4.1.1.1 条件概率-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

4.1.1　条件概率 第1课时　条件概率 [学习目标]　1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法． 导语 假设某家庭有两个孩子，只知道其中一个是女孩，另一个不太清楚，那么另一个孩子也是女孩的可能性有多大呢？是50%的概率吗？你能帮助分析一下吗？ 一、条件概率的概念 问题1　已知某班级中，有女生16人，男生14人，而且女生中喜欢长跑的有10人，男生中喜欢长跑的有8人．现从这个班级中随机抽出一名学生： (1)求所抽到的学生喜欢长跑的概率； (2)若已知抽到的是男生，求所抽到的学生喜欢长跑的概率．比较该问题与问题(1)，你有什么发现？ 提示　(1)记“所抽到的学生喜欢长跑”为事件A，样本空间Ω是由班级中所有学生组成的集合，共包含30个样本点；事件A共包含10＋8＝18(个)样本点． 所抽到的学生喜欢长跑的概率为P(A)＝＝. (2)记 “所抽到的学生是男生”为事件B. 样本空间Ω1是由班级中所有男生组成的集合，共包含14个样本点，事件A∩B包含8个样本点． 因此，已知抽到的是男生，所抽到的学生喜欢长跑的概率为＝ . 通过以上两个问题我们发现，在事件B发生的条件下，事件A发生的概率发生变化的原因：样本空间发生变化． 知识梳理 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)． 注意点： 从集合的角度看，若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须既在A中又在B中的样本点，即此点必属于A∩B(如图)．由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间． 例1　下面几种概率是条件概率的是(　　) A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率 答案　B 解析　由条件概率的定义知B为条件概率． 反思感悟　判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的． 跟踪训练1　(多选)下列是条件概率的有(　　) A．某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则高一的女生获得冠军的概率 B．掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率 C．在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，求抽到的是梅花5的概率 D．商场进行抽奖活动，某位顾客中奖的概率 答案　AC 二、利用条件概率公式计算 问题2　在问题1的背景下，思考以下问题： (1)事件B：“所抽到的学生是男生”的概率是多少？ (2)事件A和B同时发生的概率是多少？ (3)在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率是多少？ (4)比较(1)，(2)，(3)中的三个式子，你能猜想出条件概率公式吗？ 提示　(1)P(B)＝＝＝. (2)P(A∩B)＝＝＝. (3)P(A|B)＝＝. (4)P(A|B)＝. 知识梳理 条件概率的计算公式 P(A|B) ＝，P(B)>0. 注意点： P(B|A)和P(A|B)的意义不同． P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率． 例2　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A，事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率； (2)求P(B|A)． 解　由古典概型的概率公式可知， (1)P(A)＝，P(B)＝＝＝， P(A∩B)＝＝. (2)P(B|A)＝＝÷＝. 反思感悟　用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型． (2)计算P(A)，P(A∩B)． (3)代入公式求P(B|A)＝. 跟踪训练2　(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 答案　A 解析　设“一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则根据条件概率公式P(B|A)＝，得所求概率为＝0.8. (2)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是(　　) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 答案　B 解析　设“动物活到20岁”为事件A，“活到25岁”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，由于A∩B＝B， 所以P(A∩B)＝P(B)，所以活到20岁的动物活到25岁的概率是P(B|A)＝＝＝＝0.5. 三、利用缩小样本空间计算 例3　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)＝A＝30. 根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20， 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(A∩B)＝A＝12， 所以P(A∩B)＝＝＝. (3)方法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率 P(B|A)＝＝＝. 方法二　因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 延伸探究　本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 解　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事件C，则“第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目”为事件A∩C. n(A)＝A×A＝20， n(A∩C)＝A×A＝8， ∴P(C|A)＝＝＝. 反思感悟　将原来的事件的样本空间Ω缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为A∩B.而A中仅包含有限个样本点，每个样本点发生的概率相等，从而可以在缩小的概率样本空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(A∩B)的计数是基于缩小的样本空间范围的． 跟踪训练3　抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求： (1)事件A发生的条件下事件B发生的概率； (2)事件B发生的条件下事件A发生的概率． 解　n(A)＝6×2＝12. 由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10， 其中n(A∩B)＝6. 所以(1)P(B|A)＝＝＝. (2)P(A|B)＝＝＝. 1．知识清单： (1)条件概率的概念． (2)条件概率的计算公式：P(B|A)＝＝. 2．方法归纳：缩小样本空间法、转化化归． 3．常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”． 1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　P(B|A)＝＝＝. 2．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在吹东风的条件下下雨的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设事件A表示“该地区四月份下雨”，B表示“四月份吹东风”，则P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，从而在吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)＝＝＝. 3.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　根据条件概率的计算公式可得， P(A|B)＝＝＝. 4．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为0.9，充放电次数达到1 000次的概率为0.36.若某用户的该品牌新能源汽车已经达到了800次的充放电，那么该用户的车充放电次数能够达到1 000次的概率为________． 答案　0.4 解析　设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1 000次”，则P(A)＝0.9，P(A∩B)＝0.36，所以P(B|A)＝＝＝0.4. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是(　　) A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.5 答案　A 解析　设事件A表示“小智第一盘获胜”，则P(A)＝0.5， 设事件B表示“小智第二盘获胜”，则P(A∩B)＝0.4， ∴小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是P(B|A)＝＝＝0.8. 2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是. 3．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A表示“两次的点数均为奇数”，事件B表示“两次的点数之和为4”，则P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知事件A包含的样本点是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个，在事件A发生的条件下，事件B包含的样本点是(1,3)，(3,1)，共2个，所以P(B|A)＝. 4．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于(　　) A.， B.， C.， D.， 答案　C 解析　P(A|B)＝＝＝， P(B|A)＝＝＝. 5．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则P(A|B)等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知， n(B)＝C22＝12， n(A∩B)＝A＝6. ∴P(A|B)＝＝＝. 6．一名刚入伍的士兵带着一把步枪到练习场地打靶，已知此步枪每次只装3发子弹，若命中目标或子弹打完，则停止练习．新兵第一枪命中靶标的概率为0.7，第二枪命中靶标的概率为0.4，第三枪命中靶标的概率为0.3，则在已知靶标被击中的条件下，士兵开第二枪命中的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　记事件A为“士兵第一枪命中靶标”，事件B为“士兵第二枪命中靶标”，事件C为“士兵第三枪命中靶标”，D为“靶标被击中”，则P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.7＋0.3×0.4＋0.3×0.6×0.3＝0.874，又P(B)＝0.3×0.4＝0.12， 所以P(B|D)＝＝＝＝. 7．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件．已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出正品的概率为________． 答案　 解析　设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到正品”为事件B，则P(A)＝，P(A∩B)＝×，所以P(B|A)＝＝. 8．某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用满6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________． 答案　 解析　设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则P(A)＝，P(A∩B)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝. 9．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表． (1)求选到的是第一组的学生的概率； (2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． 解　设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”． (1)由题意，得P(A)＝＝. (2)方法一　要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)． 不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择． 因此，P(A|B)＝. 方法二　P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝， ∴P(A|B)＝＝. 10．坛子里放着5个相同大小、相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求： (1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率； (3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率． 解　设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件A∩B. (1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋的样本空间数为n(Ω)＝A＝20， 又n(A)＝A×A＝12， 则P(A)＝＝＝. (2)因为n(A∩B)＝A＝6， 所以P(A∩B)＝＝＝. (3)由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝＝. 11．端午节这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅，小明随机抽取两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设事件A为“取到的两个粽子为同一种馅”，事件B为“取到的两个粽子都是腊肉馅”，由题意可知P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝. 12．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4×100 m接力比赛，记事件A为“甲同学跑第一棒”，事件B为“乙同学跑第二棒”，则P(B|A)的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　P(A)＝，P(A∩B)＝＝， 故P(B|A)＝＝. 13．7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是________． 答案　 解析　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)＝A，n(A∩B)＝A， P(B|A)＝＝. 14．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则P(B|A)＝________. 答案　 解析　根据题意，事件A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18(个)样本点． ∴事件A发生的概率为P(A)＝＝， 而A，B同时发生，样本点有(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，共6个， ∴事件A，B同时发生的概率为P(A∩B)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝. 15．某社区活动中心打算周末去照看养老院的老人，现有四个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁，和4个需要帮助的养老院可供选择，每个志愿者小组只去一个养老院，设事件A＝“4个志愿小组去的养老院各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个养老院”，则P(A|B)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意P(A)＝，P(A∩B)＝P(A)， P(B)＝， ∴P(A|B)＝＝＝. 16．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为. (1)求白球的个数； (2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率． 解　(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球有x个． 则P(A)＝1－＝， 解得x＝5，即白球的个数为5. (2)令“第2次取得白球”为事件B，“第1次取得黑球”为事件C，则P(B∩C)＝＝＝， P(B)＝＝＝. 故P(C|B)＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$