第1章 习题课 求数列通项公式 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第一章　 数　列 习题课　 求数列通项公式 1.了解求数列通项公式的常见方法. 2.掌握利用递推公式求通项公式的方法. 3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法. 学习目标 导语 斐波那契，意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题：如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233， …，这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系：Fn＝Fn－1＋Fn－2(n>2)，其中Fn表示第n个月的兔子的总对数，那么什么是递推关系呢？ 一、利用递推公式求通项公式 二、利用前n项和Sn与an的关系求通项公式 课时对点练 随堂演练 内容索引 利用递推公式求通项公式 一 问题　如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1)每次只能移动一个金属片； (2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记 为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？ 提示　其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要移动an次； 第二步：把最大的金属片移到3号位，需要移动1次； 第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要移动an次，故an＋1＝2an＋1. 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_________来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式. 注意点： (1)通项公式反映的是an与n之间的关系. (2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项. 一个式子 知识梳理 7 例1　(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，求通项公式； 角度1　累加、累乘法 8 ∵an＋1＝an＋n＋1， ∴an＋1－an＝n＋1， 即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)， 等式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n， 当n＝1时，也满足上式， 9 10 代入上式得(n－1)个等式累乘， 11 累加、累乘法的应用原型 (1)累加法：形如an＋1－an＝f(n)型. 反思感悟 12 跟踪训练1　(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋ ，则通项公式an ＝______. 13 14 (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 因为ln an－ln an－1＝1， ＝ ＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N＋. 15 角度2　构造法 例2　已知数列{an}满足an＋1＝2an＋3×5n，a1＝6，求数列{an}的通项公式. 16 设an＋1＋x×5n＋1＝2(an＋x×5n)， ① 将an＋1＝2an＋3×5n代入①式，得2an＋3×5n＋x×5n＋1＝2an＋2x×5n， 等式两边消去2an，得3×5n＋x×5n＋1＝2x×5n， 两边除以5n，得3＋5x＝2x，则x＝－1， 代入①式得an＋1－5n＋1＝2(an－5n). ② 由a1－51＝6－5＝1≠0及②式得an－5n≠0， 则数列{an－5n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则an－5n＝2n－1，故an＝2n－1＋5n(n∈N＋). 17 构造法的常见类型 (1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列. (2)当出现an＝xan－1＋y或an＋1＝pan＋qn时，构造等比数列. 反思感悟 18 由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2(an＋3)， 则数列{an＋3}是以a1＋3＝5为首项，2为公比的等比数列，∴an＋3＝5×2n－1， ∴an＝5×2n－1－3. 跟踪训练2　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋3，则数列{an}的通项公式为____________. 5×2n－1－3 19 利用前n项和Sn与an的关系求通项公式 二 例3　数列{an}的前n项和为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N＋)，求an的通项公式. 当n≥2时，由an＝5Sn－3， 得an－1＝5Sn－1－3， 两式作差得an－an－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an， 21 若已知条件中给出的是Sn与an的关系式，一般要利用 先求出a1，若计算出的an中a1适合时可合并为一个关系式，若不适合则要分段，若能判断数列是等差数列或等比数列，则直接用相应公式求解. 反思感悟 22 跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式. 23 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1) ＝2an＋1－2an， ∴an＋1＝2an. 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0， ∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列. ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1. 24 1.知识清单： (1)利用递推公式求通项公式. (2)利用Sn与an的关系求通项公式. 2.方法归纳：观察归纳法、累加、累乘法、构造法、分类讨论思想. 3.常见误区：利用递推公式或Sn与an的关系求通项公式时，要注意n的取值范围，忽略n＝1的情况. 课堂小结 随堂演练 三 1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于 A.36 B.35 C.34 D.33 √ 当n＝1时，a1＝S1＝－1， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－[(n－1)2－2(n－1)] ＝2n－3， 当n＝1时，a1＝－1符合上式， 所以an＝2n－3，则a2＝1，a18＝33， 故a2＋a18＝34. 1 2 3 4 1 2 3 4 2.数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为 A.1 B.－1 C. D.2 √ 由an＋1＝λan－1， ∵数列{an－1}是等比数列， 1 2 3 4 1 2 3 4 4.已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝__________. 当n＝1满足上式， 课时对点练 四 基础巩固 1.在数列{an}中，a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项满足关系式anbn＝(－1)n(n∈N＋)，则bn等于 易知{an}是首项为3，公比为2的等比数列， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是 A.an＋1＝an＋n，n∈N＋ B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2 D.an＝an－1＋(n-1)，n∈N＋，n≥2 √ 结合图形易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4， ∴an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项公式an等于 A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋1－an＝－1， ∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋ ＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n. 当n＝1时，a1＝2也符合上式. 故此数列的通项公式an＝3－n(n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是 A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2) C.an＝2n D.an＝2n(n≥2) √ Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n. 当n＝1时，不符合上式，故an √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 023等于 A.－22 023－1 B.32 023－6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，3Sn＝2an－3n， 3Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 两式作差可得3an＋1＝2an＋1－2an－3， 即an＋1＝－2an－3，an＋1＋1＝－2(an＋1)， 结合3S1＝2a1－3＝3a1， 可得a1＝－3，a1＋1＝－2， 则数列{an＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列， 故a2 023＋1＝(－2)×(－2)2 022＝－22 023， 所以a2 023＝－22 023－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.设在数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，则an＝_______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋1＋an＝2n， ∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2. 即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列. 当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ (n∈N＋)，则an＝__________ _________. (n∈N＋) 2＋ln n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥2时， 当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2成立. 所以an＝2＋ln n(n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题设知a1＝1. 当n>1时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将以上n个等式两端分别相乘， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴2nan－2n－1an－1＝2(n≥2)， ∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得(an＋1－4an)(an＋1＋an)＝0. 又{an}是正项数列， 所以数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列. 所以an＝2×4n－1＝22n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且对于任意大于1的整数n，点 ＝0上，则数列{an}的通项公式为 A.an＝4n－2，n∈N＋ B.an＝4n＋2，n∈N＋ C.an＝4n，n∈N＋ D.an＝4n2，n∈N＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，n∈N＋，n≥2， a1＝2也适合上式.∴an＝4n－2，n∈N＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知数列{an}的首项a1＝a，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N＋)，若对任意n∈N＋，an<an＋1恒成立，则a的取值范围是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵Sn＋Sn－1＝4n2，Sn＋1＋Sn＝4(n＋1)2， ∴当n≥2时，Sn＋1－Sn－1＝8n＋4， 即an＋1＋an＝8n＋4， 即an＋2＋an＋1＝8n＋12， 故an＋2－an＝8(n≥2)， 由a1＝a，Sn＋Sn－1＝4n2(n≥2，n∈N＋)知a2＋2a1＝4×22＝16， ∴a2＝16－2a1＝16－2a， a3＋2S2＝4×32＝36， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a3＝36－2S2＝36－2(16－a)＝4＋2a， a4＝24－2a. 若对任意n∈N＋，an<an＋1恒成立， 只需使a1<a2<a3<a4， 即a<16－2a<4＋2a<24－2a，解得3<a<5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若在数列{an}中，a1＝3且an＋1＝ (n是正整数)，则它的通项公式为_________. 由题意知an>0且an≠1， an＝ 所以数列{lg an}是以lg a1＝lg 3为首项，2为公比的等比数列， 所以lg an＝(lg 3)·2n－1＝ 即an＝ (n∈N＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 即an＝(2n－5)(n－6)， 又∵n∈N＋，∴n＝3,4,5,6， 则Sn－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋an的最小值为a3＋a4＋a5＋a6＝－3－6－5－0＝－14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－3an(n∈N＋). (1)求a3，a4的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a3＝4a2－3a1＝13，a4＝4a3－3a2＝40. (2)证明：数列{an＋1－an}是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋2＝4an＋1－3an， ∴an＋2－an＋1＝3(an＋1－an). 又a1＝1，a2＝4，∴an＋1－an≠0， 则{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，3为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(2)得an＋1－an＝3n， 则当n≥2时，an－an－1＝3n－1， 故an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 (3)求数列{an}的通项公式. 即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝(n≥2). ∴通项公式为an＝，n∈N＋. (2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an. 又当n＝1时，a1＝满足上式，∴an＝，n∈N＋. 由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1， 即···…·＝×××…×(n≥2)， ∴＝(n≥2)， 又∵a1＝，∴an＝(n≥2). (2)累乘法：形如＝f(n)型. 4－ an－an－1＝－， 逐项相加得an－a1＝1－， 原递推公式可化为an＋1－an＝－， 故an＝4－，经验证a1，a2也符合. 则a2－a1＝－，a3－a2＝－， a4－a3＝－，…，an－1－an－2＝－， 所以ln ＝1， 即＝e(n≥2). 所以an＝··…··a1 则＝2， 即＝2， 当n＝1时，a1＝5S1－3＝5a1－3，得a1＝， ∴an＝－an－1， ∴数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝－的等比数列， ∴an＝a1·qn－1＝×n－1. 又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2， ∴＝1，即λ＝2. 得an＋1－1＝λan－2＝λ. 由题意得，a8＝1＋＝，则a7＝； a7＝1＋＝，则a6＝；a6＝1＋＝，则a5＝. 3.若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝______. 则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝(n≥2)， 又因为a1＝1，所以＝＋1＝， 所以an＝(n∈N＋). 由an－an＋1＝nanan＋1，得－＝n， ∴an＝3·2n－1，∴bn＝＝. A. B. C. D. ＝ C.2 023－ D.2 023－ n∈N＋ 当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1. 综上所述，an＝n∈N＋. 因为a1＝，an＋1＝an＋n＋1， 7.已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________. － 所以2n＋1an＋1＝·2nan＋1， 整理得2n＋1an＋1－3＝，所以数列是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列.所以2nan－3＝－×n－1， 所以an＝－. ln 由an＋1＝an＋ln， 得an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n， an＝a1＋＋＋…＋ ＝2＋＋＋…＋[ln n－ln]＝2＋ln n， 由S2＝a2， 9.已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 则a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…， 整理得an＝an－1. an－1＝an－2，an＝an－1， 整理得an＝，n≥2， 又a1＝1＝，也满足上式. 综上，数列{an}的通项公式an＝. 10.已知Sn＝4－an－，求an与Sn. ∵Sn＝4－an－， ∴an＝an－1＋n－1(n≥2). ∴当n≥2时，Sn－1＝4－an－1－， ∴Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－(n≥2). ∴－＝2(n≥2)， ∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1， ∴an＝(n∈N＋)， ∴Sn＝4－an－＝4－－ ＝4－. 11.若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则数列{an}的通项公式an等于 A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3 由a－3an＋1an－4a＝0， 所以an＋1－4an＝0，即＝4. (，)在直线x－y－ 由题意得－＝，n∈N＋，n≥2， ∴{}是首项为＝＝， 公差为的等差数列. ∴＝n，∴Sn＝2n2， A. B. C. D.(3,5) 将an＋1＝a两边取对数得lg an＋1＝2lg an且lg an≠0，即＝2， a 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝15，且满足＝＋1，已知n，m∈N＋，n>m，则Sn－Sm的最小值为 A.－ B.－ C.－14 D.－28 ∵＝＋1，且＝＝－5， 令an≤0，得≤n≤6， ∴数列是以－5为首项，1为公差的等差数列， 则＝－5＋(n－1)＝n－6， ∴＝3， ＝3n－1＋3n－2＋…＋3＋1＝＝(n≥2). 又a1＝1适合上式，故an＝，n∈N＋. $$