第二章 3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质(二)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线的轨迹问题、定义应用及实际应用，通过例1轨迹问题导入，结合反思感悟提炼直接法与定义法，衔接定义应用（例2最值）和实际应用（例3拱桥），构建从理论到实践的学习支架。 其亮点是例题与跟踪训练联动，以抛物线形拱桥实例培养模型意识，通过定义转化距离和最值发展推理能力，助力学生提升数学思维，为教师提供系统教学资源，高效衔接知识与应用。

第2课时 第二章 <<< 抛物线的简单几何性质(二) 1.掌握与抛物线有关的轨迹问题. 2.会利用抛物线定义求解相关的最值问题. 3.能利用抛物线方程解决一些实际问题. 学习目标 一、与抛物线有关的轨迹问题 二、抛物线定义的应用 课时对点练 三、抛物线方程的实际应用 随堂演练 内容索引 与抛物线有关的轨迹问题 一 已知点A(1,0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足 ＝0.若点P满足 ＝2，则点P的轨迹方程是________. 设点M的坐标为(a,0)，点N的坐标为(0，b)，点P的坐标为(x，y)， 例 1 y2＝4x 代入a＝－b2可得y2＝4x. 5 求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程. 反 思 感 悟 6 方法一　设点P的坐标为(x，y)， 两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|. 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程. 跟踪训练 1 故动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0). 7 方法二　由题意知动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点符合题意； 当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0). 8 二 抛物线定义的应用 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标. 例 2 10 如图，作PN⊥l于点N(l为准线)，作AB⊥l于点B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当P为AB与抛物线的交点时取等号. 此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2， 所以P点坐标为(2,2). 11 解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 反 思 感 悟 12 设抛物线焦点为F，连接AF，BF，如图，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝ ，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′. 由抛物线定义，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|. 又M为AB中点，由梯形中位线定理， 若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离. 跟踪训练 2 13 则x≥ ＝1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，所以xmin＝1， 即M点到y轴的最短距离为1. 14 抛物线方程的实际应用 三 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，求水面的宽度. 例 3 建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， 则A(2，－2)， 将其坐标代入x2＝－2py得p＝1. 所以x2＝－2y. 16 当水位下降1 m时， 得D(x0，－3)(x0>0)， 17 反 思 感 悟 解决抛物线实际应用问题的五个步骤 某桥的桥形可近似地看成抛物线(如图所示)，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 跟踪训练 3 √ 19 如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系. 设抛物线为x2＝－2py(p>0)， 20 1.知识清单： (1)轨迹问题. (2)抛物线定义的应用. (3)抛物线的实际应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：用定义法求轨迹未考虑变量的取值范围而致误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知点A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是 √ 设M的坐标为(x，y)， 由题意可知B(2x,2y＋1)， 动点B在抛物线y＝2x2＋1上运动， 1 2 3 4 1 2 3 4 2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 A.4 B.6 C.8 D.12 √ 由抛物线的方程得准线方程为x＝－2，根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6. 3.点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离之和的最小值是 1 2 3 4 √ 依题意设P在抛物线准线上的投影为P′， 抛物线的焦点为F，则F(1,0). 由y2＝4x可知x＝－1是抛物线的准线， 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|， 则点P到点A(0，－1)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝ 1 2 3 4 4.苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计)，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80米，与门顶竖直距离8米处两塔内侧之间的距离约为 16米，则“东方之门”的高度约为 A.150米 B.200米 C.250米 D.300米 1 2 3 4 √ 以门顶所在的点为坐标原点， 以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 由题意可知点(8，－8)在抛物线上， 所以82＝－2p×(－8)，解得p＝4， 所以抛物线的方程为x2＝－8y， 故“东方之门”的高度均为200米. 1 2 3 4 课时对点练 五 1.若抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0等于 √ 抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离为y0＋4，∴y0＋4＝3y0，解得y0＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.在平面直角坐标系中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足 则动点P的轨迹方程是 A.y2＝4x B.x2＝4y C.y2＝－4x D.x2＝－4y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设P(x，y)，M(－1,2)，N(1,0)， 整理得y2＝4x. 16 依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x. 3.若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是 A.x＋4＝0 B.x－4＝0 C.y2＝8x D.y2＝16x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为B到准线的距离， 当PB垂直于准线时取最小值. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知该卫星接收天线的口径|AB|＝6，深度|MO|＝2， 信号处理中心F位于焦点处，若P是 该拋物线上一点，抛物线开口内有 一点Q ，则|PF|＋|PQ|的最小 值为 A.4 B.3 C.2 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3. 过点P作PP′垂直于准线，垂足为P′，过点Q作QQ′垂直于准线，垂足为Q′，则|PF|＝|PP′|， 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 因为|AB|＝6，|MO|＝2，所以点A(2,3)在抛物线上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m， 镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果(容器灶 圈在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处)，容器灶 圈应距离集光板顶点 A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m √ 16 若使吸收太阳光的效果最佳，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1,0.25)， 代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，p＝2， 所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0,1). 所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝ 则 x0＝____. 1 16 8.已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则 ＝______. ∴|AF|－|BF|＝y1－y2＝2. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某花卉博览会的主办方准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现主办方准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A(－6，－6)，B(6，－6)， 设该抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， 代入A点，得36＝－2p·(－6)， 解得p＝3， 故该抛物线方程为x2＝－6y， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5， 所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5. (1)求抛物线C的方程； 16 由(1)可知F(2,0)，设P(x0，y0)，M(x，y)， 而点P(x0，y0)在抛物线C上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程. 所以(2y)2＝8(2x－2)， 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即y2＝4(x－1)， 所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1). 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是 √ 综合运用 16 设圆心(－1,4)关于直线对称的点为C(x，y)， 曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 ＝4，则|QF|＝_____. 3 过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图. ∴|PQ|∶|PF|＝3∶4， 又焦点F到准线l的距离为4， ∴|QF|＝|QQ′|＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－6)2 ＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是_____，此时点M的坐标为________. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M在直线y＝－1上的射影为P， 因为|MF|等于M到直线y＝－1的距离，连接MC，AC(图略)， 则有|MC|－1≤|MA|≤|MC|＋1， 所以|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MP|≥|MC|－1＋|MP|≥|PC|－1， 所以当M，P，C(A在线段MC上)三点共线时，|MA|＋|MF|有最小值， 此时|MA|＋|MF|＝|PC|－1＝6＋1－1＝6，xM＝xC＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长可以为 A.8 B.9 C.10 D.12 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓广探究 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)， 根据抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2. 又圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2,0)，半径为4， 所以△FAB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF| ＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB， 由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2， 所以xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12).故选BC. 16 则|MF|＋|MA|＝|MM′|＋|MA|. 当A，M，M′共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5， 16.已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M到定点A 和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以抛物线方程为y2＝6x. 当A，M，F共线时取等号，|AF|＝5， 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以p＝1或p＝13(舍)， 所以抛物线方程为y2＝2x. ③当点A在抛物线上， 综上，抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x. 16 而＝(x－a，y)，＝(x，y－b)， ∴＝2⇒⇒ ·  ＝2 则＝(－1，b)，＝(－a，b)， ∴·＝a＋b2＝0⇒a＝－b2， 则有＝|x|＋1. 即y2＝ 所以(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋＝. － － ＝(|FA|＋|FB|)≥|AB| ＝×3＝. 得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|) 将其坐标代入x2＝－2y得x＝6， 所以x0＝，所以水面宽|CD|＝2(m). A. B. C. D. 则＝2hp，解得p＝， 故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝. 结合题意可知，该抛物线经过点， A.x2＝－y B.x2＝y C.x2＝4y D.x2＝－4y 所以2y＋1＝2(2x)2＋1，所以x2＝y. 所以线段AB的中点M的轨迹方程是x2＝y. A. B.2 C. D. ＝. 将x＝40代入抛物线的方程可得y＝＝－200. A. B. C.1 D.2 |·|＝||， ＝(1－x，－y)，因为|·|＝||， 所以|1＋x|＝， ＝(－1－x,2－y)，＝(1,0)， 设点P到准线y＝－的距离为d， 故最小值为2＋＝. 4.已知P为抛物线y＝x2上的动点，A，B(1,2)，则|PA|＋|PB|的最小值为 A. B. C. D. 所以9＝4p，故p＝，所以抛物线的方程为y2＝x. 则焦点F的坐标为，准线方程为x＝－，如图， 所以|PF|＋|PQ|＝|PP′|＋|PQ|≥|QQ′|＝＋＝3， ∵＋x0＝x0，∴x0＝1. x0，  y1＋x－y2－x ∴y1＋x－y2－x＝(y1－y2)＋(x－x)＝2＋4＝6. ∴x－x＝2(y1－y2)＝4， 由抛物线的定义知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋， 又x＝2y1，x＝2y2， 令x＝4，y＝－，∴E， ∴|EF|＝6－2－＝， 故所搭建舞台的最大高度为米. 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－， 所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5， 所以y＝8x0， 则即 A.2 B.－1 C. D.－1 则解得 故|MC|＝＝＝， 当a2＝时，|MC|有最小值为， 故|MN|的最小值为－1. 12.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为 A.2 B.2 C.2 D.4 焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2， 所以S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2. 抛物线C的准线方程为x＝－， ∵＝4，  ＝4 所以yM＝，所以M. 抛物线的准线为l：x＝－. ①当点A在抛物线内部时，42<2p·， 即p>，过M作MM′⊥l，垂足为M′， ②当点A在抛物线外部时，42>2p·， 即p<，|MF|＋|MA|≥|AF|， 即＋＝5， 所以p＝3，满足p>， 即p＝时，结合②明显不成立. 即＝5， $