精品解析：内蒙古包头市第八十一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

包头市第八十一中学高二年级第一学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，向量，若，则实数（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：C. 2. 平行直线与直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行可求得，根据两平行直线的距离公式计算即得. 【详解】由可得，因，故， 则与之间的距离为：. 故选：B. 3. 已知点为直线上任意一点，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 4. 过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 5. 已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由题意可得，，连接，可得，由椭圆的定义求得，最后借助于，推得，即可求得离心率. 【详解】 如图，点分别是椭圆的左、右焦点，与以椭圆的短轴为直径的圆相切于点， 则，，连接， 因，则，且， 又点为椭圆上的一点，则有，故， 在中，，即， 将代入化简得：，解得， 则. 故选：A. 6. 已知动点与两个定点，的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用动点与定点，的距离之比可以得到点的轨迹方程，数形结合即可求解. 【详解】设动点， 动点与两个定点，的距离之比为2， ，化简得， 所以动点的轨迹方程为圆：， 如图，过点作圆的切线，，连接，， 则，，，同理， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：C. 7. 已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 8. 已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆的方程，利用给定条件用m表示圆的半径，并求出半径的取值范围即得. 【详解】依题意，设点，则是方程的两个实根， ，， 显然点，当时，曲线过原点，点与点之一重合，不符合题意，则， 设过三点的圆方程为，由，得， 显然是的两个根，于是， 又，联立解得，又， 因此，而当或时，， 所以过三点的圆的半径的取值范围是，BCD均可能，A不可能. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线方向向量，平面的法向量，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D. 两个不同的平面的法向量分别是，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用向量共线即可判断；对于B，利用向量垂直判断直线与平面的两种位置关系排除；对于C和D，利用空间向量夹角的坐标公式计算结果即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 又是两条不重合直线，故，即A正确； 对于B，因，可得，即或，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，则， 因，故有，故C错误； 对于D，由，可得， 则，故，即D正确. 故选：AD. 10. 已知圆，圆，直线，，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用两圆位置关系判断方法即得；对于B，将直线的方程按照进行整理，通过解方程组即得；对于C，结合图形，利用弦长公式，可知只需使点到直线的距离最大()，利用定点，可求得弦长的最小值为，但由时，可求得，而无解，排除C项；对于D，先求出四边形的外接圆方程，通过两圆方程求出交线即得的方程. 【详解】 对于A，由圆，圆，可得， 因，则圆与圆内含，则A错误； 对于B，由可得， 因，由，解得，即直线过定点，故B正确； 对于C，如图，因弦长，（其中是圆的半径，是点到直线的距离）， 因，要使取最小值，只需最大. 由垂径定理，结合图形可知，当且仅当时，， 此时圆被直线截得的弦长的最小值为， 但此时，直线的斜率为，则， 而由可得，因方程无解， 故取不到最小值，故C错误； 对于D，过点作圆的两条切线，切点分别为，则， 如图，四边形的外接圆的圆心为的中点，圆的半径为， 则该圆的方程为：， 依题可知直线为圆与的公共弦， 由与，两式相减，可得：，故D正确. 故选：BD. 11. 已知分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，则,,利用勾股定理可得，然后通过计算可判断每个选项的正误. 【详解】根据题意，设，则,， 又因为，所以勾股定理得， 得，故或(舍),所以，故选项A正确； 由，，则， 在中，，故选项B正确； 在中，， 整理得，故，选项C正确; 在中，，故选项D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆的半径为2，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】将圆的方程配方后，结合题意列出方程，求解即得. 【详解】由经配方，可得：， 因圆的半径为2，故，解得. 故答案为：1. 13. 已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆的一般方程写出标准方程，进而得到圆心坐标和半径，利用中垂线的性质和椭圆的定义得到该点的轨迹形状，再进一步求出轨迹方程. 【详解】连接、、，则； 将化为， 即，， 所以， 故的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，， 所以，故的轨迹方程为. 故答案为：. 14. 已知，分别是椭圆的左右焦点，P是椭圆C上一点，若线段上有且只有中点Q满足其中O是坐标原点，则椭圆C的离心率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】判断点P为长轴端点的情况，点P不为长轴端点，由椭圆定义结合余弦定理、一元二次方程计算作答. 【详解】令椭圆半焦距为c，有，显然点P不可能是椭圆长轴左端点， 当点P为椭圆长轴的右端点时，即，取，显然点Q在线段上，并满足， 而点Q不一定是线段的中点，因此点P不是椭圆长轴的端点. 在中，不妨设，当Q为中点时，而O是的中点， 则，，， 由，得，由余弦定理得，， 线段上的点Q满足，令，，在中，， 显然，即，解得或， 因线段上有且只有中点Q满足，于是得，即，则， 所以椭圆C的离心率. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率问题，可以求出a，c，代入离心率公式即得；或者根据条件得到关于a，b，c的齐次式，利用方程或不等式求解． 四、解答题：本题5小题，共77分． 15. 已知直线过直线和的交点P． （1）若直线与直线平行，求直线的一般式方程． （2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 【答案】（1）； （2） ． 【解析】 【分析】（1）由平行关系可设l的方程为：，将直线过的点的坐标代入方程可得m，可得直线的方程； （2）由垂直关系可设l的方程为：，将直线过的点的坐标代入方程可得n，可得直线的方程. 小问1详解】 由 解得交点为P（-1，2）， 设直线方程：，将P（-1，2）代入方程，得 ， 所以直线方程为 ． 【小问2详解】 设直线方程为：，将P（-1，2），代入方程，得 ， 所以直线方程为． 16. （1）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． （2）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求的轨迹方程； 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得直线与直线的方程，即可求得圆心坐标，从而可得圆的半径，即可得到圆的标准方程； （2）根据题意，结合两点间距离公式代入计算，即可得到轨迹方程. 【详解】（1）过点的圆与直线相切于点， 两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上； ，中点为， 的垂直平分线方程为； 直线与圆相切于点， 直线与直线垂直，， 直线方程为：，即； 由得：，圆心，半径， 圆的标准方程为． （2）因为点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数， 所以，整理得．即， 则的轨迹方程为； 17. 已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率； （2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点 到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程. 【小问1详解】 因椭圆上、下顶点的坐标分别为、， 依题意，整理得（*）， 因点在椭圆上，则，即， 代入（*），化简得： ，又，所以， 则椭圆的离心率； 【小问2详解】 如图，设、，由（1）已得， 则由，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积，解得， 故椭圆的方程为． 18. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上. （1）若P是的中点，证明：； （2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直； （2）求平面法向量，由二面角的余弦值为和平面，解得P点坐标，可求四面体的体积. 【小问1详解】 以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，其中，， 若P是的中点，则，，， 于是，∴，即. 【小问2详解】 由题设知，，是平面内的两个不共线向量. 设是平面的一个法向量， 则取，得. 又平面一个法向量是， ∴， 而二面角的余弦值为，因此， 解得或（舍去），此时. 设（），而，由此得点，， ∵平面，且平面的一个法向量是， ∴，即，解得，从而. 将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高， 故四面体的体积. 19. 如图1，椭圆的左右焦点分别为，点分别为椭圆与轴负半轴、轴正半轴的交点，且椭圆上的点满足，． （1）求椭圆的标准方程； （2）图2中矩形的四条边分别与椭圆相切，求矩形面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用可以求得点的纵坐标，再将点的坐标代入椭圆的方程，即可求得，再利用求出，从而求出椭圆的方程； (2)先讨论当直线的斜率不存在和等于时两种特殊情况下矩形的面积，再讨论一般情况，数形结合，转化为求二次函数的最值问题即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，得，所以， 因为在椭圆上，则，解得， 因为，解得，所以， 所以椭圆的标准方程． 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，矩形的面积为； ②当直线的斜率为0时，矩形的面积为； ③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 联立方程，消去整理可得， 因为直线与椭圆相切， 所以，解得， 则平行线，的方程为和， 因为为矩形，所以即为平行线，之间的距离， 所以， 同理可得， 所以矩形的面积 ， 令，所以， 又，所以，则， 当，即时，取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，矩形面积的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 包头市第八十一中学高二年级第一学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，向量，若，则实数（ ） A. 3 B. C. D. 6 2. 平行直线与直线的距离是（ ） A B. C. D. 3. 已知点为直线上任意一点，则的最小值是（ ） A 2 B. C. D. 4. 过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知动点与两个定点，距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D. 两个不同的平面的法向量分别是，，则 10. 已知圆，圆，直线，，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 11. 已知分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆的半径为2，则______． 13. 已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为__________． 14. 已知，分别是椭圆的左右焦点，P是椭圆C上一点，若线段上有且只有中点Q满足其中O是坐标原点，则椭圆C的离心率是__________. 四、解答题：本题5小题，共77分． 15. 已知直线过直线和的交点P． （1）若直线与直线平行，求直线的一般式方程． （2）若直线与直线垂直，求直线的一般式方程． 16. （1）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． （2）点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求的轨迹方程； 17. 已知点在椭圆上，与椭圆上，下顶点的连线的斜率之积为． （1）求椭圆的离心率； （2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 18. 如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上. （1）若P是的中点，证明：； （2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 19. 如图1，椭圆的左右焦点分别为，点分别为椭圆与轴负半轴、轴正半轴的交点，且椭圆上的点满足，． （1）求椭圆的标准方程； （2）图2中矩形的四条边分别与椭圆相切，求矩形面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$