1.2.2课时2 等差数列的前n项和的性质及应用课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.2.2 课时2 等差数列的前n项和的性质及应用 北师大版(2019)选择性必修二 作者编号：、32200 1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 学习目标 作者编号：、32200 等差数列的前n项和公式 或 注意：两个公式都表明要求Sn必须已知n，a1，d，an中的三个. 复习回顾 作者编号：、32200 问题1:已知等差数列{an}的公差d，前n项和为Sn.从函数的观点分析<m></m>关于<m>的函数具有什么特点？ <m></m> ， 其中 <m></m> ， <m></m> ， 故 <m></m> 关于 <m></m> 的函数解析式是一个常数项为0的二次函数解析式． 新知讲授 作者编号：、32200 问题2:等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 同样我们发现S3n=3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn=Sn＋n2d，S3n－S2n=Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. S2n=a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n =Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd) =2Sn＋n2d. 新知讲授 作者编号：、32200 问题3:<m></m>，<m>具有什么关系？对分类讨论. 若项数为，则 <m></m> ， <m></m> ; 若项数为， 由等差数列的性质可知<m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> （这里 <m></m> ， <m></m> 是中间项）， <m></m> ． 作者编号：、32200 问题4:数列<m></m>是等差数列吗？ 已知数列 <m></m> 的公差为 <m></m> ，则 <m></m> ， 所以有 <m>，</m> <m></m> . 因为 <m></m> ， 所以数列 <m></m> 是首项为 <m></m> ，公差为 <m></m> 的等差数列． 新知讲授 作者编号：、32200 知识梳理 1.等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形: 作者编号：、32200 知识梳理 2.等差数列{an}的前n项和Sn的性质 性质1： “片段和”性质 等差数列中依次n项之和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…组成公差为n2d的等差数列 性质2： “奇偶项”性质 若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n=n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd， (S奇≠0)；若等差数列的项数为 2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间 项)，S奇－S偶＝an， (S奇≠0). 作者编号：、32200 例1 已知等差数列{an}的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,求该数列的公差d. 解法一:设等差数列{an}的首项为a1, 由解得 解法二:由已知得解得 又S偶-S奇=6d,所以d==5. 新知讲授 作者编号：、32200 例2 已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m. 解法一:由等差数列前n项和的性质可知，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列， ∴30，70，S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100)，∴S3m=210. 解法二:由等差数列前n项和的性质可知，， ， 成等差数列， ∴ = + ，即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. 新知讲授 作者编号：、32200 方法归纳 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法: (1)整体思路:利用公式Sn=，设法求出整体a1+an，再代入求解. (2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数，设Sn=An2+Bn(A≠0)，列出方 程组求出A，B即可;也可以利用 是关于n的一次函数，设=an+b(a≠0) 进行计算. (3)利用相关性质中的结论进行求解. 新知讲授 作者编号：、32200 例2 在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________． 7 解析：解法一：函数法 由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 因为a1>0，所以－<0. 故当n＝7时，Sn最大． 新知讲授 作者编号：、32200 解法二：通项公式法 由解法一可知，d＝－a1. 要使Sn最大，则有，即， 解得6.5≤n≤7.5，因为n∈N＋，故当n＝7时，Sn最大． 例2 在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________． 7 新知讲授 作者编号：、32200 归纳总结 等差数列前n项和的最值问题 1．二次函数法 等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，所以若a1>0，d<0，则Sn必有最大值；若a1<0，d>0，则Sn必有最小值． 2．通项公式法 若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组 来确定； 若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定． 3．图象法 利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值． 作者编号：、32200 解：植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程（单位：m）组成了一个数列 0，20，40，60，…，380， 例3 在新城大道一侧A处，运来20棵新树苗.一名工人从A处起沿大道一侧路边每隔10 m栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗，并返回A处，植树工人共走了多少路程？ 这是首项a1 = 0，公差d=20，项数n=20的等差数列，其和 因此，植树工人共走了3 800m的路程. 新知讲授 作者编号：、32200 1.在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为( ) A.9 B.12 C.16 D.17 2.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开始运动后________分钟相遇． A 7 随堂检测 作者编号：、32200 3.(多选题)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N+)，则下列命题正确的是( 　　) A.若S3=S11，则必有S14=0 B.若S3=S11，则S7是{Sn}中的最大项 C.若S7>S8，则必有S8>S9 D.若S7>S8，则必有S6>S9 ABCD 随堂检测 作者编号：、32200 课堂总结 作者编号：、32200 (1)Sn=n·; (2)Sn=n2+(a1-)n; (3)n+(a1-)({}是公差为的等差数列). ＝ ＝ 等差数列前n项和 $$