专题6.1 空间向量及其运算（九个重难点突破）-2024-2025学年高二数学下学期重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第二册）

专题6.1 空间向量及其运算 一、空间向量的基本概念 六、利用空间向量求长度 二、空间向量的加减数乘运算 七、投影向量 三、空间向量共线问题 八、共面问题 四、向量的数量积 九、最值范围问题 五、利用空间向量求夹角 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点2 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点3　共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点4 空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 知识点5 空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 4．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 重难点一、空间向量的基本概念 1．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 3．（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 4．（多选）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 5．（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 （1）判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向．两者缺一不可，相互制约； （2）两个向量相等，起点和终点未必相同，即起点和终点相同是两个向量相等的充分不必要条件 重难点二、空间向量的加减数乘运算 6．在空间四边形中， ． 7．如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 10．如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) ①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； ②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移方法获得运算结果． 重难点三、空间向量共线问题 11．设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 12．已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 13．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 15．已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值． 共线向量的充要条件：若，则存在唯一实数，使；若存在唯一实数，使，，则 重难点四、向量的数量积 16．关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 17．已知，(其中，，是两两垂直的单位向量)，则与的数量积等于（    ） A． B． C． D． 18．在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝ . 19．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 20．已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. 重难点五、利用空间向量求夹角 21．已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 22．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 23．已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 24．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值. 25．在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． （1）由公式可得,所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模,再代入公式求解. （2）因为异面直线的夹角为不大于的角,所以利用夹角公式求两条异面直线的夹角时,要注意 重难点六、利用空间向量求长度 26．如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（    ） A．9 B．7 C．3 D． 27．如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 28．在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 29．如图，二面角等于，，是棱上两点，，，且，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 30．如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算 重难点七、投影向量 31．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 32．在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 33．（多选）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 34．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 35．如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点．试确定向量在直线上的投影向量，并求． 重难点八、共面问题 36．已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 37．在四面体中，空间的一个点M满足，若，，，四点共面，则 ． 38．已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 39．如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 40．已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为 ． 利用向量方法证明四点共面的基本途径 ： 对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）. （2）对空间任意一点. （3）对空间任意一点. 重难点九、最值范围问题 41．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 42．已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 43．已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 44．已知正四面体的所有棱长都为3，为空间中某一点，且，点在棱上(含端点)运动，则线段长度的取值范围为 ； 45．已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 2．已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 3．空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 4．如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（   ） A． B． C． D． 5．已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 6．正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．在正方体中，下列结论中正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 三、填空题 9．在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 10．如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 11．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为 . 四、解答题 12．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 13．已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 14．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 15．在正四棱台中，. (1)若，四棱台的体积为，求该四棱台的高； (2)若，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 空间向量及其运算 一、空间向量的基本概念 六、利用空间向量求长度 二、空间向量的加减数乘运算 七、投影向量 三、空间向量共线问题 八、共面问题 四、向量的数量积 九、最值范围问题 五、利用空间向量求夹角 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点2 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点3　共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点4 空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 知识点5 空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 4．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 重难点一、空间向量的基本概念 1．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 2．（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【答案】BC 【详解】对于选项A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量与的方向不一定相同，故A为假命题； 对于B选项，与的方向相同，模也相等，故=，故B为真命题， 对于C选项，向量的相等满足传递性，故C为真命题； 对于D选项，平行向量不一定具有传递性，当时，与不一定平行，故D为假命题； 故选：BC 3．（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 4．（多选）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD.    5．（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 【答案】ABC 【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确； 与相等的向量有共3个，故B正确； 向量的相反向量有共4个，故C正确； 因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误. 故选：ABC. （1）判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向．两者缺一不可，相互制约； （2）两个向量相等，起点和终点未必相同，即起点和终点相同是两个向量相等的充分不必要条件 重难点二、空间向量的加减数乘运算 6．在空间四边形中， ． 【答案】 【详解】由题意得，. 故答案为：. 7．如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是边的中点，则，. 故选：B 8．（多选）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】在中，因为，所以，故，即. ， 故选：BD.    9．（多选）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ） A．； B．； C．； D．． 【答案】ABCD 【详解】对于A,； 对于B，； 对于C,； 对于D,． 故选：ABCD. 10．如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）； （3）. ①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； ②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移方法获得运算结果． 重难点三、空间向量共线问题 11．设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 【答案】 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 12．已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 13．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 14．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是 ．（填“平行”“相等”或“相反”） 【答案】平行 【详解】解：如图所示： 设G是AC的中点，连接EG，FG， 则， 所以， 从而∥． 故答案为：平行 15．已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值． 【答案】 【详解】因为、、共线，则存在使得，即， 所以，， 又因为，则. 共线向量的充要条件：若，则存在唯一实数，使；若存在唯一实数，使，，则 重难点四、向量的数量积 16．关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 17．已知，(其中，，是两两垂直的单位向量)，则与的数量积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意 . 故选：A. 18．在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝ . 【答案】8. 【详解】如图所示： ＝＝8. 故答案为：8. 19．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 20．已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形,将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角. 重难点五、利用空间向量求夹角 21．已知平行六面体中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图： ， ， . 故选：B. 22．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【详解】 设，注意到， 所以，所以. 故选：D. 23．已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 所以， . 故选：B. 24．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值. 【答案】 【详解】设，，， 由已知可得. 因为， ， 所以，， ， ， 所以，， 所以，， 故与所成角的余弦值为. 25．在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴. 故选：D. （1）由公式可得,所以求两个向量的夹角可以先求解数量积及向量的模,再代入公式求解. （2）因为异面直线的夹角为不大于的角,所以利用夹角公式求两条异面直线的夹角时,要注意 重难点六、利用空间向量求长度 26．如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（    ） A．9 B．7 C．3 D． 【答案】D 【详解】（1）由题意可得， , 故， 故选：D 27．如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】设，由题意得， 则, 设， 则,故. 由得， 得， 所以， 故选：D 28．在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】在正四棱台中，过点向作垂线，垂足为点， 则，所以， . 故选：A 29．如图，二面角等于，，是棱上两点，，，且，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，得， 又因为， 所以 ， 所以，即. 故选：D. 30．如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算 重难点七、投影向量 31．已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 32．在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 33．（多选）已知几何体为长方体，则（    ） A．在方向上的投影向量为 B．在方向上的投影向量为 C．在方向上的投影向量为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 34．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D. 连接，，，则，在上的投影向量是. 设上底面的半径为r，则，. 故在上的投影向量是. 故选：C    35．如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点．试确定向量在直线上的投影向量，并求． 【答案】，1 【详解】在正方体中，，且， 因此，即为在直线上的投影向量， 所以． 重难点八、共面问题 36．已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 37．在四面体中，空间的一个点M满足，若，，，四点共面，则 ． 【答案】 【详解】因为，，，四点共面，， 所以， 解得. 故答案为：. 38．已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 【答案】 【详解】由题知， 即 又，，，四点共面， 所以，解得. 故答案为：. 39．如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【答案】/ 【详解】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. 40．已知空间5个点A，B，C，D，P，且A，B，C，D共面，若且，，则的最小值为 ． 【答案】12 【详解】已知，，，四点共面， 若满足，且，， 则根据空间共面向量定理推论可知：，即：. 由于，，则， 当且仅当，即，时等号成立. 因此的最小值为. 故答案为： 利用向量方法证明四点共面的基本途径 ： 对空间任意四点，可通过证明下列结论来证明四点共面： （1）. （2）对空间任意一点. （3）对空间任意一点. 重难点九、最值范围问题 41．已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 【答案】4 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 42．已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 【答案】144 【详解】因为， 又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点， 则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立， 且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立， 可得，所以的最大值144. 故答案为：144. 43．已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：D. 44．已知正四面体的所有棱长都为3，为空间中某一点，且，点在棱上(含端点)运动，则线段长度的取值范围为 ； 【答案】 【详解】由可知在以为球心，半径为1的球面上运动， 由于，故， 由于点在棱上(含端点)运动，故，即, 因此，， 当方向相反时，且最大时，此时最小，故， 当方向相同时，且最小时，, 故，即， 故答案为：. 45．已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设中点为，连接，设中点为，连接，，， 则， ， 当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：. 一、单选题 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 故选：C． 2．已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 3．空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】，故 所以. 故选：D． 4．如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合中元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面，平面，平面均与直线垂直， 所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同， 且互不相等，故共有个不同的值． 故选：A 5．已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： ， ． 故选：B． 6．正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意等于正方体的体对角线长， 设点为球心，即点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 7．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 8．在正方体中，下列结论中正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】AC 【详解】A选项：由正方体可知平面，所以，所以四边形为矩形，，A选项正确； B选项：由正方体可知，所以与的夹角即为与的夹角，又，所以，所以与的夹角为，B选项错误； C选项：由设正方体的棱长为，则，，所以成立，C选项正确； D选项：由已知得，，则，D选项错误； 故选：AC. 三、填空题 9．在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【答案】 【详解】在四面体中，因为四点共面，， 所以，解得. 故答案为： 10．如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 【答案】 【详解】在平行六面体中，，，， 由空间向量数量积定义可得， ，同理可得， 因为，， 所以，. 故答案为：. 11．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为 . 【答案】 【详解】因为， 所以 ， 则，    故答案为： 四、解答题 12．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 【答案】(1)，图示见解析； (2)，图示见解析. 【详解】（1）， 设P是线段的中点， 则， 向量如图所示. （2）， 设Q是线段的中点， 则， 向量如图所示. 13．已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，E，F分别是，的中点， 则. （2）. （3）. 14．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 15．在正四棱台中，. (1)若，四棱台的体积为，求该四棱台的高； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设该正四棱台的高为，则， 解得. （2）在正四棱台中，底面与底面均为正方形，且对应边互相平行， 所以，， 过作，垂足为，易得，所以， 所以. 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$