精品解析： 河南省三门峡市渑池县2024-2025学年九年级上学期期末学情检测数学试卷

2024—2025学年上学期期末学情检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 2. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2 C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2 4. 如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A. 50m B. 45m C. 40m D. 60m 5. 若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 8. 如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ） A 65° B. 60° C. 58° D. 50° 9. 矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设外镶金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 某个亮度可调节台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为_______．（只需写一个） 12. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是___． 13. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为4，则k的值是____． 15. 如图，在中，，，，点为中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在上，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张． （1）请用列表法或树状图法列出所有可能出现的结果总数； （2）请你求出小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是多少？ 18. 如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，连结MA，MC． （1）求证：AMC是正三角形； （2）若AC＝，求⊙O半径的长． 19. 如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E． （1）求证：DE＝DB； （2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于M、N两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出中x取值范围； （3）求的面积． 21. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的长． 22. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 23. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象和性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图1 ①列表；下表是与的几组对应值，其中_______； … 1 2 3 … … 1 2 4 4 2 … ②描点：根据表中各组对应值在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①___________________________________________________________； ②___________________________________________________________； （3）①观察发现：如图2，若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于点，则_______； ②探究思考：将①的直线改为直线，其他条件不变，则_______； ③类比猜想：若直线交函数图象于两点，连接，过点作交轴于，则_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年上学期期末学情检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 故选A． 2. “成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，根据定义即可判断． 【详解】A选项，水中捞月，一定不会发生，是不可能事件，符合题意； B选项，守株待兔，可能会发生，是随机事件，不符合题意； C选项，百步传杨，可能会发生，是随机事件，不符合题意； D选项，瓮中捉鳖，一定会发生，是必然事件，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值为2 B. 当时，有最大值为2 C. 当时，有最小值为2 D. 当时，有最大值为2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴该函数图像开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值2， 故选：A． 4. 如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　） A. 50m B. 45m C. 40m D. 60m 【答案】A 【解析】 【分析】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC＝AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示： 则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150， ∴OC＝＝＝200（m）， ∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m）， 即这些钢索中最长的一根为50m， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 5. 若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答. 【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上， 得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2， 所以，； 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键. 6. 如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 7. 小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由题意依据每次旋转相同角度，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案. 【详解】解：因为每次旋转相同角度，旋转了六次， 且旋转了六次刚好旋转了一周为360°， 所以每次旋转相同角度 . 故选：B. 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数． 8. 如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ） A. 65° B. 60° C. 58° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OE，OF． ∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点， ∴OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠OEB=∠OFB=90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°， ∴∠EPF=∠EOF=60°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设外镶金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设外镶金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设外镶金色纸边的宽为， 由题意得：， 整理得：， 故选：B． 10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一个二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以为_______．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由二次函数的图象开口向下，可知a为负数，取a= -2，再由顶点坐标为(0，1)，即可得出二次函数的解析式． 【详解】∵二次函数的图象开口向下， ∴可知a为负数，取a= -2， ∵顶点坐标(0，1)， ∴二次函数的解析式为： y=-2(x-0)2+1=-2x2+1， 故答案为： y= -2x2 + 1(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握顶点式的特点是解决问题的关键． 12. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是___． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法． 13. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____． 【答案】65° 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得BC=B′C，然后判断出△BCB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CBB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′A′C，然后根据旋转的性质可得∠A=∠B′A′C． 【详解】∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴BC=B′C， ∴△BCB′是等腰直角三角形， ∴∠CBB′=45°， ∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°， 由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°， 故答案为65°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为4，则k的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴作垂线，与原点围成的三角形的面积是定值．连接，根据等底同高的三角形面积相等得到的面积为4，再结合三角形的面积是定值以及反比例函数图形性质，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：连接， 的面积为4， 的面积为4， 轴， ， 解得， 反比例函数图象在第二象限， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于，于，由等腰直角三角形的性质可得，，证明四边形为正方形，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，，点为的中点，， ∴，， ∵，， ∴，为等腰直角三角形，， ∴四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张． （1）请用列表法或树状图法列出所有可能出现的结果总数； （2）请你求出小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是多少？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以画出相应的树状图； （2）根据画出的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 【小问1详解】 解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，列树状图如下， 【小问2详解】 解：由（1）可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性是2种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是． 【点睛】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和概率的公式是解题的关键． 18. 如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，连结MA，MC． （1）求证：AMC是正三角形； （2）若AC＝，求⊙O半径的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABM＝∠MBC＝60°，再根据同弧所对圆周角相等可得∠MAC＝∠ACM＝60°，由此即可证得结论； （2）连接、，过作于点，由圆内接四边形的性质求得，再求得，最后根据30°的直角三角形的性质以及勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠MBC＝∠ABC＝60°， ∵∠ABM与∠ACM都是弧AM所对的圆周角， ∴∠ACM＝∠ABM＝60°， ∵∠MAC与∠MBC都是弧MC所对的圆周角， ∴∠MAC＝∠MBC＝60°， ∴∠MAC＝∠ACM＝60°， ∴MA＝CM， 又∵∠ACM＝60°， ∴AMC是正三角形； （2）解：连接、，过点作于点，如图1， ， ， ， ∵＝， ， ∵，， ， ∵，， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（舍负）， ， ∴的半径为2． 【点睛】本题是主要考查圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等相关知识，内容较多，有一定难度，能够灵活运用相关知识是解决本题的关键． 19. 如图，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E． （1）求证：DE＝DB； （2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径． 【答案】(1)证明见解析(2)2 【解析】 【详解】试题分析：由角平分线得出,得出，由圆周角定理得出证出再由三角形的外角性质得出即可得出 由得：，得出由圆周角定理得出是直径，由勾股定理求出即可得出外接圆的半径． 试题解析：(1)证明：平分 又 平分 连接， 是直径． 平分 ∴半径为 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于M、N两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出中x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键． （1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标，进而求出结论； （2）由图直接解答； （3）将的面积转化为的面积即可． 【小问1详解】 解： 点A在反比例函数上， ， 解得， 点A的坐标为， 又点B也在反比例函数上， ， 解得， 点B的坐标为， 又点A、B在的图象上， ， 解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 根据图象得：时，的取值范围为； 【小问3详解】 直线与x轴的交点为N， 当时，， 解得：， 点N的坐标为， ． 21. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB． (2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可． 【详解】 （1）证明：连接OC ∵CD与⊙O相切于C点 ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AE ∴OC//AE ∴∠OCB＝∠E ∵OC=OB ∴∠ABE＝∠OCB ∴∠ABE＝∠E ∴AE=AB （2）连接AC ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∵AB=AE，AC⊥BE ∴EC=BC=6 ∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA ∴△EDC∽△ECA ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解． 22. 如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】（1）喷出水的最大射程为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 23. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象和性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图1 ①列表；下表是与的几组对应值，其中_______； … 1 2 3 … … 1 2 4 4 2 … ②描点：根据表中各组对应值在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质： ①___________________________________________________________； ②___________________________________________________________； （3）①观察发现：如图2，若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于点，则_______； ②探究思考：将①的直线改为直线，其他条件不变，则_______； ③类比猜想：若直线交函数的图象于两点，连接，过点作交轴于，则_______． 【答案】（1）①1，②见解析，③见解析； （2）①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3））①4，②4，③ 【解析】 【分析】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）根据表格中的数据的变化规律得出当时，，而当时，，求出的值；补全图象； （2）根据（1）中图象，得出两条图象的性质； （3）由图象的对称性，和四边形的面积与的关系，得出答案． 【小问1详解】 解：当时，，而当时，， ， 故答案为：1； 补全图象如图所示： 【小问2详解】 根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 如图， ①由，两点关于轴对称，由题意可得四边形是平行四边形，且， ②同①可知：， ③， 故答案为：4，4，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$