1.4 数列在日常经济生活中的应用-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

[学习目标]　1.掌握单利、复利的概念和区别及它们本利和的计算公式.2.掌握零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型的本质特点，并学会应用． 导语 我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物、分期付款已深入我们的生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？ 一、单利与复利 问题1　在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中银行又是采用怎样的计息方式呢？ 提示　“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似． 知识梳理 1．单利与复利 (1)单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息．其公式为利息＝本金×利率×存期，以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)． (2)复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n. 2．零存整取与定期自动转存 (1)零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到期整取时本利和为S＝P. (2)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存．n年后，本利和为S＝P(1＋r)n. 注意点： 复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列． 角度1　零存整取模型 例1　王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰. (1)若王先生每月初存入一定金额，希望到3年后整取时支取本利和为2万元，则他每月应存入多少元(精确到1元)? (2)若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本利和约为多少元？(精确到1元) 解　(1)设王先生每月存入A元，则有A(1＋2.7‰)＋A(1＋2×2.7‰)＋…＋A(1＋36×2.7‰) ＝20 000，利用等差数列前n项和公式，得 A＝20 000， 解得A≈529(元)． (2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入≈556(元)， 这样，3年后的本利和为 556×(1＋2.7‰)＋556×(1＋2×2.7‰)＋…＋556×(1＋36×2.7‰) ＝556× ≈21 016(元)． 角度2　定期自动转存模型 例2　某家庭打算2024年新买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2016年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2024年年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取出多少元？ 解　设从2017年年初到2024年年初的本利和组成数列{an}，到2024年为止，把2017年年初存款的本利和看作a1，则2024年年初存款的本利和为a8， 则a1＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…， an＝a(1＋p)n＋a(1＋p)n－1＋…＋a(1＋p) ＝a(1＋p)n＋1－a(1＋p)(1≤n≤8)， 所以这个家庭应取出的钱数为 S8＝a(1＋p)＋[a(1＋p)2＋a(1＋p)]＋…＋[a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)] ＝＋＋…＋ ＝－a(1＋p) ＝(1＋p)10－(1＋p)2－a(1＋p)． 反思感悟　“零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列．“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列． 跟踪训练1　某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入2 000元，连续存5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按5年期零存整取计，即每年存入a元，按a(1＋n·6.5%)计算本利和(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每年存入a元，按(1＋5.7%)n·a计算本利和(n为年数)． 请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利和较高？ 解　若不计复利，5年的零存整取本利和是 2 000×(1＋5×0.065)＋2 000×(1＋4×0.065)＋…＋2 000×(1＋0.065)＝11 950(元)； 若计复利，则2 000×(1＋0.057)5＋2 000×(1＋0.057)4＋…＋2 000×(1＋0.057)≈2 000×≈11 860(元)． 所以第(1)种存款方式到期的全部本利和较高． 二、分期付款问题 问题2　王先生买房到银行网点柜台办理贷款，服务人员问他是“等额本金还款”，还是“等额本息还款”，弄得王先生一头雾水，你知道这两种还款方式吗？ 提示　等额本息还款是将银行贷款本金与总利息按照还款期限进行等额划分，每个月的还款额是相同的．等额本金还款是指每期的还款本金是一样的，每期利息会随本金额的减少而减少．不过，前期支付的本金和利息较多，还款压力比较大． 知识梳理 分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清． 注意点： 分期付款要综合运用等差数列、等比数列的知识，解题时要认真分析题意． 例3　某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28) 解　方法一　由题意知贷款总额a＝200 000(元)，还款次数n＝12×10＝120， 还款期限m＝10(年)＝120(个月)， 月利率r＝3.375‰＝0.003 375. 代入公式得，每月还款金额为 ≈2 029.66(元)． 故每月应还贷约2 029.66元． 方法二　设每月应还贷x元，共付款12×10＝120(次)， 则有x[1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000× (1＋0.003 375)120，解得x≈2 029.66. 故每月应还贷约2 029.66元． 反思感悟　(1)做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn. (2)等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题． 跟踪训练2　用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？ 解　由题意得购买时先付5万元，余款20万元分10次还清，每次付款的数额构成数列{an}，则 a1＝2＋(25－5)×10%＝4(万元)， a2＝2＋(25－5－2)×10%＝3.8(万元)， a3＝2＋(25－5－2×2)×10%＝3.6(万元)， … an＝2＋[25－5－(n－1)·2]×10% ＝万元(n＝1,2，…，10)． 因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列， a5＝4－＝3.2(万元)． S10＝10×4＋＝31(万元)． 因此，第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元． 1.知识清单： (1)单利与复利． (2)零存整取、定期自动转存、分期付款模型． 2．方法归纳：构造法、转化法． 3．常见误区： (1)题意理解错误，没能构造出合适的数列模型． (2)数列模型的首项与项数弄错． 1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是(　　) A．5×(1＋2＋3＋…＋12)元 B．5×(1＋2＋3＋…＋11)元 C．1 000×[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D．1 000×[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元 答案　A 解析　存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5×(1＋2＋3＋…＋12)元． 2．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率，自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an等于(　　) A．2 192 B．3 912－8n C．3 920－8n D．3 928－8n 答案　D 解析　由题意可知，每月还本金为2 000元，设张华第n个月的还款金额为an元，则 an＝2 000＋[480 000－(n－1)×2 000]×0.4%＝3 928－8n. 3．按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4%，则3年后可获得利息为(　　) A．(5×0.04)3万元 B．5×(1＋0.04)3万元 C．3×(5×0.04)万元 D．[5×(1＋0.04)3－5]万元 答案　D 解析　3年后的本利和为5×(1＋0.04)3万元，利息为[5×(1＋0.04)3－5]万元． 4．某人从2022年起，每年7月1日到银行新存入一年定期a元，若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2029年7月1日，将所有的存款及利息全部取回，他可取回的总金额是________________元． 答案　 解析　这是“定期自动转存模型”，从2023年(作为第一年)起，每一年存款的本利和构成等比数列：a(1＋r)7，a(1＋r)6，a(1＋r)5，…，a(1＋r)，所以他可取回的总金额是a(1＋r)7＋a(1＋r)6＋a(1＋r)5＋…＋a(1＋r)＝. 1．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是(　　) A. B．p%·q% C. D.－1 答案　D 解析　设该工厂最初的产值为1，这两年的平均增长率为r，则(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋r)2.于是r＝－1. 2．某工厂购买一台机器价格为a万元，采用分期付款方式，每期付款b万元，每期为一个月，分12期付清，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足(　　) A．b＝ B．b＝ C．b＝ D.＜b＜ 答案　D 解析　因为b(1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝a(1＋5‰)12，所以12b＜a(1＋5‰)12， 所以b＜，显然12b＞a， 即＜b＜. 3．购买一件售价为5 000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清．如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款为(精确到1元)(　　) A．439元 B．520元 C．600元 D．625元 答案　A 解析　设每期应付款x元，所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811) ＝x. 又所购买商品的售价及其利息之和为(5 000×1.00812)元， 于是有x＝5 000×1.00812， 解得x≈439. 4．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本利和为103元；B种面值为50元，半年到期本利和为51.4元；C种面值也为100元，但买入价为97元，一年到期本利和为100元，则三种债券的收益，从小到大排列为(　　) A．B，A，C B．A，C，B C．A，B，C D．C，A，B 答案　B 解析　假设都投入10 000元，一年到期，A种共获得10 300元， B种共获得10 000×2≈1 0567.8(元)， C种共获得10 000×≈10 309.3(元)． 故收益从小到大排列为A，C，B. 5．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清(此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算)并优惠x%，为鼓励购房者一次付款，则优惠率应不低于(x取整数，参考数据：1.029≈1.20，1.0210≈1.22,1.0211≈1.24)(　　) A．8% B．9% C．10% D．11% 答案　B 解析　由题意，知50(1－x%)(1＋2%)9≤5×(1.029＋1.028＋…＋1.02＋1)， 整理得1－x%≤≈ ≈0.916 7，所以x%≥8.33%， 所以一次付款的优惠率应不低于9%. 6．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年的运营费用为2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n(n∈N＋)年后，年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　D 解析　设该设备第n年的运营费用为an万元， 则数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an＝2n， 则该设备使用n年的运营费用总和为Tn＝n2＋n， 设第n年的盈利总额为Sn， 则Sn＝11n－(n2＋n)－9＝－n2＋10n－9， 故年平均盈利额为10－， 因为n＋≥2＝6， 当且仅当n＝3时，等号成立， 所以10－≤10－6＝4， 故当n＝3时，年平均盈利额取得最大值4. 7．某企业年初有资金S万元，如果企业经过生产经营使每年资金平均增长率为25%，但每年年底却要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过2年资金增长50%(扣除消费基金后)的目标，那么每年应扣除消费基金______万元． 答案　S 解析　经过1年后拥有的资金：S×(1＋0.25)－x， 经过2年后拥有的资金：[S×(1＋0.25)－x](1＋0.25)－x，由题意得[S×(1＋0.25)－x](1＋0.25)－x＝1.5S，解得x＝S. 8．某煤矿从开始建设到出煤共需5年，每年国家投资100万元，如果按年利率为10%来考虑，那么到出煤时，国家实际投资总额是____________万元． 答案　671.561 解析　第五年投资的本利和是100(1＋10%)万元， 第四年投资的本利和是100(1＋10%)2万元， … 第一年投资的本利和是100(1＋10%)5万元， 所以{an}是以a1＝100(1＋10%)为首项，q＝1＋10%为公比的等比数列， 到出煤时，国家实际投资总额是S5＝100×1.1×＝671.561(万元)． 9．某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用每购买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为一元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元时的销售量增加10%(n∈N)． (1)写出礼品价值为n(元)时，利润yn(元)关于n的函数关系式及这个函数的定义域； (2)请你设计礼品价值，以使商品获得最大利润． 解　(1)设未赠送礼品时，单位时间内的销售量为m个，则yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝m(20－n)×1.1n，其中0≤n<20，n∈N. (2)要求出获得最大利润时的礼品价值，只需解关于n的不等式yn＋1－yn≥0， 即m(19－n)×1.1n＋1－m(20－n)×1.1n≥0， 即(19－n)×1.1－(20－n)≥0，解得n≤9， 则y0<y1<y2<…<y9＝y10， 同理可得y10>y11>y12>…>y18>y19. 所以为获得最大利润，礼品价值应为9元或10元． 10．用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从购买的次月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？ 解　购买时付款300万元，则欠款2 000万元， 依题意，分20次付清，则每次付款的数额依次构成数列{an}， 故a1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， … an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0.01 ＝(121－n)万元(1≤n≤20，n∈N＋)． 因此{an}是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a10＝121－10＝111(万元)， a20＝121－20＝101(万元)． 20次分期付款的总和为 S20＝＝ ＝2 210(万元)． 实际要付300＋2 210＝2 510(万元)． 即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元． 11．某学生家长为缴纳该学生上大学时的学费，于2022年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2023年起每年的8月20号偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息(复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息)，则该学生家长每年的偿还金额是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设每年偿还的金额为x，则a(1＋p)m＝x＋x(1＋p)＋x(1＋p)2＋…＋x(1＋p)m－1， 所以a(1＋p)m＝x， 解得x＝. 12．已知甲、乙两车间的月产值在2022年1月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2022年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2022年4月份月产值的大小，则(　　) A．甲大于乙 B．甲等于乙 C．甲小于乙 D．大小不确定 答案　A 解析　设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2022年1月份同为m， 则由题意得m＋6a＝m·(1＋x)6，① 4月份甲的产值为m＋3a， 4月份乙的产值为m·(1＋x)3， 由①知，(1＋x)6＝1＋， 即4月份乙的产值为m＝. 因为(m＋3a)2－(m2＋6ma)＝9a2>0， 所以m＋3a>， 即4月份甲的产值大于乙的产值． 13．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1 000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68 780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36 200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为(　　) A．20%,14 580元 B．10%,14 580元 C．20%,10 800元 D．10%,10 800元 答案　B 解析　设“衰分比”为q，甲获得的奖金为a1，则a1＋a1(1－q)＋a1(1－q)2＋a1(1－q)3＝68 780. a1＋a1(1－q)2＝36 200，则a1(1－q)＋a1(1－q)3＝32 580，即(1－q)[a1＋a1(1－q)2]＝36 200(1－q)＝32 580，解得q＝0.1，a1＝20 000， 故a1(1－q)3＝14 580. 14．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金________万元． 答案　126 解析　设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列{an}，则a1为全部资金， 第一名领走资金后剩余为a2＝a1－1， 依此类推，an＋1＝an－1， ∴an＋1＋2＝(an＋2)， ∴{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2， ∴an＋2＝(a1＋2)·n－1， ∴an＝(a1＋2)·n－1－2， ∴第6名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×6－2＝0， ∴a1＝126，即全部资金为126万元． 15．银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q，为吸引长期资金，鼓励储户三年定期存款，那么q的值应略大于(　　) A. B.[(1＋r)3－1] C．(1＋r)3－1 D．r 答案　B 解析　设储户存款为a元，则存三年定期的本利和应略大于存一年定期自动转存三年后的本利和，即a＋3aq＞a(1＋r)3，所以1＋3q＞(1＋r)3，所以q＞[(1＋r)3－1]． 16．现有两种加工资的方案：一是每年末在上一次奖励的基础上再加1 000元；二是每半年结束时在上一次奖励的基础上再加300元，请你选择一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者．根据以上材料，解答下列问题： (1)如果在公司连续工作10年，问选择哪一种方案获得的奖励多？多多少元？ (2)如果第二种方案中的每半年再加300元改成每半年再加a元，问a取何值时选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励？ 解　(1)第10年的年末，依第一种方案构成首项为1 000，公差为1 000的等差数列，故可得1 000×(1＋2＋…＋10)＝1 000× ＝55 000(元)． 依第二种方案，则构成首项为300，公差为300的等差数列，可得300×(1＋2＋…＋20)＝300×＝63 000(元)． 因为63 000－55 000＝8 000(元)，所以在该公司干10年，选择第二种方案比第一种方案获得的奖励多，多8 000元． (2)第n年年末，依第一种方案，可得1 000×(1＋2＋…＋n)＝1 000·＝500n(n＋1)． 依第二种方案，可得a·(1＋2＋3＋…＋2n)＝a·＝an(2n＋1)． 根据题意，得an(2n＋1)＞500n(n＋1)对所有正整数n恒成立， 即a＞＝250＋对所有正整数n恒成立，只需a＞250＋＝. 所以当a＞时，选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励． 学科网（北京）股份有限公司 $$