精品解析：山西省忻州市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 3．答卷全部在答题卡上完成，签在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，将代入方程可得，解一元一次方程即可得解． 【详解】解：∵1为关于的一元二次方程的根， ∴， ∴， 故选：A． 3. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为， 故选：B． 4. 经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法表示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 【详解】解：解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中恰有一车直行，另一车左拐的结果数为，所以恰有一车直行，另一车左拐的概率为 ， 故选D． 5. 劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，列出方程即可． 【详解】解：第一年的产量为， 第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为， 则列出的方程是． 故选：D． 6. 如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质.先求出，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D 7. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出正比例函数，反比例函数，画出函数图象，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴正比例函数，反比例函数， 画出函数图象如图所示： 由图象可得：不等式的解集为或， 故选：B． 8. 已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最大值为 C. 当时，随的增大而减小 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先利用配方法得到，可根据二次函数的性质进行判断． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，函数的最小值为，抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 若，则， 选项A，B，C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意， 故选：D 9. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积等于 ， 故选：D． 10. 反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【详解】解：A、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故A错误； B、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故B错误； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故C正确； D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故D错误； 故选：C． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 【答案】y2˂ y1˂y3（y3>y1>y2 也可） 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小． 【详解】二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图像开口方向向上，对称轴是x=-2， A(-4，y1) 距对称轴的距离是2，B(-1，y2)距对称轴的距离是1， C(2，y3) 距对称轴的距离是4 所以y2˂ y1˂y3 故答案为：y2˂ y1˂y3 【点睛】此题考查的是二次函数的图像与性质，求出抛物线的对称轴和开口方向是解题关键． 12. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 13. 如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，由的几何意义得出，即有，求出的值即可，理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，连接，取，的中点M，N，连接，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转的性质．连接，在中，利用勾股定理可得，利用矩形性质可知，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出． 【详解】解：连接、， ∵将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，，， 在中，利用勾股定理可得， 为中点， 矩形绕点B顺时针旋转至的位置， ，且， ． 故答案为：． 15. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为16米，水面到运行轨道最低点的距离为4米，则的半径为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接，交于点，根据题意得到，以及，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，交于点，连接 设半径为， 根据题意可得：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）将方程左边进行因式分解，然后解方程即可得出答案； （2）将方程略作整理，然后用直接开平方法解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， 整理，得：， 直接开平方，得：， ，． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出． （2）画出关于点O的中心对称图形． 【答案】（1） 所作图形如图所示； （2） 所作图形如上图所示． 【解析】 【分析】本题考查作图中心对称，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 18. 如图，是圆O的直径，点在圆O上，且平分．过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F． （1）求证：与圆O相切； （2）若，，求圆O的半径． 【答案】（1） 证明∶连接，如图： 平分， ， ， ， ． ， ． 为的半径， 与圆相切； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质得到∶再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）设圆O的半径为r，则利用勾股定理列出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设圆的半径为，则， ， ， 解得∶． 圆的半径是2． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，圆的切线的判定，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题， (1)依据题意，由反比例函数过，从而，可得反比例函数为，又，则，求出后可得，故可得，进而可以得解； (2)依据题意，由一次函数为，从而可令0，则，故可得，再由，进而可以判断得解； 熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，反比例函数过， ， 反比例函数解析式为， 又在反比例函数图象上， ， ， ， 在一次函数的图象上， ，解得，， 一次函数为； 【小问2详解】 解：∵一次函数为， 令，则， ， ， ． 20. 某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_______名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率． 【答案】（1）200 （2） 补全统计图如图： （3）概率为 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，读懂题意并正确求解是解题的关键． （1）用最喜欢羽毛球的人数除以羽毛球在扇形统计图中圆心角占的百分比即可得到答案； （2）用总人数减去已知各部分的人数得到喜欢足球的人数，补全条形统计图即可； （3）根据题意画出树状图，用他俩选择同一项目的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【小问1详解】 此次共调查的学生有：（名）； 【小问2详解】 足球的人数有：（名） 【小问3详解】 设“羽毛球”“篮球”“足球”分别为A、B、C，根据题意画树状图如图： 共有9种等可能的情况，其中他俩选择相同项目的有3种， 则P（他俩选择相同项目）． 21. 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直到木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： 如 （1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】（1） 画图如下： （2）；随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大 【解析】 【分析】（）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出与之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可； （）把代入（）所得函数解析式即可求出，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况； 本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质及其应用，由图象判断出与之间的函数关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得，是的反比例函数，设，把代入得， ， ∴， ∴函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是， ∵，在第一象限内，的值随着的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大． 22. 教材中有这样一道题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：． 小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答． （1）若图1中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时，，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）将图1中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图3所示，若正方形的边长为3，求的长度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用证明，推出，即可得到； （2）利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 在△AED和△BFA中， ∵，，． ∴． ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图， 由题设得， ∴， 由旋转的性质知：，， ∴， ∴． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 23. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 解：因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，则∶ ， 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． 【小问2详解】 ①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ∴， 当时，有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 3．答卷全部在答题卡上完成，签在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. “二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知1为关于的一元二次方程的根，则值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 8. 已知二次函数，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 函数的最大值为 C. 当时，随的增大而减小 D. 若，则 9. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知A(-4，y1)，B(-1，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y=a(x+2)2+c（a>0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为__________． 12. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 13. 如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为______． 14. 如图，将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，连接，取，的中点M，N，连接，若，，则______． 15. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为16米，水面到运行轨道最低点的距离为4米，则的半径为______米． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出． （2）画出关于点O的中心对称图形． 18. 如图，是圆O的直径，点在圆O上，且平分．过点D作的垂线，与的延长线相交于E，与的延长线相交于点F． （1）求证：与圆O相切； （2）若，，求圆O的半径． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 20. 某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_______名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率． 21. 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直到木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： 如 （1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？随着弹簧秤与点的距离不断减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 22. 教材中有这样一道题：如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：． 小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答． （1）若图1中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图2所示，猜想此时，，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）将图1中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图3所示，若正方形的边长为3，求的长度． 23. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $