1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在等边△ABC中，，，，交于点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，，是斜边上的高，于点，则下列各角不与互余的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 题型二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1．如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角（点处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（）正中间（点处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子的长度为4米，梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 （填“变大”或“变小”或“不变”）． 4．如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿及在竹竿滑动过程中的情况是（　　） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 5．如图，在中，为斜边的中点，连接．若，求的长． 6．如图，已知，，E为的中点．试判断与是否相等，并给出证明． 题型三 含30°角的直角三角形的性质 1．在中，，，若，则的长为(   ) A． B．1 C． D．2 2．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的长为 ． 4．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 5．如图，等边三角形中，是的中点，于交于，则的周长为 ． 6．已知直角三角形角所对的直角边长为4，则斜边的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米的售价是元，求购买这种草皮需要多少元． 8．如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，于点E．，，试求DE的长度． 题型四 利用直角三角形的两个锐角互余判定直角三角形 1．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．已知△ABC的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断△ABC是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4． 如图△ABC中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 5．如图，在△ABC中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 1．如图，在等腰△ABC中，，，是△ABC的中线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，，于点，，，则的长度是 ． 4．如图，已知，在上取，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，，按此作法继续下去，则的值是 ． 5．如图，在△ABC中，于点，，．求的度数． 6．如图，在△ABC中，，，于点，交于点，如果，求的长． 7．如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 8．已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． (1)若，求线段的长； (2)求证：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 题型一 直角三角形的两个锐角互余 1．在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是关键． 根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，另一个锐角是． 故选：D． 2．在△ABC中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ∵， ∴． 故选：B ． 3．如图，在等边△ABC中，，，，交于点，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质的知识点，解答本题的关键是能得出先由等边三角形的性质得出再由直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，，， ∴ ， ， 故选：A． 4．如图，在△ABC中，，是斜边上的高，于点，则下列各角不与互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角的个数，直角三角形两锐角互余，注意同一角由多种表示法，不能遗漏也不能重复，先确定直角，在找互余两角是解题关键．根据直角三角形两个锐角互余，找出直接与相加的角，或与的等角相加等于的角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的余角有三个，分别为，，，不与互余． 故选择． 5．如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：需要补的角的度数是， 故选：． 题型二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1．如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点， ∴， 故选：B． 2．如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，根据直角三角形斜边上中线的性质可直接求解． 【详解】解：由题意得，点是的中点，， ， 即，两点间的距离为， 故选：C． 3．如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角（点处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（）正中间（点处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子的长度为4米，梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 （填“变大”或“变小”或“不变”）． 【答案】不变 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据题意知，是直角△AOB斜边上的中线，则，长度不变． 【详解】解：如图，连接， 根据题意知，点P是直角△AOB斜边的中点， 则是直角△AOB斜边上的中线，则， 由于的长度不变，则的长度不变． 故答案为：不变． 4．如图，一根竹竿，斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿及在竹竿滑动过程中的情况是（　　） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则的长的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．如图，在中，为斜边的中点，连接．若，求的长． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解． 【详解】中，，， ∵D为斜边的中点， ． 6．如图，已知，，E为的中点．试判断与是否相等，并给出证明． 【答案】，证明见解析 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：．证明如下： ∵，， ∴、为直角三角形， ∵E为的中点 ∴，， ∴． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线性质性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答的关键． 题型三 含30°角的直角三角形的性质 1．在中，，，若，则的长为(   ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据题意，作出图形，由含的直角三角形性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，，，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查含的直角三角形性质，熟记所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键． 2．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，求出，根据含度的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：过作于， 则，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大． 3．在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴AB=2BC， ∵， ∴AB=4cm． 故答案为：4cm 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 4．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵， ∴米， 故答案为：． 5．如图，等边三角形中，是的中点，于交于，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键.先根据含30度角的直角三角形的性质得出，求出，再根据等边三角形的性质进而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 是中点， ， 等边三角形， △ABC周长， 故答案为：． 6．已知直角三角形角所对的直角边长为4，则斜边的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了含角的直角三角形性质，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵直角三角形中角所对的直角边长是4， ∴斜边的长． 故选：C． 7．“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米的售价是元，求购买这种草皮需要多少元． 【答案】元 【分析】如图，过点作交的延长线于点，则，可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则，    ∵， ∴， 又∠D=90°，， ∴， ∴， ∵这种草皮每平方米售价是元， ∴购买这种草皮需要元． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，几何图形面积的计算方法，掌握构造辅助线，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 8．如图，在Rt△ABC中，，D为AB的中点，于点E．，，试求DE的长度． 【答案】2 【分析】D为AB的中点，得到AD的长度，由含30度角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，，D为AB的中点， ∴AD＝AB＝4， ∵于点E， ∴∠AED＝90°， ∵， ∴DE==2． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用含30度角的直角三角形的性质． 题型四 利用直角三角形的两个锐角互余判定直角三角形 1．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴∠B=90°， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的△ABC不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的△ABC是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的△ABC是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的△ABC是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，△ABC不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，△ABC是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， △ABC是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，△ABC是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 3．已知△ABC的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可． 【详解】解；①，， ， ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形； 综上所述，不能判断△ABC是直角三角形的有3个， 故选：． ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③，， ， 不是直角三角形； ④，， ， ， 不是直角三角； 4．如图△ABC中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．如图，在△ABC中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 1．如图，在等腰△ABC中，，，是△ABC的中线，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是△ABC的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵重力G的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在△ABC中，，于点，，，则的长度是 ． 【答案】6 【分析】本题考查直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记相关性质是解题关键． 根据同角的余角相等求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：6． 4．如图，已知，在上取，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，，按此作法继续下去，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质等知识点，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后同理求解即可． 【详解】解：，，， ， ，， 同理可得∶， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，在△ABC中，于点，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余，可得，再根据三角形内角和等于，即得答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在△ABC中，，，于点，交于点，如果，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质，由题意可得，和中均含30度角，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：中，，， ， 又， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， 又， ． 7．如图，和分别位于异侧，，点O是的中点，连接，，． (1)若，，求的度数： (2)若锐角，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，由此即可得； （2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵在和中，，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ． 8．已知，如图，，，是上的高，是边上的中线，于点． (1)若，求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1)4； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边中线 等于斜边的一半等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由含30度角的直角三角形可知，再由等角对等边可得出． （2）连接，由直角三角形的性质可知，从而证得，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ； （2）证明：连接， ，， ， ，， ， ， ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$