1.2.1.2 等差数列的性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第一章　 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第2课时　 等差数列的性质 1.了解等差中项的概念. 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 3.能运用等差数列的性质解决有关问题. 学习目标 导语 悉尼歌剧院(Sydney Opera House)，位于澳大利亚新南威尔士州悉尼市区北部的便利朗角(Bennelong Point)，1959年3月动工建造，1973年10月20日正式投入使用，是澳大利亚地标式建筑.它占地面积1.8公顷，坐落在距离海面19米的花岗岩基座上，最高的壳顶距海面60米，总建筑面积88 000平方米.音乐厅是悉尼歌剧院最大的厅，共有2 678个座位，舞台正面第一排有35个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为 35,37,39,41,43，….第20排 的座位数与第18排与第22 排的座位数的和有什么关系？ 一、等差中项 二、等差数列与一次函数的关系 课时对点练 三、等差数列的性质 随堂演练 内容索引 等差中项 一 问题1　由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. 等差中项的概念 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的 _________，即A＝ . 注意点： (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝ . 等差中项 知识梳理 7 例1　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. ∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， 又a是－1与3的等差中项， ∴该数列为－1,1,3,5,7. 8 在等差数列{an}中， (1)an是an－1与an＋1(n≥2，n∈N＋)的等差中项，即an＝ (n≥2，n∈N＋). (2)当m＋n＝2p时，有ap是am与an的等差中项. 反思感悟 9 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6. 跟踪训练1　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 10 等差数列与一次函数的关系 二 问题2　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　一次函数. 从函数角度研究等差数列 对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_______的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_____，即自变量每增加1，函数值增加d. 当____时，数列{an}为________，如图甲所示. 当____时，数列{an}为________，如图乙所示. 当____时，数列{an}为_______，如图丙所示. 等间隔 斜率 d>0 递增数列 d<0 递减数列 d＝0 常数列 知识梳理 13 注意点： 通项法判定等差数列：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列. 知识梳理 14 例2　(多选)下列判断正确的是 A.等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B.若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列 C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D.若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 √ A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列； 因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B，C，D均正确. √ √ 15 根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质. 反思感悟 16 ∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， ∴a7＝2>0，a8＝－1<0. ∴数列中第一个负数项是第8项. 跟踪训练2　等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是 A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 √ 17 等差数列的性质 三 问题3　在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，那么ap＋aq与am＋an有何数量关系？ 提示　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d， 所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d， am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d， 因为p＋q＝m＋n， 所以ap＋aq＝am＋an. 等差数列的性质 1.若数列{an}是公差为d的等差数列， (1)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列. (2)抽取下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为____的新的等差数列. (3)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn}(k，m∈N＋)也成等差数列. 2.等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N＋，且p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an. md 知识梳理 20 注意点： (1)性质2的逆命题不一定成立. (2)特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (3)在等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N＋，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar. 知识梳理 21 例3　(1)若{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，求a75； 22 方法一　由已知条件， 得a15＝a1＋14d＝8， ① a60＝a1＋59d＝20. ② 23 方法二　∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列. 设新的等差数列的公差为d1， 则a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20， 解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24. 24 (2)若{an}为等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值. ∵{an}是等差数列， ∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9. 又∵a1－a3＋a9－a15＋a17＝117， ∴a9＝117， ∴a3＋a15＝2a9＝234. 25 延伸探究　本例(2)若改为等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，试求k的值. 因为数列{an}为等差数列， 首项a1＝0，公差d≠0， 所以ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝21d， 解得k＝22. 26 解决等差数列运算问题的一般方法 一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解，属于通用方法，或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想. 反思感悟 27 跟踪训练3　(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8. 28 方法一　设等差数列的公差为d， 根据等差数列的通项公式， 得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d. 29 方法二　根据等差数列的性质， 得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6. 由a2＋a6＋a10＝1， 30 (2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值. 31 {an}是公差为正数的等差数列， 设公差为d(d>0)， ∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝3a2＝15， ∴a2＝5，又a1a2a3＝80， ∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)， ∴a12＝a2＋10d＝35， a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 32 1.知识清单： (1)等差中项的概念. (2)等差数列的单调性及图象. (3)等差数列的性质. 2.方法归纳：函数法、列方程组法、转化法、整体代换法. 3.常见误区： (1)对等差数列的性质不理解而致错. (2)不注意运用性质而出错或解法烦琐. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知数列1，a,5是等差数列，则实数a的值为 由等差中项的定义知2a＝1＋5＝6，所以a＝3. √ 1 2 3 4 2.在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于 由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7， 所以a2＝15－12＝3. √ 1 2 3 4 3.等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5an是 A.公差为d的等差数列 B.公差为5d的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 √ 由等差数列的定义知an－an－1＝d，所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d. 1 2 3 4 4.在等差数列{an}中，若a4和a10的等差中项是3，又a2＝2，则an＝______. 因为a4＋a10＝2a7，故a7＝3， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 013＋a2 024等于 A.10 B.15 C.20 D.40 √ ∵a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根， ∴a2＋a2 024＝10， 由等差数列的性质得2a1 013＝10，即a1 013＝5， ∴a2＋a1 013＋a2 024＝3a1 013＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于 A.45 B.75 C.180 D.300 √ ∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90. ∴a2＋a8＝2a5＝180. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在1和31之间插入14个数，使它们与1,31组成公差大于零的等差数列，则该数列的公差为 设16个数对应公差为d(d>0)的等差数列{an}的前16项，则由题意可知，a1＝1，a16＝31，故a16－a1＝15d＝30，解得d＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为 A.0 B.37 C.100 D.－37 √ 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn) ＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2， 所以数列{an＋bn}仍然是等差数列. 又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下面关于公差d>0的等差数列{an}的说法正确的是 A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列 是递增数列 D.数列{an＋3nd}是递增数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为an＝a1＋(n－1)d，d>0，所以an＋1－an＝d>0，A正确； 对于B，nan＝na1＋n(n－1)d，所以nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关，故数列{nan}不一定递增，B不正确； 对于D，设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0，所以数列{an＋3nd}是递增数列，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则使ak·ak＋1<0的k值 为_____. 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又a1＝15， ∴a23>0，a24<0，∴k＝23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出图象如图所示. 由图象可得，直线的斜率k＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在等差数列{an}中. (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； 根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得4a13＝48，∴a13＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34， 即a2＋a5＝17， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.1或2 √ ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. ∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2. 12.设等差数列{an}的公差为d.若数列 为递减数列，则 A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0 √ 设bn＝ ，则bn＋1＝ ，由于 是递减数列，则bn>bn＋1， 即 > . ∵y＝2x是增函数，∴a1an>a1an＋1， ∴a1an－a1(an＋d)>0， ∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0， ∴a1d<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有 A.a1＋a101>0 B.a1＋a101<0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝0 ∵a1＋a2＋…＋a101＝0， 又a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51， ∴a51＝0＝a3＋a99. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在△ABC中，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为___________. 等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列， 得lg sin A＋lg sin C＝2lg sin B， 即sin2B＝sin Asin C， ① 又三个内角A，B，C也成等差数列， 所以B＝60°，代入①得sin Asin C＝ ， ② 设A＝60°－α，C＝60°＋α，0°≤α＜60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即cos2α＝1，所以α＝0°， 所以A＝B＝C＝60°，所以△ABC为等边三角形. 拓广探究 15.若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为___________. 由题意得an＋1＋an＝4n－3， ① an＋2＋an＋1＝4n＋1， ② ②－①，得an＋2－an＝4. ∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2. ∵a1＋a2＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知f(x)＝x2－2x－3，在等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝ ，a3＝f(x)，求： (1)x的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝x2－2x－3， 得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3 ＝x2－4x， a3＝x2－2x－3， 又因为a1，a2，a3成等差数列， 所以2a2＝a1＋a3， 即－3＝x2－4x＋x2－2x－3， 解得x＝0或x＝3. (2)通项an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴b＝＝3. ∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5. 所以m和n的等差中项为＝3. 故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24. 由①②解得a1＝，d＝， 由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝. ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝. ∴a4＋a8＝2a6＝. 得3a6＝1，解得a6＝， A.2 B.3 C.4 D. A.3 B.－3 C. D.－ n＋ an＝a2＋(n－2)d＝2＋(n－2)＝n＋. 又a2＝2，所以d＝， 由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，得a3＋a8＝±3，又a5＋a6＝a3＋a8且数列{an}各项都是负数，∴a5＋a6＝－3. 1.已知等差数列{an}的各项都是负数，且a＋a＋2a3a8＝9，则a5＋a6的值为 A.3 B.－3 C.±3 D.－9 A. B.30 C.－2 D.2 对于C，＝＋d，所以－＝(n≥2)，当d－a1>0，即d>a1时，数列递增，但d>a1不一定成立，C不正确； 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，所以a7＝，所以tan (a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－. － 由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－， ∴{an}是首项为15，公差为－的等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)d＝15＋(n－1)× ＝－n＋. 令an＝0，解得n＝＝23.5， ∵d＝－，∴数列{an}是递减数列， 9.画出数列an＝的图象，并求经过图象上所有点的直线的斜率. 由解得或 ∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3. 代入②得sin(60°＋α)sin(60°－α)＝， ⇒cos2α－sin2α＝， ∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－.∴an＝2n－. an＝2n－ － 当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－， 此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)； 当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝， 此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3). $$