2026年中考数学高频压轴题训练 二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2026年中考数学高频压轴题训练二次函数压轴题（特殊三角形问题） 一、单选题 1．（2023·湖南株洲·一模）如图，A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上，M为线段AC的中点，BM∥y轴，且MB＝2．设A、C两点的横坐标分别为t1、t2（t2＞t1），则t2﹣t1的值为（　　） A．3 B．2 C．2 D．2 2．（2023九年级上·江苏镇江·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，过点P作平行于y轴的直线PM，交线段BC于M，当△PCM是以PM为腰的等腰三角形时，点P的坐标是（　　） A．（2，-3）或（+1，—2） B．（2，-3）或（，-1-2） C．（2，-3）或（，-1-2） D．（2，-3）或（3-，2-4） 3．（2023·山东济南·一模）如图，抛物线y＝x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点Q是线段OB上一动点，连接BC，点M在线段BC上，且使△BQM为直角三角形的同时△CQM为等腰三角形，则此时点Q的横坐标为（　　）    A．或 B．或 C．或 D．或 4．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 5．（2023·广东汕头·一模）抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①；②；③；④当是等边三角形时，抛物线解析式为．其中正确的有（   ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（22-23九年级上·浙江·期中）小明发现，将二次函数的图象在x轴及其上方的部分向右平移得到，这两部分组成的图案酷似某快餐品牌的logo．经测量，该图案两个顶点间的距离与底部跨度的比值为，点P是与的交点，若恰好为等腰直角三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·福建泉州·月考）如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题 8．（2023·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，点P在抛物线上，连接．若是以为底边的等腰三角形，则的面积是 ． 9．（22-23九年级上·山东滨州·期末）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2021在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2021在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2020B2021A2021都为等边三角形，则△A2020B2021A2021的边长＝ ． 10．（25-26九年级上·河南许昌·月考）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、B为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请写出点P的坐标 ． 11．（安徽省十五校期末联考2025-2026学年）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解为 ． 12．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，连接为抛物线部分上一动点（可与两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)①求线段长度的最大值； ②连接，当为等腰三角形时，求的值． 14．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式； (2)点P在第一象限的抛物线上，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件和结论下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是以为斜边的直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 16．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是直线上方一点，当的面积最大时求点坐标，且面积的最大值是多少？ (3)若点是抛物线对称轴上一点，在点运动过程中使得是直角三角形，求点的坐标． 17．（2025九年级上·四川成都·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，为抛物线上的一动点（不与点重合）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当是直角三角形时（），求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】设B点坐标为B（x，x2），则M（x，x2+2），由M为线段AC的中点，得到t1+t2＝2x，+＝x2+2，从而求出t2﹣t1＝2． 【详解】解：设B点坐标为B（x，x2）， ∵BM∥y轴，MB＝2， ∴M（x，x2+2）， ∵A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上， ∴A（t1，），C（t2，）， ∵M为线段AC的中点， ∴t1+t2＝2x，＝x2+2， ∴（t2﹣t1）2＝8， ∵t2＞t1， ∴t2﹣t1＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是结合图像理清点坐标之间的关系. 2．D 【分析】根据待定系数法，求得函数解析式，然后求出直线BC的解析式，设设M（n，n-3），P（n，n2-2n-3），分情况讨论，结合勾股定理得方程，从而解方程求得n的值，确定点P的坐标. 【详解】解：将B（3,0），C（0，-3）代入函数解析式，得 ， 解得 ， ∴这个二次函数的表达式； 由题意可知：点P在第四象限 设BC的解析式为y=kx+b， 将B（3,0），C（0，-3）的坐标代入函数解析式，得 ， 解得 ， ∴BC的解析式为y=x-3， 过点P做PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC 设M（n，n-3），P（n，n2-2n-3）， PM=（n-3）-（n2-2n-3）=-n2+3n= 当PM=PC时，根据勾股定理可得： ， 解得n1=n2=0（不符合题意，舍），n3=2， n2-2n-3=-3， ∴P（2，-3）． 当PM=MC时，根据勾股定理可得： 解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3-，n3=3+（不符合题意，舍）， n2-2n-3=2-4， P（3-，2-4） 综上所述：P（2，-3）或（3-，2-4）． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的综合，利用待定系数法求函数和一次函数的解析式，解题关键在于利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标及等腰三角形的定义和勾股定理得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏． 3．C 【分析】先求得A、B、C的坐标，即可求得AB的长，求得直线BC的解析式，然后分两种情况分别讨论①当∠BQM=90°时，设M（a，b），由△MQB∽△COB，得 ，列出方程即可．②当∠QMB=90°时，设CM=MQ=m，则BM=5-m，由△BMQ∽△BOC，可得 ，解方程即可． 【详解】抛物线y＝x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， ∴令y＝0，则x+3＝0，解得x＝1或4， ∴A（1，0），B（4，0）， 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∴OB＝4，OC＝3， ∴BC==5； ①当∠BQM=90°时，如图1，设M（a，b），    ∵∠CMQ＞90°， ∴只能CM=MQ=b， ∵MQ∥y轴， ∴△MQB∽△COB， ∴ ，即 ，解得b= ∴点Q的横坐标为； ②当∠QMB=90°时，如图2，    ∵∠CMQ=90°， ∴只能CM=MQ， 设CM=MQ=m， ∴BM=5-m， ∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC， ∴△BMQ∽△BOC， ∴，解得m=， ∴BM=BC-CM=5-=， ∵∠BMQ=∠BOC=90°，∠ABM=∠OBC， ∴△QMB∽△COB， ∴ ，即 ， ∴BQ= ， ∴OQ=OB-BQ=4-= ∴点Q的横坐标为， 综上，点Q的横坐标为或， 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题． 4．B 【分析】由可得点坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点坐标，再通过求出长度，通过三角形面积底高求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 点为， 点坐标为， ． ， ， ． ． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 5．A 【分析】根据的交点是，，可知对称轴为，从而可判断①；根据①的结论及可得与的关系，从而判断②；将、代入化简即可判断③；当是等边三角形时，可知代入二次函数解析式，结合，判断④． 【详解】解：∵的交点是，， ∴抛物线的对称轴为： ， ∴， ∴，即，故①错误； ∵在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∴ ， ∵抛物线开口向上， ∴，故③错误； 当是等边三角形时，如图：    则， 又∵，， ∴， ∴代入二次函数解析式得：， 又、， 即， ∴， ∴， ∴物线解析式为， 故④正确； 综上所述：正确的结论是①，共一个， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键，本题属于中档题，有些难度． 6．A 【分析】根据二次函数解析式得到点A坐标，对称轴，根据平移的性质得到，设，求出x值，得到平移距离，可得的解析式，令求出点P坐标，根据等腰直角三角形的性质得到，求出a值，根据开口方向得到结果． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，则， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴移动距离为， ∴， ，， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵开口朝下， ∴，． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是注意结合图像，求出平移距离． 7．A 【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论： ①当A、P重合，∠时，此时，可联立直线和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ②，即直线，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出的长，由于，那么、，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ③当时，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ④当，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①如图1，当A、P重合，∠时，此时， ∵， ∴， 设，则，， ∴． 设直线， ∴， ∴， ∴直线，联立抛物线的解析式， ∴， 解得或 故， ∴； ②作轴于点Q，当∠时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴ ∴； ③如图3，当时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ④如图4，当，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴P， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为：． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解题关键是一定要注意进行分类讨论． 8．/0.5 【分析】根据抛物线解析式可求出，即得出．再根据等腰三角形的性质和抛物线的对称性可知点P是抛物线顶点．将抛物线一般式改为顶点式，求出，最后由三角形面积公式求解即可． 【详解】对于，令y=0，则， 解得，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形， ∴点P是抛物线顶点． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，抛物线的顶点，等腰三角形的性质，抛物线的对称性．理解点P是抛物线顶点是解题关键． 9．2021 【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1a，BB2b，CB3c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线yx2中，求a、b、c的值得出规律． 【详解】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C． 设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c， ∵△A0B1A1是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得BB2b，CB3c， ∴在正△A0B1A1中，B1(a，)，代入yx2中，得•(a)2，解得：a=1或a=0(舍去)，即A0A1=1， 在正△A1B2A2中，B2(b，1)，代入yx2中，得1•(b)2，解得：b=2或b=-1(舍去)，即A1A2=2， 在正△A2B3A3中，B3(c，3)，代入yx2中，得3•(c)2，解得：c=3或c=-2(舍去)，即A2A3=3， ∴可以推出AnAn+1=n+1, 由此可得△A2020B2021A2021的边长=2021． 故答案为：2021． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律． 10．或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理的应用；先根据解析式求得，，二次函数图象的对称轴为直线，进而设，根据勾股定理表示出，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：当时，，则 当时，， 解得： ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， 设， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 当时，，即． 解得，此时（与点重合，舍去） 当时， 解得，此时 综上所述：或． 故答案为：或． 11．或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，不等式可理解为一次函数小于反比例函数时对应x的取值范围，从图象上看，就是一次函数在反比例函数图象下方，观察图象可得，一次函数在反比例函数下方时，对应的x取值范围． 先求出反比例函数解析式为，得到，再根据不等式的解集化为一次函数图象在反比例函数图象下方对应的x取值范围求解即可． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点、， ∴， ∴将代入得，， ∴， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 12．或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，注意分类讨论是解题关键． 先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值，然后由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点、点， 当时，由得；当时，， ，， 把，代入，得，解得， 该抛物线的解析式为； ， 该抛物线的顶点为，对称轴为直线， 设， ①等腰三角形以为底边，如图1所示： ， 由得，或（不符合题意，舍去）， ∴； ②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示： ， ， ， ， ； ③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示： ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 13．(1)， (2)①②或或3． 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）①用s表示P，M坐标，进而求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ②分别求出，再分三种情况讨论，，，，据此列方程求s即可得解． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 抛物线的解析式， 设直线的解析式， 把代入得， 解得， 直线的解析式； （2）解：①由题意，， ， ， 当时，取得最大值，的最大值为； ②，， ， 当为等腰三角形时， 若，则，即，解得． 若，则，即，解得或（舍去）． 若，则，即，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或或3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、最值问题、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 14．(1) (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短距离问题，二次函数与面积综合题，等腰三角形分类问题，综合性强，难度较大． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线，即可得到点坐标为，点A、B关于对称轴对称，从而得到当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点．求出直线解析式为，即可得到点的坐标为； （3）根据点的横坐标为得到点的纵坐标为，点坐标为，求出，根据得到，根据二次函数性质即可求出当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）根据，， ，求出，，，根据为等腰三角形，分，，三种情况列出方程，解方程舍去不合题意解，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点坐标为，点A、B关于对称轴对称， ∴当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点． 设直线解析式为， ∵点、， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）解：如图， ∵，， ， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， 当时，，解得（均不合题意，舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上所述，符合条件的的值或1． 15．(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数的性质、坐标与图形性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意设出点的坐标并列出方程求解． （1）将A、B、C三点代入，可求得抛物线的解析式； （2）设，先求出的解析式，从而得出点E的坐标，进而得出的长，从而求得用m表示的的面积，最后根据二次函数的性质，求出最值； （3）设点Q的坐标为，根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出、、，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：作轴交于E． 设． 设直线的解析式为 将点A和点C的坐标代入，得 解得： ∴直线的解析式为， ∴ ∴ ， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大， 此时， ∴点P坐标为； （3）解：∵，，抛物线的对称轴为直线， ∴可设点Q的坐标为， ∴， ， ， 要使是以为斜边的直角三角形，只需， ∴， 整理，得， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 16．(1) (2)点P的坐标为，面积的最大值为6 (3)或或或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，两点距离计算公式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出点B和点C的坐标，得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于点E，连接，设，则，则，则可得到，据此可得答案； （3）求出对称轴，设出点Q的坐标，利用两点距离计算公式得到，再分C、B、Q分别为直角顶点，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于点E，连接， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为6， ∴， ∴此时点P的坐标为； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， ∴，， 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点Q为直角顶点时，则， ∴， 解得 ∴或； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 17．(1) (2)的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的性质，勾股定理． （1）把，代入可得抛物线的函数表达式为； （2）设，有，，，①当为斜边时，舍去；②当为斜边时，；③当为斜边时，，分别解方程可得的坐标为或． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设， ，， ，，， ①当为斜边时，如图，，不合题意，舍去； ②当为斜边时，如图： ， 化简变形得：， 解得（舍去）或； ； ③当为斜边时，如图： ， 变形得：， 解得（舍去）或， ； 综上所述，的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $