第1章 习题课 等差数列与等比数列 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第一章　数　列 习题课　 等差数列与等比数列 1.熟练掌握等差数列、等比数列的概念及相关公式. 2.会求含绝对值的等差数列的前n项和. 3.掌握等差数列、等比数列的综合问题. 学习目标 一、含绝对值的等差数列的前n项和 二、等差数列、等比数列的综合问题 课时对点练 三、数列中函数与方程思想的应用 随堂演练 内容索引 含绝对值的等差数列的前n项和 一 例1　数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋). (1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n. ∵a1＝S1＝100×1－12＝99，满足上式， ∴an＝101－2n(n∈N＋). 又an＋1－an＝－2为常数， ∴数列{an}是首项为99，公差为－2的等差数列. 5 (2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 6 令an＝101－2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N＋，∴n≤50(n∈N＋). ①当1≤n≤50时，an>0，此时bn＝|an|＝an， ∴数列{bn}的前n项和Tn＝100n－n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn＝|an|＝－an， 由b51＋b52＋…＋bn＝－(a51＋a52＋…＋an) ＝－(Sn－S50)＝S50－Sn， 得数列{bn}的前n项和Tn＝S50＋(S50－Sn)＝2S50－Sn＝2×2 500－(100n－n2)＝5 000－100n＋n2. 7 由①②得数列{bn}的前n项和为 8 由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn＝－an，数列{bn}的前n项和Tn＝－n2＋100n， 当n≥51时，an>0，b51＋b52＋…＋bn＝a51＋a52＋…＋an. 数列{bn}的前n项和Tn＝－S50＋Sn－S50＝n2－100n＋5 000， 延伸探究　本例中若an＝2n－101，求数列{bn}的前n项和Tn. 9 已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”. 反思感悟 10 跟踪训练1　在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 当n≥18时，an<0， ∴数列{an}的前17项和最大. 11 (2)求{|an|}的前n项和Sn. 12 当n≤17，n∈N＋时， |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an 当n≥18，n∈N＋时，|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) 13 14 等差数列、等比数列的综合问题 二 例2　已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5. (1)求数列{an}的通项公式； 设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn， 由T5＝105，a10＝2a5， 因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N＋). 16 (2)对任意m∈N＋，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm. 对m∈N＋，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1. 因此bm＝72m－1. 所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列， 17 解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解.同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列和等比数列之间的内在联系，寻求它们之间的相互转化，寻求它们的相互作用. 反思感悟 18 跟踪训练2　已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16. (1)求{an}的通项公式； 令数列{an}的公比为q， 则a3＝a1q2＝2q2，a2＝a1q＝2q， 所以2q2＝4q＋16， 解得q＝－2(舍去)或q＝4， 所以an＝2×4n－1＝22n－1. 19 (2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和. 因为bn＝log2an＝log222n－1＝2n－1， bn＋1＝2n＋1，bn＋1－bn＝2， 所以数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列， 20 数列中函数与方程思想的应用 三 例3　已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，…. (1)求证数列{lg(1＋an)}是等比数列； ∴an＋1＋1＝(an＋1)2. ∵a1＝2，∴an＋1>1， 两边取对数得lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)， ∴数列{lg(1＋an)}是公比为2的等比数列. 22 (2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项公式； 由(1)知lg(1＋an)＝lg(1＋a1)·2n－1 ＝lg 3·2n－1＝ ， ∴1＋an＝ . (*) ∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an) 由(*)式得an＝ －1. 23 24 ∴an＋1＝an(an＋2)， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn 25 ∵an＝ －1，∴an＋1＝ －1， 又∵a1＝2， 又∵Tn＝ ， 26 由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件. 反思感悟 27 跟踪训练3　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式； 由题意得Sn＝bn＋r， 当n＝1时，a1＝S1＝b＋r， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1， 又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b， 所以an＝(b－1)bn－1. 28 29 当b＝2时，an＝(b－1)bn－1＝2n－1， 30 31 1.知识清单： (1)求含绝对值的等差数列的前n项和. (2)等差数列、等比数列的综合问题. (3)数列中函数与方程思想的应用. 2.方法归纳：函数与方程思想、分类讨论法. 3.常见误区：等差数列、等比数列的公式记混致误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于 A.33 B.84 C.72 D.189 √ 由4a1,2a2，a3成等差数列得，4a1＋a3＝4a2，即12＋3q2＝4×3q，解得q＝2， ∴a3＋a4＋a5＝a1q2＋a1q3＋a1q4＝3×(22＋23＋24)＝84. 1 2 3 4 2.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于 √ 1 2 3 4 3.数列{(－1)n＋2}的前n项和为Sn，则S2 023＝_____. 由题意知，数列{(－1)n＋2}的首项为－1，公比为－1，则S2 023＝－1. －1 1 2 3 4 4.已知等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4＝____. ∵数列{an}是公差为3的等差数列， ∴a2＝a4－6，a8＝a4＋12. ∵a2，a4，a8成等比数列， 12 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则此数列第5项是 A.15 B.255 C.16 D.63 √ ∵an＝4an－1＋3(n≥2)， ∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)， ∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列， 则an＋1＝4n－1. ∴an＝4n－1－1， ∴a5＝44－1＝255. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)3个实数成等差数列，如果适当安排这3个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，则这3个数为 A.2,2,2 B.－4,2,8 C.1,2,3 D.－2,4，－8 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如果这三个数相等，显然2,2,2，符合题意； 如果不相等，可设这3个数分别为a－d，a，a＋d. ∵a－d＋a＋a＋d＝6， ∴a＝2，即3个数分别为2－d,2,2＋d. ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)， 解得d＝6，此时3个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)， 解得d＝－6，此时3个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则有22＝(2＋d)(2－d)，解得d＝0(舍去). 3.设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于 代入可得(2a1－1)2＝a1(4a1－6)， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和.则数列{an}的 A.首项为4，公差为0 B.首项为1，公差为3 C.通项公式an＝2n－1 D.前n项和Sn＝4n √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该数列的公差为d，前n项和为Sn. 由已知可得2a1＋2d＝8， (a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)， 所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0， 解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3， 即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3，所以通项公式an＝4或an＝3n－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是 A.x100＝－a，x1＋x2＋…＋x100＝2b－a B.x100＝－b，x1＋x2＋…＋x100＝2b－a C.x100＝－b，x1＋x2＋…＋x100＝b－a D.x100＝－a，x1＋x2＋…＋x100＝b－a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a， x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b， x6＝x5－x4＝a－b， x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2， ∴{xn}是周期数列，周期为6，∴x100＝x4＝－a， ∵x1＋x2＋…＋x6＝0， ∴x1＋x2＋…＋x100＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a. 7.已知公差不为零的正项等差数列{an}中，Sn为其前n项和，lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若a5＝10，则S5＝____. 设{an}的公差为d，则d≠0. 由lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列， 30 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即d2＝a1d. 又d≠0，故d＝a1，a5＝5a1＝10，∴d＝a1＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知数列{an}的通项为an＝－2n－1，则数列{|an|}的前n项和为_______. n2＋2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2－25n.求数列{|an|}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，a1＝S1＝4－25＝－21； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4n2－25n)－[4(n－1)2－25(n－1)]＝8n－29. 当n＝1时，a1＝－21＝8×1－29也符合8n－29的形式， 所以数列{an}的通项公式为an＝8n－29. 令an＝8n－29≥0，又n∈N＋，解得n≥4. 当n≤3时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝25n－4n2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＋|a7|＋…＋|an|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋an ＝－S3＋Sn－S3＝4n2－25n＋78， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1). (1)求{an}的通项公式； 由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减，得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2). 又∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1. 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn. 设{bn}的公差为d， 由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5， 故可设b1＝5－d，b3＝5＋d. 又a1＝1，a2＝3，a3＝9， 由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2. 解得d＝2或d＝－10. ∵等差数列{bn}的各项为正， ∴d>0，∴d＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n等于 A.12 B.14 C.16 D.18 √ 因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40， 所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝ ＝210， 得n＝14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知函数f(x)＝ (x≥1)，若数列{an}的通项公式an＝f(n)(n∈N＋).则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴an＋1<an.∴数列{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　设x1>x2≥1， ∵x1>x2≥1，∴x1＋1>0，x2＋1>0，x2－x1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴数列{an}为递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵n≥1，∴an<0， ∴an＋1<an，故数列{an}为递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在等比数列{an}中，a1＝ ，a4＝－4，则公比q＝_____，|a1|＋|a2|＋… ＋|an|＝________. 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3， －2 等比数列{|an|}的公比为|q|＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ____________________________. 则Sn＝[1＋5＋9＋13＋…＋(2n－3)]＋(32＋34＋36＋…＋3n) 当n为奇数时，则n－1为偶数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上可知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在数列{an}中，an＝ ，则该数列前100项中的最大项与最小项 的项数分别为________. 45,44 所以最大项与最小项的项数分别为45,44. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知在数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N＋. (1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由{an}是递增数列，得an<an＋1， 即n2＋λn<(n＋1)2＋λ(n＋1)， 得λ>－(2n＋1)，n∈N＋， ∴λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞). (2)若{an}的第7项是最小项，求λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意有 解得－15≤λ≤－13， 即λ的取值范围是[－15，－13]. Tn＝n∈N＋. 综上，Tn＝n∈N＋. 由 得 令an>0，得n<，∴当n≤17时，an>0； ＝na1＋d＝－n2＋n. ＝2－ ＝n2－n＋884. ∴Sn＝ 得 解得 故Sm＝＝＝＝. Sn＝＝n2. 由已知得an＋1＝a＋2an， 即＝2. (3)记bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Sn，并说明Sn＋＝1. 又∵bn＝＋， ∴bn＝2， ＝2＝2. ∵an＋1＝a＋2an， ∴＝， ∴＝－. ∴Sn＋＝ (2)当b＝2时，记bn＝(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn. 两式相减，得Tn＝＋＋＋＋…＋－ bn＝＝， 则Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋＋…＋＋， 所以Tn＝－－＝－. ＝＋－＝－－， 由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝＝. A. B. C. D. ∴a＝(a4－6)(a4＋12)，解得a4＝12. 解得a1＝－. 因为{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，所以Sn＝na1＋n(n－1)(－1)， A.2 B.－2 C. D.－ 由S1，S2，S4成等比数列可知S＝S1S4， 所以数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝. 5.在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝，a3＝，则＋＋＋＋等于 A. B. C.31 D.4 ∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＋＋a3＋a3q＋a3q2＝a3＝， 又a3＝，∴＋＋1＋q＋q2＝， ∴＋＋＋＋ ＝＝4×＝31. 得2lg a2＝lg a1＋lg a4，∴a＝a1a4， S5＝5a1＋×d＝30. 由题意可知数列{an}的各项均为负值，设数列{|an|}的前n项和为Sn，则有Sn＝－a1－a2－…－an＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝＝n2＋2n. 所以Tn＝ ∴Tn＝3n＋×2＝n2＋2n. f(x)＝＝－2＋. 方法一　∵an＝－2＋(n∈N＋)， an＋1＝－2＋， ∴an＋1－an＝－＝ ＝<0. 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝－＝， 方法三　an＝f(n)＝(n≥1). 又＝＝＝ ＝1＋. ∵n≥1，∴2n2＋3n－2>0，故>1， 即－4＝q3，解得q＝－2. 2n－1－ 则|an|＝×2n－1， 所以|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－. 14.在数列{an}中，an＝则其前n项和Sn＝ ∴Sn＝Sn－1＋an＝＋(3n－1－1)＋2n－1＝＋(3n－1－1). 当n为偶数时，奇数项、偶数项各有项， ＝＋ ＝＋(3n－1)； Sn＝ 因为44<<45， 故数列{an}在0<n≤44，n∈N＋上单调递减，在n≥45，n∈N＋上单调 递减，借助f(x)＝1＋的图象(图略)知数列{an}的最大值为a45，最小值为a44. an＝＝1＋， 设f(x)＝1＋， 则f(x)在区间(－∞，)和(，＋∞)上单调递减. 即 $$