第1章 数列 章末检测试卷(1)-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

章末检测试卷(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(　　) A．an＝n2－n＋1 B．an＝ C．an＝ D．an＝n2＋1 答案　C 解析　令n＝1,2,3,4，代入A，B，C，D检验，即可排除A，B，D，故选C. 2．已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，m，n,3为等比数列，则x＋y＋mn的值为(　　) A．16 B．11 C．－11 D．±11 答案　B 解析　根据等差和等比数列的性质知x＋y＝5， mn＝6，所以x＋y＋mn＝11. 3．设等差数列{an}的前n项和是Sn，若－am<a1<－am＋1(m∈N＋，且m≥2)，则必定有(　　) A．Sm>0，且Sm＋1<0 B．Sm<0，且Sm＋1>0 C．Sm>0，且Sm＋1>0 D．Sm<0，且Sm＋1<0 答案　A 解析　因为－am<a1<－am＋1，所以a1＋am>0， a1＋am＋1<0，所以Sm>0，且Sm＋1<0. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝50，S7＝56，则S12等于(　　) A．106 B．53 C．48 D．36 答案　D 解析　∵S5＝50，S7＝56，∴a6＋a7＝S7－S5＝6，则S12＝＝6×(a6＋a7)＝36. 5．已知数列{an}的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＋a4＝6，a5＋a6＝11，则a7＋a8等于(　　) A．16 B．19 C．20 D．23 答案　C 解析　设数列{an}的奇数项依次成公差为d的等差数列，偶数项依次成公比为q的等比数列，由题意知a1＝1，a2＝2，a3＋a4＝6，a5＋a6＝11， 所以可得 解得 故a7＋a8＝1＋3d＋2q3＝1＋3＋16＝20. 6．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1且a1a2a3＝－8，则等于(　　) A．－11 B．－8 C．5 D．11 答案　A 解析　设等比数列{an}的公比为q， 因为a1a2a3＝－8，所以a＝－8，a2＝－2， 又a1＝1， 所以q＝－2，＝·＝＝＝－11. 7．若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”．已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．(－1,3) B．[－1,3] C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞) 答案　D 解析　由题意，得数列{an}的前n项和为Sn， 由“均值数列”的定义可得＝n， 所以Sn＝n2， 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1， 所以＝ ＝，所以 Tn＝ ＝<， 又Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立， 所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0， 解得m≤－1或m≥3. 即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n－1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前55项和为(　　) A．4 072 B．2 026 C．4 096 D．2 048 答案　A 解析　由题意可知，每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则该等比数列的前n项和为Sn＝＝2n－1，若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则该等差数列的前n项和为Tn＝，可得当n＝10时，所有项的个数和为55，则此数列前55项的和为S12－23＝212－1－23＝4 072. 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　) A．a1d>0 B．a1d<0 C．dS4<0 D．dS4>0 答案　BC 解析　依题意得a＝a3a8， 所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)， 解得a1＝－d， 所以S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d， 所以a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0. 10．设数列{an}满足：a1＝1，且对任意的n∈N＋，都有an＋1＝2an＋1，Sn为数列{an}的前n项和，则(　　) A．{an}为等比数列 B．an＝2n－1 C.为等比数列 D．Sn＝2n－n 答案　BC 解析　依题意an＋1＝2an＋1，则an＋1＋1＝2(an＋1)，因为a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，所以＝2，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以是首项为＝，公比为的等比数列．an＋1＝2×2n－1＝2n，an＝2n－1， a1＝1，a2＝3，a3＝7，a≠a1·a3， 所以{an}不是等比数列． Sn＝2＋22＋…＋2n－n＝－n ＝2n＋1－2－n. 所以AD选项错误，BC选项正确． 11．已知递减的等差数列的前n项和为Sn，若S7＝S11，则(　　) A．a10>0 B．当n＝9时，Sn最大 C．S17>0 D．S19>0 答案　BC 解析　由等差数列前n项和的特点可知，当n＝9时，Sn最大，故a9>0，a10<0，S17＝17a9>0，S19＝19a10<0，故BC正确，AD错误． 12．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n≥2)，bn＝，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，则(　　) A．a9＝5 B．bn＝－ C．T33＝3 D．Sn＝ 答案　AC 解析　因为2a＝a＋a(n≥2)，所以数列{a}是首项为1，公差为22－12＝3的等差数列， 所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，则a9＝5，故A正确； 又bn＝＝ ＝，故B错误； Tn＝ ＝(－1)． 则T33＝×(10－1)＝3，故C正确； 数列{a}是首项为1，公差为22－12＝3的等差数列，其前n项和为Sn′＝，故D错误． 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知等差数列{an}的前13项之和为，则tan(a6＋a7＋a8)＝________. 答案　－1 解析　∵等差数列{an}的前13项之和为 ＝13a7，∴a7＝， 则tan(a6＋a7＋a8)＝tan 3a7＝tan ＝－1. 14．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝1－，则a2 024＝________. 答案　 解析　在数列{an}中，因为an＋1＝1－， 所以an＋2＝1－＝1－＝1－ ＝－， an＋3＝1－＝1－＝1＋(an－1)＝an， 于是得数列{an}是周期数列，周期为3，a2＝1－＝，a2 024＝a3×674＋2＝a2＝，所以a2 024＝. 15．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10＝______. 答案　64 解析　依题意，有anan＋1＝2n， 所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2， 所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，所以a2＝2， 所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32. 又an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64. 16．数列{an}满足递推式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，且a1＝5，则使得为等差数列的实数λ＝________. 答案　－ 解析　因为－＝＝(n≥2)， 若为等差数列，则为常数． 所以－1－2λ＝0，所以λ＝－. 四、解答题(本题共6小题，共70分) 17．(10分)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m. 解　(1)设数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1. 由已知得， 解得 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N＋. (2)由(1)知log3an＝n－1.故Sn＝. 由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得， m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)， 即m2－5m－6＝0. 解得m＝－1(舍去)或m＝6. 18．(12分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求数列{an}和{bn}的通项公式． (1)证明　由题意得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列． 由题意得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1， 所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解　由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1， 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. 19．(12分)已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，且a1＝2. (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)设bn＝，判断数列{bn}的前n项和Tn与的大小关系，并说明理由． (1)证明　由题意，可得an＋1＋1＝3(an＋1)． 又a1＋1＝3≠0，所以数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． (2)解　Tn<，理由如下： 由(1)知，an＋1＝3n，即an＝3n－1， 所以bn＝＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝－<. 20．(12分)已知等差数列{an}满足a1＝1，a4＝2a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：b1＝1，＝2n，求数列{bn}的通项公式． 解　(1)令数列{an}的公差为d，由a1＝1，a4＝2a3得，1＋3d＝2(1＋2d)，解得d＝－1. 所以an＝1－(n－1)＝－n＋2. (2)bn＋1－bn＝(2－n)2n，则 b2－b1＝1×21， b3－b2＝0×22， … bn－bn－1＝(3－n)×2n－1(n≥2)， 累加整理，得 bn＝1＋1×21＋0×22＋…＋(3－n)×2n－1(n≥2)，① 2bn＝2＋1×22＋0×23＋…＋(4－n)×2n－1＋(3－n)×2n(n≥2)，② ②－①得，bn＝－1＋0＋22＋…＋2n－1＋(3－n)×2n ＝－4＋＋(3－n)×2n＝(4－n)2n－5(n≥2)， 又b1＝1满足上式，故bn＝(4－n)2n－5. 21．(12分)已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)． (1)求证：是等比数列，并求{an}的通项公式an； (2)数列{bn}满足bn＝(3n－1)··an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ<Tn＋对一切n∈N＋恒成立，求λ的取值范围． 解　(1)由an＋1＝，得＝＝1＋， 即＋＝3，又＋＝， ∴是以为首项，3为公比的等比数列， ∴＋＝×3n－1＝，即an＝. (2)由(1)知bn＝， Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×，① ＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，② ①－②，得＝＋＋＋…＋－n× ＝2－， ∴Tn＝4－， ∴(－1)nλ<4－. 若n为偶数，则λ<4－， ∴λ<3； 若n为奇数，则－λ<4－， ∴－λ<2，∴λ>－2. ∴－2<λ<3. 22．(12分)某化工厂从今年一月起若不改善生产环境，按生产现状每月收入为75万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚7万元，以后每月增加2万元，如果从今年一月起投资600万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本．设添加回收净化设备并投产后前n个月的累计收入为g(n)，据测算，当1≤n≤5(n∈N＋)时，g(n)＝n2＋kn(k是常数)，且前4个月的累计收入为416万元，从第6个月开始，每个月的收入都与第5个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励200万元． (1)求添加回收净化设备后前7个月的累计收入； (2)从第几个月起投资开始见效，即投资改造后的纯收入(累计收入连同奖励减去改造设备费)多于不改造的纯收入(累计收入减去罚款)? 解　(1)由题意知g(4)＝42＋4k＝416， 得k＝100， 即g(n)＝n2＋100n(1≤n≤5)， 第5个月净收入为 g(5)－g(4)＝52＋100×5－(42＋100×4) ＝109(万元)， 所以g(7)＝g(5)＋109×2＝525＋218 ＝743(万元)． (2)由(1)知g(n)＝ 即g(n)＝ 若不投资改造，则前n个月总罚款为 7n＋×2＝n2＋6n， 令g(n)－600＋200>75n－(n2＋6n)， 得g(n)＋n2－69n－400>0， 当1≤n≤5时，g(n)＋n2－69n－400>0不成立， 当n>5时，109n－20＋n2－69n－400>0， 即n2＋40n－420>0，即n(n＋40)>420， 又因为n∈N＋，所以n≥9， 所以经过9个月投资开始见效． 学科网（北京）股份有限公司 $$