2026年中考数学压轴题专项集训：反比例函数

2026年中考数学压轴题专项集训：反比例函数 一、单选题 1．（24-25九年级下·江苏常州·月考）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（2018·云南昆明·一模）如图，点A在双曲线上，轴于点B，且的面积为2，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．4 3．（17-18九年级下·全国·单元测试）若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（    ） A． B．小于的任意实数 C． D．不能确定 4．（12-13九年级·全国·单元测试）如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 5．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D．1 6．（24-25九年级上·广西来宾·月考）在下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（11-12八年级下·江苏扬州·期中）正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为（　　） A． B． C． D． 8．（17-18九年级下·全国·课后作业）如图，点P是反比例函数y（x0）图象上一点，过P向x轴作垂线，垂足为M，连接OP．若Rt△POM的面积为2，则k的值为（    ） A．4 B．2 C．4 D．2 二、填空题 9．（13-14九年级上·浙江杭州·月考）若反比例函数的图象过点（﹣2，1），则一次函数的图象不过第 象限． 10．（22-23九年级上·山东德州·期末）在平面直角坐标系中、反比例函数的图象与边长是8的正方形的两边分别相交于M，N两点，三角形的面积为，若动点P在x轴上，则的最小值是 ． 11．（22-23九年级上·广西桂林·期中）如图，已知点，，均在直线上，点，，均在双曲线上，并且满足：轴，轴，轴，轴，，轴，轴，记点的横坐标为为正整数若，则的坐标为 ． 12．（21-22九年级上·湖北襄阳·期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．则当时，二氧化碳的密度为 ． 13．（安徽省十五校期末联考2025-2026学年上学期九年级数学试题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解为 ． 三、解答题 14．（2022·四川眉山·中考真题）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值； (3)在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：． 15．（2022·江苏盐城·二模）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间的函数关系式； (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 16．（2019·安徽亳州·二模）某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）． (1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式； (2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；并求出年利润的最大值． 17．（18-19九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数与矩形ABCD交于点M、N，连接OM，ON，M（3，2），S四边形OMBN=6，求反比例函数的解析式及B点、N点的坐标． 18．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标； (3)若点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，的面积为1，求点P的坐标． 19．（18-19九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）反比例函数在第一象限上有两点A，B． (1)如图1，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，求证：△AMO的面积与△BNO面积相等; (2)如图2，若点A(2,m),B(n,2)且△AOB的面积为16，求k值. 20．（2024·山东泰安·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点在该反比例函数图象上，且它到轴的距离小于，请根据图象直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：依题意得， 即：． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义． 根据反比例函数中k的几何意义得到，再结合图象即可求解． 【详解】解：由条件可知， 解得：， ∵， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解之得m=±1． 又因为图象在第二，四象限， 所以2m-1＜0， 解得m＜，即m的值是-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，对于反比例函数（k≠0）．k＞0，反比例函数在一、三象限；k＜0，反比例函数在第二、四象限内． 4．C 【分析】作AH⊥OB于H，根据平行四边形的性质得AD∥OB，则S平行四边形ABCD=S矩形AHOD，再根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到S矩形AHOD=6，所以有S平行四边形ABCD=6． 【详解】作AH⊥OB于H，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形ABCD， ∴AD∥OB， ∴S平行四边形ABCD=S矩形AHOD， ∵点A是反比例函数y＝−（x＜0）的图象上的一点， ∴S矩形AHOD=|-6|=6， ∴S平行四边形ABCD=6． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 5．C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由的几何意义得，即，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ； 故选：C． 6．C 【分析】本题考查反比例函数的定义，理解反比例函数的定义：“如果两个变量、之间的关系可以表示为为常数，且，那么是的反比例函数”是解题的关键． 根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的解析式的形式为：为常数，且，因而可知选项C是反比例函数，其余选项均不是反比例函数． 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为， ∴另一个交点与点关于原点对称， ∴另一个交点是． 故选：A． 8．C 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△POD=|k|=2，然后去绝对值确定满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得S△POD=|k|， 所以|k||=2， 而k＜0， 所以k=-4． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 9．三． 【详解】试题分析：根据题意可得k=－2，则y=－2x+2，则一次函数图象不经过第三象限. 考点：反比例函数与一次函数 10． 【分析】由正方形的边长是8，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为8，求得，根据三角形的面积列方程得到，作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长是8， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为8， ∵，的面积为， ∴， ∴（负值舍去） ∴， 作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长等于的最小值， ∵，， ∴， ∴ ， 根据勾股定理求得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确求出M、N的坐标是解题的关键． 11． 【分析】首先根据，求出，，，，，所以，，，，，，每个数一个循环，分别是、、；然后用除以，根据商和余数的情况，判断出是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可． 【详解】解：， 的坐标是， 的坐标是， 即， ， 的坐标是， 的坐标是， 即， ， 的坐标是， 的坐标是， 即， ， 的坐标是， 的坐标是， 即， ， ，，，，，，每个数一个循环，分别是、、， ， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：图象上的点的横纵坐标的积是定值，即；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 12．1.1 【分析】观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当V＝9时的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将（5，1.98）代入表达式中得， ∴反比例函数的解析式为， 当V＝9时，， ∴当V＝9m3时，气体的密度是1.1kg/m3， 故答案为：1.1． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 13．或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，不等式可理解为一次函数小于反比例函数时对应x的取值范围，从图象上看，就是一次函数在反比例函数图象下方，观察图象可得，一次函数在反比例函数下方时，对应的x取值范围． 先求出反比例函数解析式为，得到，再根据不等式的解集化为一次函数图象在反比例函数图象下方对应的x取值范围求解即可． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点、， ∴， ∴将代入得，， ∴， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 14．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，即可根据A、B坐标证明，得到，，再求出C、D坐标即可得到OC=OD，即可证明． 【详解】（1）∵直线过点， ∴ ∴将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为 （2）∵点在的图象上， ∴， ∴ 设平移后直线的解析式为， 将代入中，得4=1+b， 解得． （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵在反比例函数的图象上， ∴n=-4， ∴B（-4，-1） 又∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， 又∵直线与轴、轴分别交于点，， ∴，， ∴ 在和中， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键． 15．(1) (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 16．(1) (2)当时，，当时，；年利润的最大值为144万元 【分析】（1）分两种情况：和求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式即可； （2）分两种情况：和求出年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出最大值即可． 【详解】（1）解：当时，设， 将点代入，得， ∴； 当时，设，分别将点，代入，得： ， 解得：， ∴； 综上分析可知：． （2）解：当时，， 当时， 当时， ∵， ∴w随x增大而增大， ∴当时，w有最大值为（万元）， 当时， ∵， ∴当时，w有最大值为144万元． ∵， ∴年利润的最大值为144万元． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数、二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解． 17．N（，4） 【分析】根据点M的坐标可得出反比例函数的解析式,即可得出三角形OAM的面积和三角形OCN的面积,由S四边形OMBN=6,可得出点B的坐标,进而得出点N的坐标. 【详解】∵设反比例函数的解析式为y=， 把M（3，2）代入y=，得k=6， ∴反比例函数的解析式为y=， ∴S三角形OMA=S三角形ONC=3， ∵S四边形OMBN=6， ∴S矩形OABC=6+3+3=12， ∵OA=3，∴AB=4， ∴B（3，4）， ∵OC•CN=6， ∴CN=， ∴N（，4）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于.本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注. 18．(1)； (2)； (3)点P的坐标为或． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案； （2）联立，即可求解； （3）设，则，根据三角形的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， ， 故， 将代入反比例函数， 得， ∴这个反比例函数的表达式； （2）解：联立， 解得：或， 可知； （3）解：设，且，交x轴于点M，如图； ， ， ， 解得， 点P的坐标为或． 19．(1)见解析；(2)12. 【分析】(1)根据反比例函数的k值的含义即可证明， （2）过点A作AC⊥x轴，则AM=2，AC=m，BN=2，CN=n-2,根据S△AOB=S四边形ACOM+S梯形ACBN-S△AOM-S△BON，列出其面积的表示式子又m=n,即可化简得，得m=6，故求出k值 【详解】（1）设某点A(x1,y1),B(x2,y2) ∵A，B都在反比例函数上， ∴x1y1=x2y2, ∴S△AMO=x1y1=S△BNO=x2y2 即△AMO的面积与△BNO面积相等; （2）过点A作AC⊥x轴， 则AM=2，AC=m，BN=2，CN=n-2, S△AOB=S四边形ACOM+S梯形ACBN-S△AOM-S△BON， 即16=2m+(2+m)(n-2)-×2×2m ∵m=n ∴可化简为， ∴m=6，（-6舍去） ∴k=2m=12.    【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 20．(1) (2)反比例函数的解析式 (3)或 【分析】（）由反比例函数过，，得出即可； （）设一次函数解析式为，由一次函数过，两点，则一次函数解析式为，又交轴交于点，解得：，得出即可； （）根据图象即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数过，， ∴， ∴； （2）设一次函数解析式为， ∵一次函数过，两点， ∴， 由（）得：， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， ∵一次函数交轴交于点， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式； （3）∵它到轴的距离小于， ∴或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $