾股数的定义： （1）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案； （2）如果最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时，另外两个数分别，． 【详解】（1）解：当最小奇数为3时，； 当最小奇数为5时，； 当最小奇数为7时，； 所以，当最小奇数为9时，； 故答案为：9，40，41 （2）解：由（1）得，最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时，另外两个数分别，． 验证： 所以，小华的猜想正确． 故答案为：，． 9．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查折叠问题以及勾股定理，熟练掌握折叠的基本性质是解题关键； （1）设，则，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可； （2）根据中点性质，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：设，则． 由折叠可得：． 在中， 由， 得：， 解得：， 即的长为． （2）∵点落在的中点上， ． 设，则． 在中， 由， 得， 解得：， 即的长为． 10．如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)新路长度是120米 (2)该车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 11．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过30h从点移到点； (2)市受到台风影响的时间持续． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用勾股定理求出，即可求解； （2）在射线上取点，使得，利用勾股定理求出，进而求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∴， 答：台风中心经过从点移到点； （2）解：如图，在射线上取点，使得， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：市受到台风影响的时间持续． 12．如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，现在要在铁路旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的地方？ 【答案】E站应建在离A地的地方 【分析】本题考查勾股定理，根据设，则，利用勾股定理结合C，D两村到E站距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，即：， 解得：， 答：E站应建在离A地的地方． 13．材料学习：在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． 灵活运用：如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作直线m于点E，直线m于点 M， (1)材料中的方法体现的数学思想是（   ） A．函数思想    B．分类讨论思想    C．数形结合思想    D．整体思想 (2)试说明 ； (3)若设三边分别为a、b、c．参照以前的学习经验，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)C； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等． （1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （2）通过证得，根据全等三角形的对应边相等证得结论； （3）利用等面积法证得勾股定理． 【详解】（1）解：根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C （2）解：由题意得： ∵直线m ，直线m ∴ （3）解：由（2）可知： 又 14．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，△ABC中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； (2)代数应用：求代数式的最小值； (3)几何拓展：如图3，△ABC，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案； （2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称——最短路线问题得到最小值就是求的值，根据勾股定理计算即可； （3）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）解：如图2，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为， 作交的延长线于F， 由题意得，，， ∴的最小值 故答案为：； （2）构造图形如图3所示，，，，于A，于B，， 则， 代数式的最小值就是求的值， 作点C关于的对称点，过作交的延长线于E． 则，，， ∴所求代数式的最小值是5； （3）解：如图4，作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$