专题6.3 线面的向量表示及线面关系的判定（六个重难点突破）-2024-2025学年高二数学下学期重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第二册）

专题6.3 线面的向量表示及线面关系的判定 一、直线的方向向量 四、利用法向量研究平行问题 二、异面直线所成的角 五、利用法向量研究垂直问题 三、平面法向量的概念及求解 六、平行、垂直的探索性问题 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: （1）直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. （2）待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点3 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 重难点一、直线的方向向量 1．已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 2．已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则 . 【答案】6 【详解】因为，所以∥，故存在实数使得， 则，解得，， 所以. 故答案为：6. 3．已知向量，分别是直线､的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由题意，即，代入各选项中的值计算，只有C满足． 故选：C. 4．经过点，点的直线的一个方向向量是 . 【答案】(时，均可) 【详解】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可） 5．已知，在直线上，写出直线的一个方向向量为 . 【答案】（答案不唯一，与此向量共线的非零向量均可） 【详解】点，，则， 而点在直线上，所以直线的一个方向向量可以为. 故答案为： 重难点二、异面直线所成的角 6．若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 【答案】/ 【详解】设异面直线与的夹角为，则， . 故答案为： 7．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设正三棱柱的棱长为2，设AC的中点为O，连接， 因为为正三角形，故， 以AC的中点O为原点，为轴，以过点O和平行的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，， 因为，故，则， 故， 因为，所以， 即. （2） 由（1）知，所以，， 所以，， 所以， 由于异面直线所成角的范围为， 所以异面直线PC与所成角的余弦值是. 8．《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】由题意，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由题意，设，则， 所以，，，， 所以，， 所以， 所以，， 设直线与所成角为， 则. 故答案为： 9．已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【详解】因为直线的方向向量为，直线的方向向量为，与的夹角为， 所以，解得 . 故选：C 10．在直三棱柱中，，且，异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 . 【答案】 【详解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则，，，，，， 因为异面直线与所成的角为， 所以，即，解得， 所以该三棱柱的侧面积为. 故答案为： 重难点三、平面法向量的概念及求解 11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点，则， 平面的法向量为，， 所以该平面的方程为. 故选：B 12．已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量 ，点P的坐标满足的方程是 . 【答案】 【详解】由点在平面上，是平面上任意一点，得向量， 由是平面α的一个法向量，得，即， 所以点的坐标满足的方程是. 故答案为：， 13．已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设平面的一个法向量为， ∵， ∴，则， 对比各选项，可知ABD不符合，C符合． 故选：C． 14．（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】， 由为平面的一个法向量，得 得 解得，故AC正确，BD错误. 故选：AC. 15．已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 【答案】或 【详解】设平面的单位法向量为， 因为直线，均平行于平面， 所以有， 由可得： 或， 故平面的单位法向量为或． 故答案为：或． 利用待定系数法求平面法向量的步骤：①设平面的法向量为；②在平面内选取两个不共线向量；③列方程组；④取中一个为非零值(常取)，并解方程，得到平面的一个法向量． 重难点四、利用法向量研究平行问题 16．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【答案】C 【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 17．如图，正方形的棱长为4，G，E分别是，的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ，． 设平面EFG的法向量为， 则，即 令，可得．设 ，则． 因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以平面EFG，则， 所以，即． ， 当时，AP取得最小值，最小值为． 故选：D 18．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 19．如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，，，． 设点C的坐标为，则． 因为， 所以， 所以Q． 因为M为的中点，所以． 因为P为的中点，所以P， 所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面． 20．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 设分别是直线l1,l2的方向向量，设分别是平面的法向量 ①使得 ② ③使得 重难点五、利用法向量研究垂直问题 21．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 22．（多选）在正四棱柱中，，为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】BC 【详解】以为原点，以、、所在直线分别为、、轴， 建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，，， ，，，， ，，， ，，， 对于A，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以与不垂直，即与平面不平行，故选项A错误； 对于B，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，则， 所以，又因为平面， 所以平面，故选项B正确； 对于C，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：， 即，所以平面，故选项C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 由得，令，得，， 即，由得：与不平行， 所以与平面不垂直，故选项D错误， 故选：BC. 23．空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 【答案】/1.5 【详解】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 24．如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 25．如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且 ．    (1)证明：； (2)若平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）解法一：设， ∴ ∴ 解法二：连结和交于，    ∵四边形是菱形，∴，． 又∵，，∴，  ∴， ∵，∴． 又，平面，∴平面， ∵平面，∴． （2）∵四边形是菱形，∴，又，平面， ∴平面，     ∵平面， ∴ ∴平面的充要条件是 ∵， ∴ ∵， ∴． 所以的长为1． 设分别是直线l1,l2的方向向量，设分别是平面的法向量 ① ②使得 ② 重难点六、平行、垂直的探索性问题 26．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 27．在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 28．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，使得，理由见解析，. 【详解】（1）由已知不共面，故为一组基底， 由已知， ， 所以， 由已知， 因为为的重心，所以， 所以， ， 所以，，即， 又平面，， 所以平面； （2）因为，， 又为的中点， 所以， 所以， 所以， 所以线段的长为；    （3）设存在点，使得，且，， 则， ， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以存在点，使得，此时. 29．如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】存在 【详解】因为，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又平面,平面, 所以平面，又平面，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 即，所以，所以， 又因为平面,平面, 所以平面， 所以以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， 则，， 设， 所以，， 设平面的法向量为， 则即令，则， 要证平面，则，即，解得， 所以，所以． 故在线段上存在点，使得平面． 30．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【详解】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以，即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为，所以， 由设平面的法向量为， 则， 令，则， 由，设平面的法向量为， 则，令，则可得， 则， 解得，即 为线段的中点，此时. 一、单选题 1．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量. 又因为，所以， 则，解得. 故选：A. 2．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 【答案】B 【详解】因为是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件, 所以点构成的图形是经过点，且以为法向量的平面. 故选：B 3．已知点，平面，且平面的法向量，则下列各点中不在平面内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A, ,A符合， 对于B，,故B符合， 对于C, ,故C不符合， 对于D，,故D符合， 故选：C 4．已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】C 【详解】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 5．在棱长为2的正方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．若该正方体内一动点，满足则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由知，点在四边形内（含边界）， 由知，点在以的中点为球心，2为半径的球面上， 所以点的轨迹为球被四边形截得的圆弧， 取的中点，则， 则， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，则，      在四边形中，点的轨迹为以O为圆心为半径， 落在内的两段圆弧，且，如图， 如图，    取为的中点，则，，， 所以，所以，所以， 所以点的轨迹长度为． 故选：B 6．在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则由得， 可令，得，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：， 又，. 所以， 将代入上式整理得： ， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多选题 7．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【详解】对A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 对B，两个不同的平面，的法向量分别是，， 则，所以，B正确； 对C，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以或，C错误； 对D，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 8．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（    ）    A．存在，使得 B．当时，存在，使得平面 C．当，时，四面体的体积为 D．当时， 【答案】BCD 【详解】对于A，，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A错． 对于B，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对． 对于D，如图建系，，，，  ，，，， ∴，∴，D对．    对于C,时，，时，到平面的距离是到平面距离的.，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C对， 故选：BCD． 三、填空题 9．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【详解】设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为在平面内，则平面，且， ， 故满足条件的一个点的坐标为. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 10．如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为    ①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， 【答案】②③ 【详解】如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.    则，，，，，， ，，， 设点，因为， 所以，即， 解之可得，所以. 当时，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以. 因为， 所以，所以与平面不平行.故①错误； 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确； 因为 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确； 当平面时，点平面， 因为，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 因为， 点平面，所以，所以.故④错误. 故答案为：②③ 11．已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，，则的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 1 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：    则， 所以， 因为， 所以，即， 因为平面，平面, 所以， 所以， 当时，取得最大值为1，当时，取得最小值为， 故答案为：1；. 四、解答题 12．如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则 则-           由     可得，得证. （2）设面的法向量为，因    则，令，可得                因，故得，         又面，所以，面. 13．直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    依题意得，， ∴，，，，， 所以； （2）求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 14．如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，               由题设可得：，，，， ，，， ∴，，,            由， ， 可得，，                  又∵，平面MNC，∴平面； （2）设的长为则，点，进而得，          设平面的法向量为，因， 则，取得，          ∵，且平面， ∴，即 ，      解得，即的长为． 15．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 线面的向量表示及线面关系的判定 一、直线的方向向量 四、利用法向量研究平行问题 二、异面直线所成的角 五、利用法向量研究垂直问题 三、平面法向量的概念及求解 六、平行、垂直的探索性问题 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: （1）直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. （2）待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点3 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 重难点一、直线的方向向量 1．已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则 . 3．已知向量，分别是直线､的方向向量，若，则下列几组解中可能正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．经过点，点的直线的一个方向向量是 . 5．已知，在直线上，写出直线的一个方向向量为 . 重难点二、异面直线所成的角 6．若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 ． 7．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与所成角的余弦值． 8．《九章算术》中将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 9．已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则m等于（ ） A．1 B． C． D．0 10．在直三棱柱中，，且，异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 . 重难点三、平面法向量的概念及求解 11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量 ，点P的坐标满足的方程是 . 13．已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 15．已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 利用待定系数法求平面法向量的步骤：①设平面的法向量为；②在平面内选取两个不共线向量；③列方程组；④取中一个为非零值(常取)，并解方程，得到平面的一个法向量． 重难点四、利用法向量研究平行问题 16．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 17．如图，正方形的棱长为4，G，E分别是，的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    19．如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 20．如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 设分别是直线l1,l2的方向向量，设分别是平面的法向量 ①使得 ② ③使得 重难点五、利用法向量研究垂直问题 21．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 22．（多选）在正四棱柱中，，为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 23．空间中，其中，且平面ABC，则的值为 ． 24．如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 25．如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且 ．    (1)证明：； (2)若平面，求的长． 设分别是直线l1,l2的方向向量，设分别是平面的法向量 ① ②使得 ② 重难点六、平行、垂直的探索性问题 26．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 27．在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 28．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 29．如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 30．在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A．2 B． C． D． 2．设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（   ） A．圆 B．平面 C．直线 D．线段 3．已知点，平面，且平面的法向量，则下列各点中不在平面内的是（   ） A． B． C． D． 4．已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 5．在棱长为2的正方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．若该正方体内一动点，满足则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 6．在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 8．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（    ）    A．存在，使得 B．当时，存在，使得平面 C．当，时，四面体的体积为 D．当时， 三、填空题 9．在空间直角坐标系中，已知点、、，若点在平面内，则一个符合题意的点的坐标为 ． 10．如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为    ①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， 11．已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，，则的最大值为 ；最小值为 ． 四、解答题 12．如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：面； 13．直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 14．如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． (1)若是的中点，求证：平面； (2)若平面，求的长． 15．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$