1.1.1 数列的概念 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

1.1　数列的概念 第一章　 §1　数列的概念及其函数特性 1.了解数列及其有关概念. 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项. 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式. 学习目标 导语 (1)“人口问题”是我国最大的社会问题之一，对人口数量的估计和发展趋势的预测是我们制定一系列相关政策的基础.中华人民共和国成立后，我国已进行了七次全国人口普查，历次全国人口普查公报数据资料见下表： 年份 1953 1964 1982 1990 2000 2010 2020 人口数 /百万 601.93 720.37 1 031.88 1 160.02 1 295.33 1 370.54 1 411.78 七次普查人口数量(百万)依次排列为601.93，720.37,1 031.88,1 160.02, 1 295.33，1 370.54，1 411.78. 导语 (2)2020年1～3季度我国城市GDP(亿元)排行前六名数据依次为27 301.99,25 759.5,19 786.98,17 707.1，17 475.86，14 208.19. 以上两组数据有什么共同特点？ 一、数列的概念与分类 二、求数列的通项公式 课时对点练 三、数列通项公式的应用 随堂演练 内容索引 数列的概念与分类 一 问题1　下面三列数字有什么联系与区别？ (1)1,2,3,4； (2)4,3,2,1； (3)3,4,1,2. 提示　联系：数字相同，区别：排列次序不同. 1.数列的概念 (1)按一定次序排列的一列数叫作_____，数列中的每一个数叫作这个数列的___. (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，或简记为数列___，其中a1是数列的第1项，也叫数列的_____；an是数列的第n项，也叫数列的_____. 数列 项 {an} 首项 通项 知识梳理 8 2.数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类： (1)有穷数列——项数_____的数列. (2)无穷数列——项数_____的数列. 注意点： (1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列. (2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数的有限还是无限. 有限 无限 知识梳理 9 例1　下列说法正确的是 A.数列1,2,3,4,5,6与数列1,2,5,6,3,4是同一个数列 B.数列1,2,3,4,5,6可以表示为{1,2,3,4,5,6} C.0,2,4,6,8，…，2n是无穷数列 D.1,1,1,1,1，…是一个数列 √ 10 两个数列只有元素相同，排列顺序也相同时，才是同一个数列，故A不正确； 数列与集合不同，数列不能表示成集合的形式，故B不正确； 当n确定后，数列0,2,4,6,8，…，2n的项数就确定了，所以该数列是有穷数列，故C错误； 根据数列定义知D正确. 11 数列概念的三个注意点 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别. (2)如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. (3)同一个数在数列中可以重复出现. 反思感悟 12 跟踪训练1　下列说法正确的是 B.数列{an}的前4项为1,2,3,4，则第5项一定是5 C.－1,1,3,5，…是数列 D.数列0,2,4,6,8，…是有穷数列 √ 13 B中，数列的第5项不一定为5； D中，数列应为无穷数列； 很明显C正确. 14 求数列的通项公式 二 问题2　若数列{an}为1,3,5,7,9，…，能否用一个式子表示数列中的每一项？这个式子是什么？ 提示　能，an＝2n－1，n∈N＋. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项___与__之间的_________可以用一个式子表示成________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的________. 注意点： (1)数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N＋(或它的有限子集). (2)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②判断某数是不是该数列中的一项. an n 函数关系 an＝f(n) 解析式 知识梳理 17 例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前5项分别是下列各数： 18 19 (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,0.999 99，…； 20 (4)2,22,222,2 222,22 222，…. 21 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等. (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式. (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号. (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等. 反思感悟 22 跟踪训练2　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 这个数列前4项的绝对值的分母都是序号乘以比序号大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正， 23 这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 24 (3)7,77,777,7 777，…. 25 数列通项公式的应用 三 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N＋. (1)求a10； 27 28 (3)这个数列中有多少项是整数？ 29 (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由. 解得n＝3或n＝－2(舍). 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 30 通项公式应用的常见题型及其解法 (1)由通项公式写出数列的某项.就是把n的值代入通项公式进行计算，相当于函数中，已知函数解析式和自变量求函数值. (2)判断一个数是否为该数列中的项.由an等于这个数解出n，根据n是否为正整数便可确定这个数是否为数列中的项. 反思感悟 31 跟踪训练3　在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数. (1)求{an}的通项公式； 设an＝kn＋b(k≠0)，则 ∴an＝4n－2，n∈N＋. 32 (2)判断88是不是数列{an}中的项？ 令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5∉N＋， ∴88不是数列{an}中的项. 33 1.知识清单： (1)数列及其有关的概念. (2)数列的分类. (3)数列的通项公式及应用. 2.方法归纳：观察、归纳、猜想. 3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列说法中，正确的是 A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.1，－1,1，－1,1，－1，…是有穷数列 C.数列中的项可以相等 D.数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 √ {1,3,5,7}不表示数列，故A错误； 数列1，－1，1，－1,1，－1，…是无穷数列，故B错误； D中，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误； 数列中的项可以相等，故C正确. 1 2 3 4 2.已知数列{n(n－2)}，那么下列各数中是该数列的项的是 A.1 B.36 C.－48 D.－1 √ 分别令n(n－2)＝1,36，－48，－1进行验证. 当n(n－2)＝－1时，n＝1.其他均不合适. 1 2 3 4 3.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于 A.11 B.12 C.13 D.14 √ 由前6项，可知从第3项起，每一项都是它前面两项的和，所以x＝13. 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.(多选)下列叙述不正确的是 A.同一个数在数列中可能重复出现 B.数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数 C.任何数列的通项公式都存在 D.数列的通项公式是唯一的 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集，选项B错误； 并不是所有数列都有通项公式，选项C错误； 数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.第22项 B.第23项 C.第24项 D.第28项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知数列的通项公式是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列的通项公式是an＝ 则a2·a3等于 A.70 B.28 C.20 D.8 √ 所以a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10， 所以a2·a3＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于 A项，展开可得数列为0,1,0,1，…，不符合题意； B项，展开可得数列为0，－1,0,1，…，不符合题意； C项，展开可得数列为－1,0,1,0，…，不符合题意； D项，展开可得数列为0,1,0，－1，…，符合题意. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________， ＝________. 因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n， 3－4n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.写出下列数列的一个通项公式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)0.8,0.98,0.998,0.999 8，…. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110(n∈N＋). (1)20是不是{an}中的一项？ 令an＝－n2＋n＋110＝20. 即n2－n－90＝0， ∴(n＋9)(n－10)＝0， ∴n＝10或n＝－9(舍). ∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当n取何值时，an＝0. 令an＝－n2＋n＋110＝0， 即n2－n－110＝0， ∴(n－11)(n＋10)＝0， ∴n＝11或n＝－10(舍)， ∴当n＝11时，an＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键 A.6n个 B.(4n＋2)个 C.(5n－1)个 D.(5n＋1)个 √ 由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5,1＋2×5,1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键. 12.图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.将正偶数按下表排列：   第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行   2 4 6 8 第2行 16 14 12 10   第3行   18 20 22 24 …   … 28 26   则2 010在第_____行第___列. 252 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，2 010是第1 005个正偶数，因为1 005÷4＝251…1，所以2 010在第252行.观察表格知，第偶数行的四个数字从第4列开始从右至左排列，所以2 010在第252行第4列.   第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行   2 4 6 8 第2行 16 14 12 10   第3行   18 20 22 24 …   … 28 26   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：     他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数称为正方形数.写出一个既是三角形数又是正方形数的数________.(答案不唯一，写出一个即可) 1 225 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以0是{an}中的第21项， 所以1不是{an}中的项. (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等， 则am＝am＋1， 解得m＝10.所以数列{an}中存在连续的两项，第10项与第11项相等. A.－4,5,2，，不是数列 A中，－4,5,2，，是数列； 每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝，n∈N＋. (1)，3，，，3，…； 数列可化为，，，，，…， 即，，，，，…. (2)2，－，，－，，…； 使各项分子都为4，即，－，，－，，…，再给分母分别加1，又变为，－，，－，，…，所以数列的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1·，n∈N＋. 原数列可变形为1－，1－，1－，1－，…，故所给数列的一个通项公式为an＝1－，n∈N＋. 数列各项可化为×9，×99，×999，…，所以通项公式为an＝(10n－1)，n∈N＋. (1)－，，－，，…； 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)，，，，…； 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. 所以它的一个通项公式为an＝×(10n－1)，n∈N＋. 这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999， 即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)， 即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)， a10＝＝. (2)是不是这个数列中的项？ 令＝，得n＝100，故是这个数列中的项. 易知an＝1＋，若an是整数，则n＝1,2,3,6，故这个数列中共有4项是整数. 令＝n，得n2－n－6＝0， 解得 4.数列，，，1，，，…的一个通项公式为an＝______. 所以an＝. 将原数列变形为，，，，，，…， 令＝3＝，即2n－1＝45，解得n＝23. 2.已知数列1，，，，…，，…，则3是它的 an＝(n∈N＋)， 3.数列，，，，…的第10项是 A. B. C. D. 所以a10＝＝. 因为an＝ A. B.cos C.cos π D.cos π a1a2…a30＝log23×log34×…×log3132＝××…×＝log232＝log225＝5. A. B.5 C.6 D. ＝＝. a3＝2－3＝，a4＝＝， 8.已知数列{an}的通项公式是an＝则a3＋＝____. ∴＝，∴a3＋＝. 由已知数列，－，，－，…可得数列各项的分母的绝对值为2n，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用(－1)n－1来控制各项的符号，故所求数列的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (1)，－，，－，…； 此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为， (2)1，2，3，4，…； 故所求数列的一个通项公式为an＝n＋＝，n∈N＋. 原数列各项可变为1－0.2＝1－，1－0.02＝1－，1－0.002＝1－，1－0.000 2＝1－，归纳可得，an＝1－，n∈N＋. A.an＝n，n∈N＋ B.an＝，n∈N＋ C.an＝，n∈N＋ D.an＝n2，n∈N＋ ∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 根据题干表达式得，a1＝1，a2＝－＝－，a3＝－＝－2，a4＝－＝1，a5＝－＝－，a6＝－＝－2，a7＝－＝1，…，所以数列具有周期性，周期为3，又2 023＝3×674＋1，故a2 023＝1. 13.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝－，n∈N＋，则a2 023＝___. 由图形可得三角形数构成的数列的通项公式为an＝，同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2，因为1 225＝352＝，故1 225既是三角形数又是正方形数. 令an＝＝0，解得n＝21，n＝0(舍)， 16.数列{an}的通项公式是an＝，n∈N＋. 令an＝＝1， 解得n＝∉N＋， 即＝， $$