选填01 集合与常用逻辑用语（八大考点训练+真题模拟题练）-2025年高考数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 选填01集合与逻辑 【考点01 集合的关系】 1．设集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 2．满足的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若是的子集，则实数的值为 . 5．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【考点02 集合的运算】 6．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．7 C．8 D．16 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【考点03 集合与函数、不等式】 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 14．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 15．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【考点04 集合的求参及韦恩图】 16．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 17．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知集合，，若，则（    ） A． B．6 C．5 D． 19．（多选）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 20．如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 【考点05 充分必要的判定】 21．（多选）已知向量，，则（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 22．“”是“对任意，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 24．已知，使得不等式“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 25．不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点06 充分必要的求参】 26．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 28．已知“”，“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 30．已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点07 命题的真假及求参】 31．已知命题；命题．则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 32．已知命题，为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 34．若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．命题“”为假命题，则实数a的范围为 ． 【考点08 集合的新定义】 36．定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 37．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 38．（多选）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 39．（多选）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 40．（多选）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（    ） 注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）. A． B． C． D． 一、 一、单选题 1．（2025·广西柳州·模拟预测）设全集，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃张掖·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏泰州·一模）已知集合均为全集的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 5．（2011·12高三上·云南玉溪·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·上海徐汇·一模）已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 7．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江·二模）称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（    ） A．1976 B．1977 C． D． 二、多选题 9．（2024·广西·模拟预测）已知集合.若，且，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东临沂·二模）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 三、填空题 12．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是 ． 13．（2024·甘肃武威·一模）命题“，使成立”的否定命题是 . 14．（2024·福建福州·模拟预测）设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆． 若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 ． 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 8．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 11．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用） 选填01集合与逻辑 【考点01 集合的关系】 1．设集合，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得，则，故， 又由有意义，可得，即得，故， 则显然有. 故选：C. 2．满足的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以，， ，，共个，故B正确. 故选：B 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：， 显然不是的子集，不是的子集，故AB错误； 且，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：D. 4．已知集合，，若是的子集，则实数的值为 . 【答案】 【详解】若，则，，这与集合中元素的互异性矛盾，所以， 若，则或（舍去），当时，满足题意， 所以. 故答案为： 5．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，即，解得， 所以， 当时，，所以， 所以，，，故正确的只有A. 故选：A 【考点02 集合的运算】 6．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，可知，所以， 所以， 故选：B. 7．已知集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为集合且， 所以， 则集合为：， 所以集合的个数是8个. 故选：C． 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得，故， 故选：D 9．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得：. 故选：A. 10．已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令得，令得，令得， 故， ， 所以. 故选：D 【考点03 集合与函数、不等式】 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得 或， 故， 故选：D 12．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由，解得，故， 故. 故选：B 13．已知集合，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】因为集合 集合或， 所以或． 故选：D． 14．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，所以， 而，所以， 所以. 故选：C 15．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数型函数的定义域可知，，即， 又，则，所以，则，， 故选：D. 【考点04 集合的求参及韦恩图】 16．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【详解】由可得，若，则,故， 故选：B 17．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得， 因为，所以， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：C. 18．已知集合，，若，则（    ） A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【详解】若，则，即， 解得，此时， 满足，故. 故选：D. 19．（多选）已知集合均为的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为集合 均为的子集，且， 画出韦恩图，如图所示： 结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误； 由 ，所以C错误；由，所以D正确. 故选：AD. 20．如图，集合A，B均为U的子集，表示的区域为（    ） A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 【答案】A 【详解】因为, 由维恩图可知，表示的区域为I. 故选：A 【考点05 充分必要的判定】 21．（多选）已知向量，，则（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【详解】若，则， 解得或，“”是“”的充分不必要条件,所以A选项不正确， 结合A的分析知，“”是“”的充分不必要条件，B选项正确； 若，则，即， 解得，“”是“”的充分不必要条件，所以C选项正确， 由C的分析知，“”是“”的既不充分也不必要条件，D选项不正确， 故选：BC. 22．“”是“对任意，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则， 当时，，故； 当时，，故； 当时，， 故能推出； 反之，若对任意，， 因为时，，故，故即； 而时，，故，故即； 时显然成立，故， 故对任意，能得到， 故“”是“对任意，”的充要条件， 故选：C. 23．设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 24．已知，使得不等式“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则有，即，解得， 则是使得不等式“”成立的一个充分不必要条件. B是必要不充分条件，A是既不充分也不必要条件，D为充要条件 故选：C. 25．不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知不等式在上恒成立， 即方程无实数解， 即，解得， 所以不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是， 故选：D. 【考点06 充分必要的求参】 26．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 是的必要不充分条件， ， 故选：B． 27．已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】, 【详解】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故 所以（等号不能同时成立），可得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 28．已知“”，“”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若是的充分不必要条件，故在时恒成立， 故得，令，由二次函数性质得在时单调递增， 则，可得，故B正确. 故选：B 29．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由.所以； 由.所以. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以且. 所以. 故答案为： 30．已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解不等式，即，得，故， 所以的一个必要条件是， 对于A，不是的子集，故A错误； 对于B，不是的子集，故B错误； 对于C，是的子集，故C正确； 对于D，不是的子集，故D错误； 故选：C 【考点07 命题的真假及求参】 31．已知命题；命题．则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【详解】因为对数函数在上单调递增， 所以当时，，故命题是真命题； 由指数函数的性质可知，所以当时，， 所以．故命题是真命题． 故选:A. 32．已知命题，为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，，令，则， 作出函数的图象如图所示， 若，则直线与函数的图象没有公共点，数形结合可知, 所以的取值范围为. 故选：D. 33．已知命题：“，”为真命题，则的取值为 . 【答案】 【详解】因为命题：“，”为真命题， 即等式恒成立， 则， 解得， 故答案为：. 34．若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为假命题，所以为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数图象的对称轴为， 所以当时，，所以， 即，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：D. 35．命题“”为假命题，则实数a的范围为 ． 【答案】 【详解】命题“”为假命题，可命题“”为真命题， 即不等式在上有解， 设函数，可得函数在为单调递增函数， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【考点08 集合的新定义】 36．定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（    ） A．82 B．74 C．12 D．70 【答案】A 【详解】，非空子集有个. 当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12； 当子集为双元素集，，，，，时， “和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36； 当子集为三元素集，，，时， “和睦数”分别为4，7，8，7，和为26； 当子集为四元素集时，“和睦数”为. 故“和睦数”的总和为. 故选：A 37．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】设，， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B 38．（多选）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则是3阶聚合点集 B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集 C．若，则不是阶聚合点集 D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件 【答案】ACD 【详解】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确； 对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误； 对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确； 对于D，因是阶聚合点集等价于， 因，可得，又因，依题意可得，反之也成立， 故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确. 故选：ACD. 39．（多选）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集N关于数的加法构成群 C．实数集R关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】AD 【详解】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律； ②，使得，有； ③，，有，故A正确； 对于B选项，①自然数满足加法结合律； ②，使得，有； 但是对于，，不存在，使，故B错误； 对于C选项，对所有的、，有， ①实数满足加法结合律； ②，使得，有； 但对于，，不存在，使，故C错误； 对于D选项，对所有的、，可设，，，，，， 则， ①满足加法结合律，即、、，有； ②，使得，有； ③，设，，，，使，故D正确． 故选：AD． 40．（多选）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知为全集且元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数若，则（    ） 注：表示中所有元素所对应的函数值之和（其中是定义域的子集）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由于,所以 故，故A错误， 对于B，若,则，此时满足， 若且时，， 若且时，， 若且时，， 综上可得，故B正确， 对于C， 而， 由于，所以 故,C正确， , 当时，此时中至少一个为1，所以， 当时，此时均为0，所以， 故,故D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：充分利用的定义以及的定义，由此可得时，此时均为0，时，此时中至少一个为1，结合的定义化简求解. 一、 一、单选题 1．（2025·广西柳州·模拟预测）设全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意有，所以. 故选：B. 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】； . 则， . 故选：C 3．（2024·甘肃张掖·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，得，所以. 因为，所以. 故选：B 4．（2024·江苏泰州·一模）已知集合均为全集的子集，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 根据补集的性质，即， 于是, 故选：C 5．（2011·12高三上·云南玉溪·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，充分性成立， 反过来，当时，或，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6．（2024·上海徐汇·一模）已知为空间中两条不同的直线，为两个不同的平面，若，则是的 条件.（填：“充分非必要”､“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充要 【详解】充分性：因为， 所以共面， 又因为为两个不同的平面，， 所以， 所以，故充分性成立； 必要性：因为，所以， 又因为，所以，故必要性成立， 所以是的充要条件. 故答案为：充要. 7．（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 8．（2024·浙江·二模）称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（    ） A．1976 B．1977 C． D． 【答案】B 【详解】一方面：由题意，，使得不等式恒成立， 注意到 ， 等号成立当且仅当，即， 所以正整数应该满足， 另一方面：当时， 我们证明：成立， 证明过程如下： 注意到， 所以， ，记，则，， ， 即成立， 综合以上两方面，可知正整数的最小值是1977. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于用必要性求得参数范围后，一定要检验充分性是否成立，由此即可顺利得解. 二、多选题 9．（2024·广西·模拟预测）已知集合.若，且，则集合可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，所以，所以集合． 对于A选项，，，所以A错误； 对于B选项，，，所以B正确； 对于C选项，不等式的解为，则，，所以C正确； 对于D选项，不等式等价于，解得，则，，所以D错误； 故选：BC． 10．（2024·山东临沂·二模）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，当时，满足，但不满足， 所以是的不充分条件，是的不必要条件，故A错误； 对于B，当时，满足，但不满足， 所以是的不充分条件； 当时，， 所以，所以， 所以是的充分条件，是的必要条件，故B正确； 对于C，当时，满足，但不满足， 所以是的不充分条件； 当时，，所以， 所以是的充分条件，是的必要条件，故C正确； 对于D，当时，满足时，但即不满足， 所以是的不充分条件，是的不必要条件，故D错误； 故选：BC. 11．（2024·江西·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．， B．当时， C．当时， D．，使得 【答案】AB 【详解】对于选项A：因为表示过定点，且斜率不为0的直线， 可知表示直线上所有的点， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，， 联立方程，解得，所以，B正确； 对于选项C：当时，则有： 若，则； 若，可知直线与直线平行，且， 可得，解得； 综上所述：或，故C错误； 对于选项D：若，由选项C可知，且，无解，故D错误． 故选：AB． 三、填空题 12．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知，因为，所以， 所以，即． 可得实数a的取值范围是. 故答案为： 13．（2024·甘肃武威·一模）命题“，使成立”的否定命题是 . 【答案】“，” 【详解】命题“，使成立”的否定命题是“，” 故答案为：， 14．（2024·福建福州·模拟预测）设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆． 若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 ，最大值等于 ． 【答案】 0 1012 【详解】由题意：取，， 因为：，，，， 所以，则为最小值； 取，， 为最大值. 故答案为：0；1012 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 4．（2024·全国·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 6．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 8．（2024·广东江苏·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 9．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 10．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 11．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$