专题9.3 向量的数量积运算（九个重难点突破）-2024-2025学年高一数学下学期重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题9.3 向量的数量积运算 一、数量积的定义及运算 六、向量的垂直应用 二、数量积运算与线性运算 七、求向量的夹角 三、求向量的模 八、利用数量积求多边形形状 四、已知模求其他 九、取值范围最值问题 五、投影向量 知识点1向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点2向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点3向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 知识点4向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 知识点5数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 重难点一、数量积的定义及运算 1．（多选）下面给出的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设向量，的长度分别为4和3，夹角为，则的值为 ． 3．已知等边△ABC的边长为2，则（    ） A．2 B． C． D． 4．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 5．已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 重难点二、数量积运算与线性运算 6．在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 7．已知矩形中，为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 8．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 9．如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 10．若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 重难点三、求向量的模 11．已知向量满足，且，则（   ） A． B．2 C．10 D． 12．已知的夹角为，是的中点，则 ． 13．（多选）已知平面向量均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 14．已知，，，，，则 . 15．如图，中，，，点D，E分别在边AC，BC上，且，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为 . 求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 重难点四、已知模求其他 16．已知向量满足，则向量与的夹角为 . 17．（多选）已知平面向量，，则的可能值为（    ） A．3 B．4 C． D． 18．已知，为平面的单位向量，且其夹角为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．已知向量、是两个非零向量，且，则与的 夹角为 ． 20．已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 重难点五、投影向量 21．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 22．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 23．已知，都为单位向量，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．3 24．已知，若与的夹角为60°，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 25．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则 ． 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 重难点六、向量的垂直应用 26．已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 27．已知平面向量满足，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 28．已知平面向量满足，且，则________ 29．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 30．已知向量和满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 若，则 重难点七、求向量的夹角 31．已知平面向量满足，则 . 32．已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 33．已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 34．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 35．已知，与的夹角为 (1)求与的值； (2)若与的夹角为钝角，求x的取值范围. （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 重难点八、利用数量积求多边形形状 36．在中，，．判断的形状，并说明理由. 37．在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 38．已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 39．在中，若，则的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 40．已知满足，则的形状一定是 ． 重难点九、取值范围最值问题 41．如图，在四边形中，为正三角形，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 42．设，为单位向量，则的最大值为 ． 43．已知长方形中，，点为上的动点，则 ；的取值范围是 . 44．如图，已知网格小正方形的边长为1，点是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的取值范围是 . 45．如图，已知等腰中， ，，点P是边上的动点，则的值（ ） A．为定值10 B．为定值6 C．不为定值，有最大值10 D．不为定值，有最小值6 平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 一、单选题 1．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知和为非零向量，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．设圆的半径为3，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、多选题 7．设是两个相互垂直的单位向量.若向量，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 三、填空题 9．若两个单位向量，满足，则 ． 10．已知平面向量，的夹角为，若，，则的值为 ． 11．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 四、解答题 12．已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 13．已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 14．已知两个不共线的向量的夹角为，且为正实数 (1)若与垂直，求； (2)若，求的最小值，并证明此时与垂直. 15．如图，在中，已知，是中点，是上靠近的三等分点，相交于点.    (1)，求的值； (2)求的余弦值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.3 向量的数量积运算 一、数量积的定义及运算 六、向量的垂直应用 二、数量积运算与线性运算 七、求向量的夹角 三、求向量的模 八、利用数量积求多边形形状 四、已知模求其他 九、取值范围最值问题 五、投影向量 知识点1向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 知识点2向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点3向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 知识点4向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 知识点5数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 重难点一、数量积的定义及运算 1．（多选）下面给出的关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对：由可得，而，故A说法正确； 对B：取，则成立，但不一定成立，故B说法错误； 对C：表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以不一定成立，故C说法错误； 对D：因为，故，故D说法正确. 故选：AD. 2．设向量，的长度分别为4和3，夹角为，则的值为 ． 【答案】6 【详解】由向量数量积的定义可知，. 故答案为：6 3．已知等边△ABC的边长为2，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量，的夹角为，所以， 故选：B. 4．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图形可知：，，， . 故选：A. 5．已知向量和的夹角为，且，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【详解】因为向量和的夹角为，且， 则. 故选：D. 向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 重难点二、数量积运算与线性运算 6．在边长为3的等边三角形中，，则（    ） A． B． C． D．- 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以 . 故选：C. 7．已知矩形中，为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】. 故选：C. 8．已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 9．如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】因为，， 故， 由于在上，所以，故， 则， 又，，， 所以， 则 . 故选：B. 10．若向量满足，若，间的夹角为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，且，间的夹角为， ∴. 故选：C. 重难点三、求向量的模 11．已知向量满足，且，则（   ） A． B．2 C．10 D． 【答案】A 【详解】因，且，则， 故. 故选：A. 12．已知的夹角为，是的中点，则 ． 【答案】 【详解】， 所以， 则. 故答案为： 13．（多选）已知平面向量均为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【详解】因为平面向量均为单位向量，所以， 又，即， 即，所以，即，故A错误； 因为， 所以，故B正确； 又，则， 且， 所以，故C正确； 在上的投影向量为 ，故D正确； 故选：BCD 14．已知，，，，，则 . 【答案】 【详解】因为，，，，， 所以 . 故答案为：. 15．如图，中，，，点D，E分别在边AC，BC上，且，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为 . 【答案】 【详解】由题意可知：，则， 因为点M是AB的中点，点N是DE的中点， 则， 两式相加可得， 则， 即，所以. 故答案为：. 求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 重难点四、已知模求其他 16．已知向量满足，则向量与的夹角为 . 【答案】 【详解】∵，∴， 由得，，∴， ∴，∴， 由得，，即向量与的夹角为. 故答案为：. 17．（多选）已知平面向量，，则的可能值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】AB 【详解】因为，，所以； 设，作出简图， 易知，由图可知，当直线经过点时，有最大值6； 当直线经过点时，有最小值； 所以. 故选：AB. 18．已知，为平面的单位向量，且其夹角为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在等式两边平方得，， 所以， 得，当时，满足题意， 故选：B 19．已知向量、是两个非零向量，且，则与的 夹角为 ． 【答案】/ 【详解】设与的 夹角为， 设，所以， 则， 即， 即，又因为， 所以，即与的 夹角为. 故答案为：. 20．已知，向量，若，则实数（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】D 【详解】由 可得 ，因为，所以. 故选：D 重难点五、投影向量 21．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】向量在向量上的投影向量为， ，解得. 故选：A. 22．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题在上的投影向量为. 故选：C. 23．已知，都为单位向量，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意可知：， 因为在上的投影向量为，可得， 又因为，所以. 故选：B. 24．已知，若与的夹角为60°，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，与夹角为， 可得， 则在上的投影向量为 . 故选：C. 25．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则 ． 【答案】 【详解】由题意可知，，即， 所以. 故答案为： 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 重难点六、向量的垂直应用 26．已知平面向量、满足，，与的夹角为． (1)求； (2)当实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，与的夹角为． 所以， 所以. （2）因为， 所以， 化为，解得. 27．已知平面向量满足，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 28．已知平面向量满足，且，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】依题意，由，得，则， 所以. 故选：B 29．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以 ， 所以， 故选：. 30．已知向量和满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】因为，则，即， 又因为，则， 可得，即. 故选：D. 若，则 重难点七、求向量的夹角 31．已知平面向量满足，则 . 【答案】/ 【详解】由可得，根据可得， 故， 由于，故， 故答案为： 32．已知向量，满足，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两边平方可得，即. 因为，所以；，所以. 那么. 又因为，所以，解得. 根据公式，可得，解得. 故选：A. 33．已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 故选：D． 34．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知，两边平方后得， 并且，. 因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为. 故选：A. 35．已知，与的夹角为 (1)求与的值； (2)若与的夹角为钝角，求x的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为与的夹角为，所以, , . （2）因为与的夹角为钝角， 所以， 即，又当时，与反向， 所以若与的夹角为钝角，的取值范围是． （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 重难点八、利用数量积求多边形形状 36．在中，，．判断的形状，并说明理由. 【答案】为正三角形，理由见解析 【详解】为正三角形，理由如下： 因为，， 所以，又， 所以，即，又， 所以，故为正三角形. 37．在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【详解】四边形中，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以，即，所以平行四边形为矩形. 故选：C 38．已知是非零向量且满足，，则的形状为（    ） A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】是非零向量且满足，， ，， 即，， ， ，且，又， 所以， ∴是等边三角形. 故选：B． 39．在中，若，则的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【详解】由得，，即， 因为，所以为钝角， 所以的形状一定是钝角三角形， 故选：D． 40．已知满足，则的形状一定是 ． 【答案】直角三角形. 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角三角形. 重难点九、取值范围最值问题 41．如图，在四边形中，为正三角形，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由图知，，则 ， 因故当与同向时，的最大值为1， 故的最大值为. 故选：B. 42．设，为单位向量，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】， 当向量同向时，的最大值为3. 故答案为：3 43．已知长方形中，，点为上的动点，则 ；的取值范围是 . 【答案】 4 【详解】 ①由已知长方形，，可得， ②因为点为上的动点，可设，，则， 所以 ， 因为，所以， 故的取值范围是. 故答案为：①；②. 44．如图，已知网格小正方形的边长为1，点是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】， 即的等于与在方向上的投影的乘积， ，结合图形可知， 所以的取值范围为. 故答案为：. 45．如图，已知等腰中， ，，点P是边上的动点，则的值（ ） A．为定值10 B．为定值6 C．不为定值，有最大值10 D．不为定值，有最小值6 【答案】A 【详解】记的中点为，由题可知，，,， 所以. 故选：A 平面向量求最值范围的常用方法： 1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题 2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 一、单选题 1．已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，又， ∴， 故选：A． 2．已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因， 又，， 故，解得． 故选:C. 3．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量在向量方向上的投影向量为 故选：B 4．已知和为非零向量，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 即，解得， 又因为、均为非零向量，故，即与的夹角为． 故选：C. 5．是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】因为， 则，所以，， 同理可得，， 所以，是的垂心. 故选：D. 6．设圆的半径为3，其一条弦为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【详解】设为的中点，则，在方向上的投影为， 设为所成角，， 因为， 又，， 因为为圆上任意一点，所以当时，取得最大值， 此时，则的最大值为. 故选：D 二、多选题 7．设是两个相互垂直的单位向量.若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题是两个相互垂直的单位向量，且. 对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，所以不垂直，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，， 所以，故D错误. 故选：AC. 8．如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】AD 【详解】对于A，因为在中，点D为的中点，所以， 所以，所以A正确， 对于B，因为，，，， 所以， 所以，即，所以B错误， 对于C，因为， 所以 ，所以C错误， 对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：AD 三、填空题 9．若两个单位向量，满足，则 ． 【答案】 【详解】由，得， 因为，为单位向量， 所以，则， 故答案为：. 10．已知平面向量，的夹角为，若，，则的值为 ． 【答案】1 【详解】由两边平方得， 即， 即，解得，（舍）. 故答案为：1. 11．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 【答案】1 【详解】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 四、解答题 12．已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 13．已知向量的夹角为． (1)求； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； （2）因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． 14．已知两个不共线的向量的夹角为，且为正实数 (1)若与垂直，求； (2)若，求的最小值，并证明此时与垂直. 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【详解】（1）由与垂直， 得， 解得，所以. （2）当时，， ， 当且仅当时取等号，此时，即与垂直， 所以当时，取得最小值，且与垂直. 15．如图，在中，已知，是中点，是上靠近的三等分点，相交于点.    (1)，求的值； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 则， 且， 则，解得，故. （2）易知， 则， ， ， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$