专题6.2 空间向量的坐标表示（九个重难点突破）-2024-2025学年高二数学下学期重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第二册）

专题6.2 空间向量的坐标表示 一、空间向量基本定理及辨析 六、空间向量的夹角 二、空间向量基本定理及其应用 七、空间向量的投影 三、空间向量的坐标表示 八、空间向量的平行、垂直与锐钝角问题 四、空间向量的坐标运算 九、最值范围问题 五、空间向量的模长 知识点1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点2 空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 知识点3 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点4 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点5 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 重难点一、空间向量基本定理及辨析 1．（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解:对于A选项， ∵， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底； 对于B选项，设 ， ∴，此时无解, 则三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于C选项， 设， ∴,,,此时无解， ∴三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于D选项， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底, 故选：AD. 2．已知为空间不共面的四点，且向量，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为，， 两式相减得 所以与共面， 所以,不能构成空间的一个基底； 假设,不能构成空间的一个基底，则， 即， 整理得， 所以，该不等式无解，所以不存在使得， 故,能构成空间的一个基底； 同理，假设假设,不能构成空间的一个基底，则， 即， 整理得， 所以，该不等式无解，所以不存在使得， 故,能构成空间的一个基底； 故选：C. 3．（多选）下列命题中是真命题的是（    ） ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABCD 【详解】对于①，是空间的一个基底，则不共面，当时，不共面， 由与共线，，则不共面，也可作为空间的一个基底，①正确； 对于②，在空间，任意两个向量都共面，向量，则与任何向量都共面， 因此与任何向量都不能构成空间的一个基底，②正确； 对于③，由，，不能构成空间的一个基底，得，，共面， 而它们有公共点，因此A，B，M，N共面，③正确； 对于④，是空间的一个基底，则不共面，假定共面， 则存在实数对使得，而，则， 即，因此共面，与不共面矛盾，则不共面，④正确， 所以①②③④均为真命题. 故选：ABCD 4．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】向量是不共面的三个向量， 对于A，，则向量共面，A不能构成空间基底； 对于B，，则向量共面，B不能构成空间基底； 对于D，，则向量共面，D不能构成空间基底； 对于C，假定向量共面，则存在不全为0的实数， 使得， 整理得，而向量不共面， 则有，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，C能构成空间基底. 故选：C 5．若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【详解】因为是空间的一个基底，可知均不为零向量， 若不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 可得，解得. 故选：A. 判断三个向量能否作为基底的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． （2）方法：假设，运用空间向量基本定理建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 重难点二、空间向量基本定理及其应用 6．在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由题 又由题，故. 故选：C. 7．如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以. 故选：A. 8．如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 9．已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 10．如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是 ． 【答案】 【详解】，且的长为3，， 故，，， 由于， 所以 ． 故答案为：. 空间向量基本定理的应用思路：用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘等运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部可以用基向量表示为止． 重难点三、空间向量的坐标表示 11．已知点，则下列各点与点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，可得， , 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，解得，即四点共面，故A错误； 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，解得，即四点共面，故B错误； 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，解得，即四点共面，故C错误； 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，此方程组无解，即四点不共面，故D正确. 故选：D 12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 . 【答案】 【详解】因为，所以向量的坐标为. 因为， 所以向量的坐标为. 因为，所以向量的坐标为. 故答案为：；； 【点睛】本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题. 13．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．    （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析. 【详解】（1）由于为坐标原点，所以 由得： 点N是AB的中点，点M是的中点，； （2）由两点距离公式得：， ； （3）直线与直线不垂直 理由：由（1）中各点坐标得： 与不垂直，所以直线与直线不垂直 【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标表示，求空间中两点间的距离，数量积的应用，属于中档题. 14．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 15．空间内四点，，，可以构成正四面体，则 . 【答案】 【详解】由已知正四面体的棱长为1，所以的竖坐标为正四面体的高，的外接圆半径为， 所以正四面体的高为， 而横坐标，纵坐标即底面三角形的重心坐标，，， 所以， 故答案为：. 用坐标表示空间向量的步骤：①观察图形特征寻找两两垂直的三条直线；②根据图形特征建立空间直角坐标系；③用基底表示向量；④确定向量的坐标 重难点四、空间向量的坐标运算 16．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 . 【答案】 【详解】∵，∴ ∴， ∴， 即点C的坐标为 故答案为：. 17．已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】∵，，，∴， ∴， ∴可以构成空间的单位正交基底， 设，则， ∵从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底， ∴与中的任意两个向量均不共面， 根据平面向量基本定理可得均不为零， ∴向量的坐标可以为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 18．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，， ∴，， ∴． 故选：C. 19．已知，，，，用表示． 【答案】 【详解】由题意得不共面． 设， 即， 所以,解此方程组得, 所以． 20．，若三向量共面，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于，，，若三向量共面， 故，整理得， 故，解得． 故选：B． 进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算． 重难点五、空间向量的模长 21．若空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 22．已知向量，则 . 【答案】3或 【详解】， 所以，解得或， 故答案为：3或 23．设，且，则 ． 【答案】3 【详解】依题意，由，得，解得，由，得， 解得，即，， 所以. 故答案为：3 24．已知，则在方向上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 25．如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求的长度.    【答案】 【详解】法一：设点在轴、轴、轴上的射影分别为， 它们在坐标轴上的坐标分别为，所以点的坐标是. 所以，即的长度的为.      法二：设的单位向量分别为，则为空间的一个基底， . 所以点的坐标是， 所以，即的长度的为. 利用坐标运算求长度的步骤：①建立适当的空间直角坐标系；②求出线段端点的坐标； ③利用两点间的距离公式求出线段的长度． 重难点六、空间向量的夹角 26．设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 27．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角都等于， ， 易知， 又， 又为单位向量，所以， 联立，得或， 又， ． 故选：C． 28．（多选）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 【答案】AC 【详解】由题意得，即， 化简得，解得或 故选：AC 29．在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，， 则，，，，，； （2）由题意知，， 故； （3）， 所以. 30．已知空间三点，，，以向量，为一组邻边组成平行四边形， (1)求点坐标； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，，， 由平行四边形法则：，     所以，，，即点坐标为. （2）由题意，，， ，所以， 所以. 利用坐标运算求夹角的步骤：①根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；②利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；③利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 重难点七、空间向量的投影 31．已知向量，，则在上的投影向量的模为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 所以在方向上的投影向量的模为. 故答案为：. 32．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以， 所以，， 所以向量在上的投影向量是， 所以向量在上的投影向量的坐标是， 故选：D. 33．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【详解】由两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 34．已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为 ． 【答案】（答案不唯一，且不全相等均可）． 【详解】由点，可得， 又向量在上的投影向量为， ， 则，即， 又向量与向量不共线，则不成立， 则可令，即， 故答案为：．（答案不唯一，且不全相等均可）． 35．（多选）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（    ）    A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】因为平面，平面，所以 又底面为矩形，所以， 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系    设，则 所以， 则在方向上的投影向量为，故A正确； 又，所以在方向上的投影向量为，故B不正确； 又，， 所以所以在方向上的投影向量为，故C正确； 又，所以在方向上的投影向量为，故D正确． 故选：ACD． 重难点八、空间向量的平行、垂直与锐钝角问题 36．已知，，若//，则λ与μ的值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为//，， 故可设， 又，， 所以， 所以或， 故选：A. 37．设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 38．（多选）已知向量，则下列命题中，正确的是（   ） A．向量与的夹角为 B．以为邻边的平行四边形的面积是 C．若，则之间的夹角为锐角 D．若，则之间的夹角为锐角 【答案】BD 【详解】对于A:， 则， 且，所以，故A错误； 对于B：由A可知：， 所以以为邻边的平行四边形的面积，故B正确； 对于C，若共线，则，解得， 当时，则， 可知反向，其夹角不是锐角，故C错误； 对于D，若，则， 由选项C可知：方向不会相同，故其夹角为锐角，故D正确. 故选：BD. 39．已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设， 则由题意：，，， 则，，， 解得，即． 故答案为： 40．如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为 .    【答案】 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，设， 可得， 因为，即，可得， 则，则，整理可得， 可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分， 所以端点的轨迹长度为. 故答案为：. 重难点九、最值范围问题 41．如图，在圆锥中，是底面圆直径，为的中点，点分别在直线上，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则， 则，令， 可得， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 42．在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 . 【答案】 【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设点、，其中、， 易知、，则，，， 因为、、共面，则存在、，使得， 即，解得，所以，，即， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 43．在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 44．如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 45．棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、， 设，、、，设中点为，中点为，由得，则， 即， 又，同理可得， 即，即， 即，故有， 且，，， ， 故， 由可得， 故，故. 故选：B. 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知点，，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【详解】. 故选：B. 2．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量，，， 则， 因此，. 故选：A. 3．已知向量，，，若，，共面，则x等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【答案】B 【详解】因为共面， 所以存在实数，使， 所以， ∴， 解得. 故选：B. 4．（周测二4)已知，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得； 所以，即可得； 因此在上的投影向量的坐标为. 故选：B 5．已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. 6．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则点，，所以． 因为，，所以, 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以,因为， 所以当时，． 因为正方体中，平面，平面,故， 所以， 故选：B． 二、多选题 7．已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，， 因为，所以，与不共线，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 8．已知在空间直角坐标系中，，，则（ ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．若向量的夹角是锐角，则的取值范围是 D．若向量的夹角是钝角，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】对于A，，，因为， 所以有，整理有， ，所以存在，使得，故A正确； 对于B，，因为，即， 整理有，，， 所以不存在，使得，故B错误； 对于C，，，向量，的夹角是锐角， 则且，不共线， 又， 整理有且 ，因为，，所以，即，解得； 若，即，解得， 所以若，，综上所述，若向量的夹角是锐角， 则的取值范围是：，故C错误； 对于D，若向量的夹角是钝角，则且，不共线， 即且 ，根据C中结果，有且， 所以若向量的夹角是钝角，则的取值范围是，故D正确. 故选：AD 三、填空题 9．已知向量，若共面，则 ． 【答案】3 【详解】因为， 三个向量共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，所以，解得． 故答案为： 10．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 11．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当 时，的长最小. 【答案】 【详解】因为面面，又面面， ，面， 所以面，又， 如图，以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则， 又，则，得到， 同理可得， 所以， 又，所以当时，的长最小，最小值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：立体几何中的距离问题，一般的思路是建立空间直角坐标系，利用向量法来求解. 四、解答题 12．已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； （2）因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 13．已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为，所以， 即，解得； （2）因为向量，所以， 所以， 所以当时，取得最小值为. 14．在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)的面积为. 【详解】（1）设点，因为，则， 所以，，解得，即点， 所以，故. （2），， 所以，， 所以，则为锐角， 所以， 因此. 所以的面积为. 15．设O为坐标原点，向量，，，点在直线上运动，求取得最小值时点Q的坐标． 【答案】 【详解】设， ∵点在直线上运动，∴， 设，则， ∴， ， ∴ ， 故当时，取最小值，此时 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 空间向量的坐标表示 一、空间向量基本定理及辨析 六、空间向量的夹角 二、空间向量基本定理及其应用 七、空间向量的投影 三、空间向量的坐标表示 八、空间向量的平行、垂直与锐钝角问题 四、空间向量的坐标运算 九、最值范围问题 五、空间向量的模长 知识点1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点2 空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 知识点3 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 知识点4 空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 知识点5 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设． （1）； （2）； （3）若则 重难点一、空间向量基本定理及辨析 1．（多选）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．已知为空间不共面的四点，且向量，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（　　） A． B． C． D．或 3．（多选）下列命题中是真命题的是（    ） ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底；②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底． A．① B．② C．③ D．④ 4．已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D．-2 判断三个向量能否作为基底的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． （2）方法：假设，运用空间向量基本定理建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 重难点二、空间向量基本定理及其应用 6．在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 7．如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 8．如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 9．已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是 ． 空间向量基本定理的应用思路：用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘等运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部可以用基向量表示为止． 重难点三、空间向量的坐标表示 11．已知点，则下列各点与点不共面的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为 ，向量的坐标为 ，向量的坐标为 . 13．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．    （1）写出点的坐标； （2）求线段的长度； （3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由． 14．在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 15．空间内四点，，，可以构成正四面体，则 . 用坐标表示空间向量的步骤：①观察图形特征寻找两两垂直的三条直线；②根据图形特征建立空间直角坐标系；③用基底表示向量；④确定向量的坐标 重难点四、空间向量的坐标运算 16．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 . 17．已知均为空间向量，其中，，，若从这4个向量中任取3个向量，均能构成空间中的一组基底，则向量的坐标可以为 ． 18．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 19．已知，，，，用表示． 20．，若三向量共面，则实数等于（   ） A． B． C． D． 进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算． 重难点五、空间向量的模长 21．若空间向量，则（    ） A． B． C． D． 22．已知向量，则 . 23．设，且，则 ． 24．已知，则在方向上的投影向量的坐标为 . 25．如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求的长度.    利用坐标运算求长度的步骤：①建立适当的空间直角坐标系；②求出线段端点的坐标； ③利用两点间的距离公式求出线段的长度． 重难点六、空间向量的夹角 26．设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 27．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 28．（多选）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 29．在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 30．已知空间三点，，，以向量，为一组邻边组成平行四边形， (1)求点坐标； (2)求平行四边形的面积. 利用坐标运算求夹角的步骤：①根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；②利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；③利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 重难点七、空间向量的投影 31．已知向量，，则在上的投影向量的模为 . 32．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 33．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 34．已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为 ． 35．（多选）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则（    ）    A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 重难点八、空间向量的平行、垂直与锐钝角问题 36．已知，，若//，则λ与μ的值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 37．设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 38．（多选）已知向量，则下列命题中，正确的是（   ） A．向量与的夹角为 B．以为邻边的平行四边形的面积是 C．若，则之间的夹角为锐角 D．若，则之间的夹角为锐角 39．已知在直三棱柱中，，，，是的中点，若，则 ． 40．如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为 .    重难点九、最值范围问题 41．如图，在圆锥中，是底面圆直径，为的中点，点分别在直线上，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 . 43．在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 45．棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知点，，则（    ） A． B． C．4 D．6 2．已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，若，，共面，则x等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 4．（周测二4)已知，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知在空间直角坐标系中，，，则（ ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．若向量的夹角是锐角，则的取值范围是 D．若向量的夹角是钝角，则的取值范围是 三、填空题 9．已知向量，若共面，则 ． 10．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 11．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当 时，的长最小. 四、解答题 12．已知空间三点，，． (1)若向量与互相垂直，求实数的值； (2)求以，为邻边的平行四边形的面积． 13．已知向量. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 14．在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 15．设O为坐标原点，向量，，，点在直线上运动，求取得最小值时点Q的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$