精品解析：河南省开封市2024一2025学年上学期期末调研检测九年级数学试卷

2024-2025学年第一学期期末调研检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的顶点式得出其函数性质根据二次函数的性质抛物线，主要基于抛物线的标准形式，其中对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 抛物线的对称轴是直线． 故选：B． 3. 近年来，中国汽车出口量呈现快速增长态势，2023年中国汽车出口量首次超越日本位居全球第一，在众多的汽车品牌中，“仰望”是比亚迪旗下高端汽车品牌，其车标设计灵感来源于甲骨文“电”（如下左图）．从给出的四个标识中，选出一个与“仰望”车标对称性相同的图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义“一个图形绕着一点旋转后能和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断即可． 【详解】解：“仰望”车标是中心对称图形， A.不是中心对称图形； B.是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选：B． 4. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据大量的实验结果稳定在左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是． 故选：C． 5. 如图，内接于，为的直径，，点在上，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理及其推论．由为的直径得到，则，根据同弧所对圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟知反比例函数的增减性和反比例系数的关系． 由得到函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵反比例系数， ∴函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大， ∵， ∴．   故选：D ． 7. 如图，直线，直线分别交直线，，于点A，B，C，直线分别交直线，，于点D，E，F直线，交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 详解】解：， ，A选项成立，故不符合题意； ，B选项成立，故不符合题意； ，C选项不成立，故符合题意； ，D选项成立，故不符合题意； 故选C． 8. 据国家统计局发布的《年国民经济和社会发展统计公报》显示，年和年全国居民人均可支配收入分别约为万元和万元．设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，年和年全国居民人均可支配收入分别约为万元和万元．据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，根据题意得，． 故选：C． 9. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 当时， C. 函数有最大值 D. 当时，随的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，当时，函数值大于0，即即判断A选项，根据函数图象，直接可得时，即可判断B选项，根据函数图象开口向下，即可判断C选项，根据对称轴为直线，开口向下，即可判断D选项． 【详解】解：根据函数图象可得：当时，函数值大于0，即，故A选项错误，符合题意； 当时，，故B选项正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴函数有最大值，故C选项正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质，正确的识别图形并找到规律是解题的关键． 找到前四次旋转后的图形即可找到规律，进而求解． 【详解】解：如图：正方形绕点每次顺时针旋转，前四次旋转后得到的正方形分别为、、、， 可以发现，第四次旋转后正方形回到起点，依此规律旋转下去，有 第次旋转后的正方形应为，其中点对应点， ∴此时． 故选：B ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是______（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=(-4)2﹣4×1×k=16﹣4k＞0， 解得k＜4， 取k=3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了根的判别式，能根据根的判别式的内容得出关于k的不等式是解此题的关键． 12. 如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，点落在边上，若，则_____°． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和；先根据旋转得到，然后得到的度数，然后根据平行线的性质得到，再根据角的和差解题即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，若反比例函数的图象经过的中点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，中点坐标，求反比例函数的解析式；先根据等腰直角三角形的到点B的坐标，然后根据中点坐标公式得到点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值解题． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴点的坐标为， ∴的中点C的坐标为， 又∵反比例函数的图象经过， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，以为圆心，长为半径作弧，分别交于，于点，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握不规则图形面积的计算，扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据含角的直角三角形可得，如图所示，连接，过点作于点，根据题意可得是等边三角形，可得，由，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， 如图所示，连接，过点作于点， ∵以为圆心，长为半径作弧，分别交于，于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外），则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 首先根据勾股定理得出，然后根据折叠的性质分点在边上和在边上两种情况，利用相似三角形的判定得出即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外）， ∴点的对应点关于对称， 当点在边上时，如图， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 当点在边上时，如图， ， ∵， ∴， ∵， 在和中 ， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解方程即可； （2）先利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴，， 解得，． 17. 将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上方在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上方在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，组成一数对. （1）请写出.所有可能出现的结果； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽依次卡片，卡片上述资质和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用枚举法解决问题即可； （2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断． 【详解】（1）由题设可知，所有可能出现的结果如下：，，，，，，，，共9种； （2）两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数有4种可能，所以（甲赢）； 卡片上数字之和为偶数有5种可能，所以（乙赢）. ∵， ∴乙赢的可能性大一些，故这个游戏不公平. 【点睛】本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1．顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上． （1）在正方形网格中，以为坐标原点，所在的直线为轴，画出平面直角坐标系，写出点的坐标及点关于原点对称的点的坐标； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，画出，并写出，坐标； （3）若将点向右平移个单位，使其落在的内部（包括边界），直接写出的最大值． 【答案】（1）见详解，， （2）画图见详解，， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图：平移变换、旋转变换和轴对称变换，正比例函数解析式求解等知识点，解题的关键是正确做出图形． （1）根据题意即可画出平面直角坐标系，再根据坐标特征即可解答； （2）利用网格特点和旋转的性质，分别画出点，依次连接即可画图，再根据图象写出坐标即可； （3）利用（1）（2）所作图形，当点在直线上时，平移距离最大，据此求解即可． 【小问1详解】 解：画出平面直角坐标系如图，根据图象可得，． 【小问2详解】 解：如图，即为所求，，． 【小问3详解】 解：∵，， 设直线的解析式为，代入得，解得：， 则可得直线的解析式为， 当点在直线上时，距离最大， 当时，， 此时平移距离． 19. 如图①，反比例函数与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）如图②过动点作轴的垂线与反比例函数和一次函数的图象分别交于P，Q两点，当在的左边时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先求出直线与轴交点的坐标，然后根据解题即可； （3）借助图象以及点A、B的横坐标，直接写出t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， ∴点A的坐标为， 设直线与x轴交于点C， 令，则，解得， 则点的坐标为， ∴； 【小问3详解】 根据函数图象以及点A、B的横坐标，当在的左边时，的取值范围为或． 20. 如图，小红同学为了测量一栋楼的高度，在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部． （1）吗？说明理由； （2）如果小红估计自己的眼睛距地面，同时量得，，求这栋楼的高． 【答案】（1），理由见解析 （2）这栋楼高为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用； （1）根据由光的反射定律，反射角等于入射角，即可求解； （2）根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【小问1详解】 ，理由如下： 由光的反射定律，反射角等于入射角得， ； 【小问2详解】 ， ， ． ． 答：这栋楼高为． 21. 如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理： （1）过点作于，切线的性质结合角平分线的性质，得到，即可得证； （2）中，求出的长，切线长定理得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 过点作于， 切于D， 平分，， ， 是的切线； 【小问2详解】 的半径为4，，中，， ，是的切线， ∴，设， 在中，， ∴． 22. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）； （3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方处？ 【答案】（1） （2）不能射进球门 （3）向正后方移动 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，用待定系数法可得； （2）把代入，求出，可知球不能射进球门； （3）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入即可． 解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． 【小问1详解】 解：由题意得，当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，离地面， ∴抛物线的顶点坐标为， 故设抛物线解析式为， 将代入得：， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得， ， ∴不能射进球门； 【小问3详解】 解：设他应该向后移动 m 米， 则移动后的解析式为， 把点代入得： ， 解得：，（舍）， 故向正后方移动． 23. 探究式学习是数学学习的重要方式，是培养创新性人才的重要途径．数学课上，张老师出示如下题目，请同学们尝试以下探究． 在中，，，D是边上一点，是边上的一动点，作射线，将射线绕点顺时针旋转与边所在的直线交于点． 【初步感知】 （1）数学探究小组发现，当点为的中点时，如图①，易得出线段，的数量关系为_____；他们进一步发现线段，，也有一定的数量关系，则，的数量关系为_____． 【深入探究】 （2）数学探究小组继续研究，如图②，当点为靠近点A的的三等分点时，线段，，之间也有一定的数量关系，请写出线段，，之间的数量关系，并证明； 【思维拓展】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，设的中点为，若，点从点向点方向移动的过程中，直接写出点运动的路程长度． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出，再根据勾股定理得出，的数量关系； （2）取中点H，过点H作交于点G，交于点P，得出，由（1）得出，再证明即可得出结论； （3）作交延长线于点，作交延长线于点，取中点，连接，先证明得出，再证明及，设，求出，进而求出结论． 【详解】解：（1）连接， 在中，，，点为的中点， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2），理由如下： 取中点H，过点H作交于点G，交于点P， 在中，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点为靠近点A的三等分点， ， 由（1）知，， ， ， ，H是中点， ， 点为中点， 是中位线， ， ； （3）如下图，作交延长线于点，作交延长线于点，取中点，连接， 则为点M运动路径，连接， ，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 是中点， 分别是和对应中线， ， ， ， ， ， ①， 在中，设， 则， ， ， ， 代入①得：， ， 则点运动的路程长． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末调研检测 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 近年来，中国汽车出口量呈现快速增长态势，2023年中国汽车出口量首次超越日本位居全球第一，在众多的汽车品牌中，“仰望”是比亚迪旗下高端汽车品牌，其车标设计灵感来源于甲骨文“电”（如下左图）．从给出的四个标识中，选出一个与“仰望”车标对称性相同的图形为（ ） A. B. C. D. 4. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到）： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，则这名运动员“射击9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，内接于，为的直径，，点在上，则为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，直线分别交直线，，于点A，B，C，直线分别交直线，，于点D，E，F直线，交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 据国家统计局发布的《年国民经济和社会发展统计公报》显示，年和年全国居民人均可支配收入分别约为万元和万元．设年至年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 当时， C. 函数有最大值 D. 当时，随的增大而减小 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是______（写出一个即可） 12. 如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，点落在边上，若，则_____°． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，若反比例函数的图象经过的中点，则_____． 14. 如图，在中，，，，以为圆心，长为半径作弧，分别交于，于点，则图中阴影部分面积为_____． 15. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点落在的边上（点除外），则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上方在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上方在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，组成一数对. （1）请写出.所有可能出现的结果； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽依次卡片，卡片上述资质和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢，你认为这个游戏公平吗？请说明理由. 18. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1．顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上． （1）在正方形网格中，以为坐标原点，所在的直线为轴，画出平面直角坐标系，写出点的坐标及点关于原点对称的点的坐标； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，画出，并写出，的坐标； （3）若将点向右平移个单位，使其落在的内部（包括边界），直接写出的最大值． 19. 如图①，反比例函数与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）如图②过动点作轴的垂线与反比例函数和一次函数的图象分别交于P，Q两点，当在的左边时，请直接写出的取值范围． 20. 如图，小红同学为了测量一栋楼的高度，在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部． （1）吗？说明理由； （2）如果小红估计自己的眼睛距地面，同时量得，，求这栋楼的高． 21. 如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若半径为4，，求的长． 22. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）； （3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球恰好经过点A正上方处？ 23. 探究式学习是数学学习的重要方式，是培养创新性人才的重要途径．数学课上，张老师出示如下题目，请同学们尝试以下探究． 在中，，，D是边上一点，是边上的一动点，作射线，将射线绕点顺时针旋转与边所在的直线交于点． 【初步感知】 （1）数学探究小组发现，当点为的中点时，如图①，易得出线段，的数量关系为_____；他们进一步发现线段，，也有一定的数量关系，则，的数量关系为_____． 【深入探究】 （2）数学探究小组继续研究，如图②，当点为靠近点A的的三等分点时，线段，，之间也有一定的数量关系，请写出线段，，之间的数量关系，并证明； 【思维拓展】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，设的中点为，若，点从点向点方向移动的过程中，直接写出点运动的路程长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$