精品解析：吉林省长春市实验中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

吉林省长春市实验中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题 考试时间：120分钟分值：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位，复数满足，那么虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 或2 D. 或 5. 已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且有，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 6. 若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 7. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 图象关于点对称 B. 在上的最大值为 C. 的最小正周期为 D. 若在上单调递减，则最大值为 10. 已知点，，抛物线焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点在动点的轨迹上 B. 周长的最小值为 C. 当最小时，点的横坐标为4 D. 面积的最大值为 11. 在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 过点平面截长方体所得的截面周长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________________. 13. 甲､乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为__________. 14. 已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在数列中，，且当时，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 16. 2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立； （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元； 请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望． 17. 已知函数． （1）若1是函数的极值点，求的值； （2）若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由． 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 19. 已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； （3）若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市实验中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题 考试时间：120分钟分值：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到，，根据交集概念求出答案. 【详解】，解得，故， 令，解得，则， 故. 故选：C 2. 已知i是虚数单位，复数满足，那么的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，得到虚部. 【详解】， 故的虚部是. 故选：A 3. 向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量，， 则，， ， 所以向量在向量上的投影向量为 故选：A． 4. 已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的定义计算可得； 【详解】由三角函数定义可得，解得， 所以的值为或. 故选：D. 5. 已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且有，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，由，根据双曲线的定义可得、，结合勾股定理和离心率的定义计算即可求解. 【详解】 不妨设点在第一象限，如图所示，，， 由，得，所以， 得，故，又， 即，得， 由，得，即双曲线的离心率为. 故选：D. 6. 若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据三棱锥的几何特征，表示出三棱锥的体积，再结合基本不等式求解即可. 【详解】如图，设，其余各棱长为， 取中点，连接， 因为，所以， 故，得到， 而，且面， 所以面，故， ，故， 且设该三棱锥体积为，故， 而，当且仅当时取等， 此时解得，故B正确. 故选：B 7. 在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又， 所以， 所以，解得， 所以. 故选:D. 8. 若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原不等式转化为函数的图象一定有部分在直线的下方，且该部分图象横坐标中没有整数，根据导数的几何意义求出直线与曲线相切时的斜率，画出函数图象，利用数形结合可得答案. 【详解】原不等式可化为，设， 则直线过定点， 因为不等式的解集非空，所以函数的图象一定有部分在直线的下方， 又因为不等式的解集中无整数解，所以该部分图象横坐标中没有整数， ∵，∴．设直线与曲线相切于点， 则有，消去a整理得，解得或， 若，则切点横坐标为1，若不等式的解集非空，解集中一定含有整数1，所以不合题意，舍去； 故，则切线的斜率为，解得． 又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，， 当时，解得，当直线绕着点旋转时， 要使不等式的解集非空，且解集中无整数解，必有得，故实数的取值范围是． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点：一是正确理解不等式的解集非空且不包含整数；二是数形结合思想的应用，将不等式问题转化为图象间的位置关系. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在上的最大值为 C. 的最小正周期为 D. 若在上单调递减，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合余弦函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】函数， 对于A，，的图象关于点对称，A正确； 对于B，当时，，，B错误； 对于C，，的最小正周期为，C正确； 对于D，因为，所以， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以，则，即的最大值为. 故选：ACD. 10. 已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点在动点的轨迹上 B. 周长的最小值为 C. 当最小时，点的横坐标为4 D. 面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】设点，根据得到动点的轨迹为圆.选项A根据点与圆的位置关系即可判断；选项B结合抛物线的定义和三点共线距离和最短可求；选项C根据直线与圆相切得和即可求解；选项D首先将面积最大转化为点到直线距离最远，再求圆上的点到直线的最大距离即可. 【详解】由题可知，设点，则，. ，，化简得，即， 则动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 对于A，因为，所以点不在动点的轨迹上，故A错误； 对于B，抛物线的准线方程为，如图，过点作准线的垂线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时，取得最小值，即. 又，所以周长的最小值为，故B正确； 对于C，如图，当与圆相切且点在轴上方时，最小. 连接，所以. ，，， 所以点的横坐标为，故C正确； 对于D，因为，为定值，所以若的面积取得最大值，则只需要动点到直线的距离最远即可. 直线，即，所以点到直线的距离为， 所以到直线的最大距离为， 所以面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 过点的平面截长方体所得的截面周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项由线线平行得到异面直线的夹角，用余弦定理即可得出结果；B选项动直线平行于平面等价于面面平行，从而得到动点运动轨迹，找垂线即为最短距离，求出最小值；C选项找球心，便可得到半径，然后求出体积；D选项利用空间直角坐标系由空间向量得到点的坐标，然后求出线段长，从而得出周长. 【详解】A．，直线与所成角， 在中，根据余弦定理可知， ， 代入求得，A错误； B．取的中点，取的中点，取的中点，连接， ，，所以四边形是平行四边形， 且，，平面， 同理可得平面， 平面，平面， 所以点的运动轨迹为线段， 在中，过点作，此时取得最小值， 由题意可知，， ，B正确； C．取的中点，连接，则， 过点作，且， 为外接球的半径，在中，， ， ，C错误； D．由平面平面得，过点的平面必与有交点， 设过点的平面与平面和平面分别交于 ，同理可得 过点的平面截长方体所得的截面图形为五边形， 如图所示，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， ，， ，解得， ， 所以五边形的周长为 ，D正确． 故选：BD 【点睛】方法点睛：利用向量共面来找立体图形中截面问题，先找到面与棱的交点，设交点坐标，得到空间向量的坐标，由向量平行建立方程，解出点的坐标，即可确定截面位置. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件,使用诱导公式及二倍角公式，化简，然后代值即可. 【详解】由题意，因为， 所以 故答案为：. 13. 甲､乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出总事件中的基本事件的个数，再求出满足题意条件且甲获胜的事件中基本事件的个数，最后求出甲获胜的概率即可. 【详解】设事件“甲乙两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张”， 事件“两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，甲比乙选的数字之和大”， 则， 乙选时，甲获胜有种选法； 乙选时，甲获胜只有种选法； 乙选时，甲不可能获胜， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即, 所以的反函数为, 由点在曲线上可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以可得当与垂直时，取得最小值为2， 因此两点到的距离都为1， 过点的切线平行于直线，斜率为1，即， 可得，即， 点到的距离，解得， 当时，与相交，不合题意； 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在数列中，，且当时，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用，变形得到，证明出数列是等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消求出数列的前项和为，再利用不等式的性质即可得到. 【小问1详解】 当时，， 又，可得， 当时，，则， 又，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故； 【小问2详解】 由（1）知， 则， 则数列的前项和 ， 又，则， 故. 16. 2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件和事件是否独立； （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元； 请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望． 【答案】（1），，事件和事件不独立． （2） 的分布列为： 150 300 600 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出. （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【小问1详解】 若红色外观的模型，则分棕色内饰个，米色内饰个，则对应的概率， 若小明取到棕色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率． 取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有个，即， 则， ，， 即事件和事件不独立． 【小问2详解】 由题意知，，， 则外观和内饰均为同色的概率， 外观和内饰都异色的概率， 仅外观或仅内饰同色的概率， ， ，，， 则的分布列为： 150 300 600 则（元）． 17. 已知函数． （1）若1是函数的极值点，求的值； （2）若，试问是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求导，结合极值点的定义可得，计算验证即可求解； （2）利用二次求导和零点的存在性定理讨论函数的单调性，求出即可下结论. 【小问1详解】 ，定义域是， ．1是函数的极值点， ，解得， 经检验符合题意，. 【小问2详解】 令，即，令， 则． 令，则， 令解得，而，且为增函数， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 当x趋向于0时，趋向于，即， ，， 故存在，使得，即， 故当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 故， 因为，所以，且， 故，即无零点． 【点睛】方法点睛： 对于函数极值点问题，通常先对函数求导，再根据极值点处导数为的性质列方程求解，最后要进行检验，确保该点两侧导数异号. 研究函数零点问题，可通过构造新函数，利用导数研究其单调性、极值情况，结合零点存在性定理进行判断.当无法直接求出零点时，分析函数的最小值与的大小关系是常用方法. 18. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2． （1）求多面体的体积； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，由线面垂直判定平面，最后应用三棱锥体积公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再应用向量法求二面角余弦值； （3）令，,根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案. 【小问1详解】 因为，即, 又,平面， 所以平面，平面，所以. 又,平面，所以平面， 所以. 【小问2详解】 因为平面，，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以, 设平面的法向量，由，得， 因为平面，所以平面的法向量，所以. 因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在线段上存在一点，使得平面平面, 设，，则. 所以，设平面的法向量， 由，令，得， 因为平面平面，所以，解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且. 19. 已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； （3）若直线的斜率为2，在椭圆上是否存在定点，使得（分别为直线的斜率）恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在．请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）由题列方程组求出即可得解； （2）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系得出，根据中点坐标公式，求解即可得； （3）设，根据，得出，用与表示直线与椭圆的方程，求解即可得出和的值，从而求出点的坐标． 【小问1详解】 由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为； 【小问3详解】 设， 则， 因为直线的斜率为2，设直线的方程为， 其中，且不过， 椭圆的方程可化为，即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， ，解得，代入， 解得：，所以， 所以存在点或，使得恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $