选填03 平面向量（十一大考点训练+真题模拟题练）-2025年高考数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 选填03 平面向量 【考点01 用基底表示向量】 1．在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设， 则， 又， 所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 故选：B 2．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，， 所以，解得，则. 故选：A. 3．如图，在中，是延长线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 4．如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，，即. 故选：D. 5．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 【考点02共线向量问题】 6．已知、不共线，向量，，且，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，使得成立，即. 因为、不共线，所以，所以，. 故答案为：. 7．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 8．已知向量，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 根据与平行，可得，解得. 故选：A 9．已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得. 故选：A 10．已知为内一点，且，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取中点，连接，则，又，∴， ∴， 又三点共线，∴，． 故选：C．    【考点03 数量积运算】 11．已知线段是圆的一条长为4的弦，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【详解】取中点，连接， 易知，所以. 故选：C． 12．中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】如图： 可知， 故. 故选：A. 13．设，是单位向量，则的最小值是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】设，的夹角为， 因为，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是1. 故选：D. 14．在中，分别为边的中点，则 . 【答案】 【详解】连接， 因为，分别为边，的中点，所以， 所以 . 故答案为：. 15．在中，则“”是“是直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，则，因为在中， 则，则，则，则是直角三角形，则充分性成立； 反过来若“是直角三角形”，则不一定是， 比如，则，则，则，则必要性不成立， 则“”是“是直角三角形”的充分不必要条件. 故选：A. 【考点04 模长问题】 16．已知向量与的夹角为，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以，，即， 整理可得，解得（负值已舍去）. 故选：C. 17．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， . 【答案】 【详解】由条可知，，， 所以扇形的面积，扇形的面积, 所以扇面的面积是； . 故答案为：； 18．已知向量，满足，，，则 ． 【答案】6 【详解】由 可得， ，解得， 故答案为：6 19．已知向量，，则 ，的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，, 所以， 则，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 20．已知向量，，且，则的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，所以①， 又，得到，又，所以②， 联立①②解得或，所以的坐标可以是， 故选：A. 【考点05 夹角问题】 21．已知非零向量满足：，且，则 . 【答案】 【详解】. ， ，解得， 故． 故答案为：. 22．已知向量，，若，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以，得. 因为，，， 所以. 故答案为：. 23．已知三角形ABC的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： 24．已知向量．若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】，则，解得，故． ，则． ，则， 即，解得． 故选：D 25．单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：因为，所以，所以. 由是单位向量，得，故. 所以，所以. 因为， 所以. 法二： 因为，所以.因为是单位向量， 所以设，，，则，，， 解得. 取，则. 因为，， 所以. 故选：B. 【考点06 投影向量问题】 26．在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 27．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 【答案】 【详解】由题得，所以， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 28．已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 所以，解得， 从而，在上的投影向量为． 故选：B． 29．已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】1 【详解】因为单位向量，满足， 可得：，也即 则， 则向量在向量上的投影向量的模为. 故答案为：1 30．已知向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 则在方向上的投影向量为：. 故选：C 【考点07 坐标法求最值范围】 31．四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系， 设,. 所以,,,, 所以, 因为, 即, 故点在以点为圆心，半径为的圆周上运动， 所以的最大值为. 故选：D. 32．如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 【答案】 / 【详解】在梯形中，且，，则， 于是 ，则，又，所以； 作于，以为原点，正方向为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，， 令，则， ，， 因此， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种： ①利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题； ②建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 33．在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】 如图，过点作于点，过点作于点， ∵，∴， ∴，故， 以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则， 设，其中，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值． 故答案为：． 34．在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题设，可建立如图所示平面直角坐标系： 则，，，即为腰长为1的等腰直角三角形， 设，则，，， 则， 所以， 当，时，取得最小值. 故答案为：. 35．已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，则，即， 以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，， 由点P，Q是线段AB上的动点，设， 于是， 因此，当且仅当时取等号， 而，则当，即时，， 又，当且仅当或时取等号， 所以的取值范围是. 故选：D 【考点08 三角换元求最值范围】 36．在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系， 因为在矩形中，，，，， 所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ， 其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A. 37．已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 3 【详解】如图：以为原点，以所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系， 则，，，， 动点在以点为圆心且与相切的圆上， 设圆的半径为， ，， ， ， 圆的方程为， 设点的坐标为，则， ，故的最大值为， ，， ， ，， ， ， ， 故的最大值为3， 故答案为：，3 38．设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】以A为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，，与的夹角为， ， 由于，故， 所以， 因为为的中点，，所以在以为圆心，半径为1的圆上， 设， 则，， 得， 所以当，即时，最大，最大值为， 此时，则． 故答案为：． 39．在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则, ，其中锐角满足，故的最大值为, 故选：A    40．在等腰直角三角形中，，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】以为圆心，以为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由于所以， 由于点在，不妨设 ，， ，其中， ， 所以， 可看作是上的点到点的距离， 由于点在线段上运动， 故当点运动到点时，此时距离最大， 为， 当点运动到点时，此时距离最小为0， 综上可知：. 故答案为：. 【考点09 三角形“四心”】 41．已知在中，为的重心，为边中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，为的重心，为边中点， 对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为在中，为边中点， 则， 所以，故C正确； 对于D，若成立， 则，即，则， 又为边中点，故，这不一定成立，故D错误. 故选：C． 42．在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则 ． 【答案】 【详解】设的中点为，连接， 由点G为的外心，可得， 由点O为重心，可得， 故 .      故答案为：. 43．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确；    对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误；    对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD.    【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断. 44．中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【详解】设，， 以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系， ， ，， 则，，，，则， 设，则， ， ，即， 即点的轨迹方程为， 而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线， 根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心， 故选：A. 45．已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，所以是的中点，又是的外心， 则，再由，， 则为正三角形，， 角度一：如图，过点作，垂足为，则，， 所以向量在向量上的投影向量等于. 角度二：设，则，所以， 所以向量在向量上的投影向量等于. 故选：C. 【考点10 极化恒等式】 46．如图，在△中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 故. 故选：A. 47．已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 根据投影向量定义知，，则，且， 因为，所以点C在以O为圆心，半径的圆上运动． 设M是AB的中点，由极化恒等式得：， 因为，此时， 即的最小值为， 故选：D． 48．已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．32 【答案】C 【详解】如图： 分别取AB，CD的中点E，F，连接DE，CE，EF． 又，所以由极化恒等式得 ，， 所以 ． 连接OE，OF，OA，OB，OC，OD， 由，，得， 所以E，F在以O为圆心，为半径的圆上．所以EF的最大值为， 所以的最大值为24． 故选： 【点睛】知识点点睛：极化恒等式：在中，若为中点，则. 49．如图，在平面四边形中，O为的中点，且，.若，则 . 【答案】9 【详解】如图，在中，D为的中点，下面证明结论：. 因为D为的中点， 所以，所以① 又，所以② ①-②得，所以 因为在平面四边形中，O为的中点，且，. 所以，解得， . 故答案为： 【点睛】结论点睛：极化恒等式 如图，在中，D为的中点，则有结论：. 50．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 【考点11 向量与恒成立问题】 51．向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】作，，， 因为不等式恒成立，则，即， 从而有，故. 设，， 则. 作点E关于直线OB的对称点F，， 则，当且仅当三点共线时取得等号. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有二，一是恒成立条件的转化，可求的值；二是利用转化求得函数的最小值. 52．（多选）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【详解】由恒成立得， 即恒成立， 因为，， 设夹角为，则恒成立， 所以， 即， 所以，则， 所以， 所以， 所以与垂直，A正确； ，B不正确； 设，， 则， 所以 ， 其几何意义是与和连线的距离之和的2倍， 当三点共线时取得最小值，最小值为，C正确； ，， 所以 其几何意义是与和连线的距离之差的2倍， 当三点共线时最得最大值，最大值为，D不正确， 故选：AC. 53．已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设向量的夹角为θ，因为，所以， 则，即恒成立. 所以，解得， 故的夹角的取值范围是. 故选：A. 54．已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意设， ， 由， ， 化简得恒成立，所以， ， ， ， 当且仅当且时取到等号； 故答案为： . 55．已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，，，得， 又对于任意实数，不等式恒成立， 即对于任意实数，不等式恒成立， 即对于任意实数，不等式恒成立， 即△，解得：或， 故选：B. 一、单选题 1．（2024·北京西城·二模）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 所以，故A错； ，故B正确； ，故C错； 因为，所以不平行，故D错. 故选：B 2．（2023·24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    3．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以，即点为线段的中点， 又因为的外接圆圆心为，所以为直角三角形，所以 因为，可得，所以为等边三角形， 故点作，可得，所以， 因为向量在向量同向，所以向量在向量上的投影向量为. 故选；A. 4．（2024·全国·一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交轴的正半轴、轴的正半轴于两点，的面积为，若点为平面内一点，且满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】根据题意，不妨设， 则，解得， 所以． 故选：B． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：A. 6．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： ， 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. 7．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，设的中点为，则，所以，，则． 设，由于，则，则． 假如的起点均为，运用加法的平行四边形法作图求和，对角线对应的终点如图所示，所以． 故选：A． 8．（2024·25高三上·湖南长沙·期末）已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（   ） A．6 B．12 C．24 D．32 【答案】C 【详解】如图： 分别取，的中点E，F，连接，，. 所以,,又， 所以由极化恒等式得 ， 同理， 所以 连接, 由，，得， 所以在以O为圆心，为半径的圆上.所以的最大值为， 所以的最大值为24. 故选：C 二、多选题 9．（2023·广东梅州·三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，，所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以，. 可知：AD错误，BC正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意义. 10．（2024·四川眉山·一模）如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（   ） A．的值不可能大于 B． C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】BD 【详解】对于A选项，过点作交延长线于， 过点作交于，作图如下： 在平行四边形中，，由，则，故A选项错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C、D选项，取线段中点，连接，，作图如下： ， 在等边三角形中，易知，所以， ，则， 设与的夹角为，易知，则， 所以，故C选项错误，D选项正确. 故选：BD. 11．（2024·25高三上·山东菏泽·期中）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（    ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 【答案】ABD 【详解】以M为原点，直线AC为轴建立直角坐标系（如图）， 设，则，在中，，，是的中点， 所以， ，则 ，，，， 所以，，， 对于A：因为是的中点，所以，故A正确； 对于B： 因为，所以，当时，取得最小值， 所以最小值为，故B正确； 对于C：在上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为所以， 则，当时，取最大值.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2022·江西上饶·二模）已知向量，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】根据题意得， ． 因为， 所以，解得． 故答案为：. 13．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则 ． 【答案】/ 【详解】设，则， ， 设正方向边长为6，则， 所以 ， 所以. 故答案为： 14．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 【答案】 6 【详解】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ， 显然，当为的中点时，， 所以 故答案为：6；． 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 6．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 7．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 11．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为 【答案】 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 12．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D          2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 选填03 平面向量 【考点01 用基底表示向量】 1．在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是延长线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【考点02共线向量问题】 6．已知、不共线，向量，，且，则 . 7．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．已知向量，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 9．已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 10．已知为内一点，且，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点03 数量积运算】 11．已知线段是圆的一条长为4的弦，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 12．中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”分别位于A，B，C，D四点，则（   ） A． B． C．2 D． 13．设，是单位向量，则的最小值是（    ） A． B．0 C． D．1 14．在中，分别为边的中点，则 . 15．在中，则“”是“是直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点04 模长问题】 16．已知向量与的夹角为，，，则等于（   ） A． B． C． D． 17．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， . 18．已知向量，满足，，，则 ． 19．已知向量，，则 ，的最小值为 . 20．已知向量，，且，则的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【考点05 夹角问题】 21．已知非零向量满足：，且，则 . 22．已知向量，，若，则 . 23．已知三角形ABC的外接圆半径为1，外接圆圆心为O，且O点满足，则 . 24．已知向量．若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 25．单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【考点06 投影向量问题】 26．在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 27．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 28．已知向量，的夹角为45°，且，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 29．已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 . 30．已知向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【考点07 坐标法求最值范围】 31．四边形是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 32．如图，梯形，且，，，则 ，E在线段上，则的最小值为 . 33．在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 34．在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 . 35．已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点08 三角换元求最值范围】 36．在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 37．已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为 ；若，则的最大值为 . 38．设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ． 39．在矩形中，，点是线段上一点，且满足.在平面中，动点在以为圆心，1为半径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 40．在等腰直角三角形中，，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是 . 【考点09 三角形“四心”】 41．已知在中，为的重心，为边中点，则（    ） A． B． C． D． 42．在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则 ． 43．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 44．中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 45．已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【考点10 极化恒等式】 46．如图，在△中，，则（    ） A． B． C． D． 47．已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 48．已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．32 49．如图，在平面四边形中，O为的中点，且，.若，则 . 50．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点11 向量与恒成立问题】 51．向量，满足，，且，不等式恒成立.函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 52．（多选）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B． C．的最小值为 D．的最大值为 53．已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54．已知平面向量满足：，若对满足条件的任意向量，恒成立，则的最小值是 ． 55．已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·北京西城·二模）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·24高一下·甘肃临夏·期末）在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别交轴的正半轴、轴的正半轴于两点，的面积为，若点为平面内一点，且满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 6．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西铜川·模拟预测）在中，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·25高三上·湖南长沙·期末）已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（   ） A．6 B．12 C．24 D．32 二、多选题 9．（2023·广东梅州·三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·四川眉山·一模）如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（   ） A．的值不可能大于 B． C．的最小值为 D．的最大值为1 11．（2024·25高三上·山东菏泽·期中）如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上.则（    ） A． B．最小值为-2 C．在上的投影向量为 D．若的最大值为 三、填空题 12．（2022·江西上饶·二模）已知向量，，且，则实数的值为 ． 13．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则 ． 14．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 11．（2022·天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为 12．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$