1.3.2.2 等比数列前n项和的性质-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

第2课时　等比数列前n项和的性质 [学习目标]　1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题． 导语 同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质． 一、等比数列前n项和公式的函数特征 问题1　我们知道，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？ 提示　等比数列前n项和公式也具有函数特征，由Sn＝＝－qn＋， 设A＝－，则Sn＝Aqn－A. 知识梳理 等比数列前n项和公式的函数特征 在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 注意点： 等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 解　当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． ∴an＝ 方法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,1≠2，故{an}不是等比数列． 延伸探究 1．若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝________. 答案　 解析　∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，即k＝. 2．若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·n－1＋5，则实数a＝________. 答案　－ 解析　由Sn＝a·n－1＋5，可得Sn＝3a·n＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－. 反思感悟　(1)已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． 跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________. 答案　－ 解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)， 又Sn＝·3n＋t，所以t＝－. 二、等比数列前n项和的“片段和”性质 问题2　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m ＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝， S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－ ＝， 而2＝2，Sn(S3n－S2n)＝·， 故有2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 知识梳理 “片段和”性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)． 2．若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点： “片段和”性质成立的条件：Sn≠0. 例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1＋qn＝， 即qn＝，③ ③代入①得＝64， ∴S3n＝＝64＝63. 方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， ∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63. 方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝， ∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63. 反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算． (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 跟踪训练2　设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于(　　) A．－9 B．－21 C．－25 D．－63 答案　B 解析　因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列前n项和的性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21. 三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质 问题4　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列{an}共有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即 S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶． 知识梳理 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q； (2)在其前(2n＋1)项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 注意点： 若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)；S奇＝a1＋qS偶． 例3　若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________． 答案　2　9 解析　由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2， S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9. 反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质． 跟踪训练3　一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________. 答案　12×n－1，n∈N＋ 解析　设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶， 由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶， 即S奇＝3S偶． 因为数列{an}的项数为偶数， 所以有q＝＝. 又因为a1·a1q·a1q2＝64， 所以a·q3＝64， 即a1＝12， 故所求通项公式为an＝12×n－1，n∈N＋. 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式的函数性质． (2)等比数列前n项和的“片段和”性质． (3)等比数列前n项和的“奇偶项”性质． 2．方法归纳：公式法、分类讨论法． 3．常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件． 1．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是(　　) A．1 B．0 C．2 D．－1 答案　D 解析　显然等比数列{an}的公比不为1，则Sn＝＝－qn＋，结合前n项和公式的特点可得r＝－1. 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　) A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 答案　A 解析　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，成等比数列， 因为S10∶S5＝1∶2， 所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4. 3．在等比数列中，S2＝7，S4＝28，则S6＝________. 答案　91 解析　由等比数列前n项和的性质， 得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， 所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)， 即(28－7)2＝7×(S6－28)，解得S6＝91. 4．若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为________． 答案　300 解析　由＝2，S偶－S奇＝100可得S偶＝200， S奇＝100，故S2n＝S偶＋S奇＝300. 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝. 方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2， ∵{an}是等比数列， ∴当n＝1时也应适合an＝2x·3n－2， 即2x·3－1＝x－，解得x＝. 2．(多选)下列结论不正确的是(　　) A．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列 B．等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 C．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列 D．如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn 答案　BC 解析　对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确； 对于B选项，对任意n∈N＋，an＝1，则数列{an}为等差数列，且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误； 对于C选项，若等比数列{an}的公比q＝－1，且当n为正偶数时，则Sn＝＝0， 所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，此时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误； 对于D选项，对任意的n∈N＋， Sn＋1＝＋an＋1＝Sn＋an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn，D选项正确． 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 答案　C 解析　由S4，S8－S4，S12－S8成等比数列， 即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列． ∴a9＋a10＋a11＋a12＝4. 4．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 答案　B 解析　设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝2n－1， 中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8. 5．已知等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1为(　　) A. B. C．20 D．110 答案　B 解析　由题意得＝＝a1qn＝an＋1＝＝. 6．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　) A．90 B．70 C．40 D．30 答案　C 解析　∵S30≠3S10，∴q≠1. 由解得 ∵S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， ∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20) 即(S20－10)2＝10(130－S20)， 解得S20＝40或S20＝－30(舍去)． 7．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________. 答案　2 解析　由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴S奇＝－80，S偶＝－160， ∴q＝＝2. 8．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N＋)，则d＋q的值是________． 答案　4 解析　设数列{an}，{bn}的首项分别为a1，b1，前n项和分别为An，Bn， 则An＝n2＋n，Bn＝qn＋， 结合Sn＝n2－n＋2n－1，得 解得，所以d＋q＝4. 9．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a2＋a4＋…＋a2n. 解　由条件知S1＝a1＝1. (1)①当c＝1时，an＝ 即an＝ ②当c≠1时，an＝ (2)①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0； ②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝＝. 10．在等比数列{an}中，对任意n∈N＋，均有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求a＋a＋…＋a. 解　由题意设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q， 显然Sn＝2n－1. 令n＝1，得a1＝S1＝1； 令n＝2，得a1＋a2＝3，∴a2＝2， ∴公比q＝＝2，∴an＝a1·qn－1＝2n－1(n∈N＋)． 又∵＝＝4， ∴数列{a}是首项为1，公比为4的等比数列． ∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 11．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为(　　) A. B. C．1 D．2 答案　D 解析　设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得 S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝， 因为项数为奇数时，S奇＝a1＋qS偶， 即2＋q＝，所以q＝. 所以Tn＝a1·a2·…·an ＝aq1＋2＋…＋n－1 故当n＝1或2时，Tn取最大值2. 12．等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N＋时，Sn－的最大值与最小值的比值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　因为等比数列{an}的首项为， 公比为－， 所以Sn＝＝1－n. ①当n为奇数时，Sn＝1＋n随着n的增大而减小，则1<Sn≤S1＝，故0<Sn－≤； ②当n为偶数时，Sn＝1－n随着n的增大而增大，则＝S2≤Sn<1，故－≤Sn－<0. 所以Sn－的最大值与最小值的比值为 ＝－. 13．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案　1－ 解析　令x＝n，y＝1， 则f(n)f(1)＝f(n＋1)，又an＝f(n)， ∴＝＝f(1)＝a1＝， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－. 14．已知等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，数列{bn}是递增数列，且bn＝An2＋Bn，则A＝________，B的取值范围为________． 答案　1　(－3，＋∞) 解析　因为Sn＝＝－qn，(q≠1)， 而等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n， 所以A＝1，于是bn＝n2＋Bn， 又因为数列{bn}是递增数列， 所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋B(n＋1)－n2－Bn＝2n＋1＋B>0恒成立， 所以B>－(2n＋1)恒成立，所以B>－3， 即B的取值范围为(－3，＋∞)． 15．若数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N＋)，则＋＋＋…＋＋＋＝____________. 答案　＋ 解析　由题意可知＝＋·， 即－1＝，又－1＝－， 所以数列是以－为首项，为公比的等比数列， 所以－1＝·n－1＝－， 则＝1－， 所以＋＋＋…＋＝n－ ＝n－＋·， 则＋＋＋…＋＋＋ ＝2 023－＋× ＝＋. 16．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%. (1)求第n年初M的价值an的表达式； (2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新． (1)解　当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列． an＝120－10(n－1)＝130－10n； 当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6. 因此，第n年初，M的价值an的表达式为 an＝ (2)证明　设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得， 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝120－5(n－1)＝125－5n； 当n≥7时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an) ＝570＋ ＝780－210×n－6， An＝， 因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列， 又A8＝＝82>80， A9＝＝76<80， 所以须在第9年初对M更新． 学科网（北京）股份有限公司 $$