板块2 微专题(4) 大题专攻——“三角函数与解三角形”大题精研(Word教师用书)-【创新方案】2025年高考数学二轮复习专题辅导与测试

微专题(四)　大题专攻——“三角函数与解三角形”大题精研 一、基准考法——内化基本思维 1.(求边角问题)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin(B+C)=bsin(A+C)+csin(A+B)-bsin C. (1)求角A； (2)若b=1，△ABC的面积为，求a. 解：(1)由A+B+C=π，可得sin(B+C)=sin A，sin(A+C)=sin B，sin(A+B)=sin C. 因为asin(B+C)=bsin(A+C)+csin(A+B)-bsin C. 所以asin A=bsin B+csin C-bsin C， 由正弦定理得a2=b2+c2-bc，即b2-a2+c2=bc.根据余弦定理得cos A==， 又因为0<A<π，所以A=. (2)因为b=1，△ABC的面积为， 所以S△ABC=bcsin A=csin =， 解得c=2， 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=12+22-2×1×2×=3，所以a=. 2.(最值或范围问题)已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，bsin A=(c-acos B). (1)求角A的大小； (2)求的最小值. 解：(1)法一　∵bsin A=(c-acos B)， ∴由余弦定理，得bsin A=c-a·， ∴2bcsin A=(b2+c2-a2)=×2bccos A. 又bc≠0，∴tan A=.∵0<A<π，∴A=. 法二　∵bsin A=(c-acos B)， ∴由正弦定理得sin Bsin A=sin C-sin Acos B. 又C=π-(A+B)， ∴sin Bsin A=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=cos Asin B. 又sin B≠0，∴tan A=. ∵0<A<π，∴A=. (2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc， ∴由正弦定理，得==1-. 又1-≥1-=，当且仅当b=c时等号成立，∴的最小值为. 3.(与平面几何体结合)在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bcos C+csin B=a+2c. (1)求B的大小； (2)如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB=B，CD=，BC=1，∠CAD=30°，求sin∠BCA及△ABC的面积. 解：(1)∵bcos C+csin B=a+2c，∴由正弦定理得sin Bcos C+sin Csin B=sin A+2sin C.由三角形内角和为180°可得sin A=sin(B+C)， ∴sin Bcos C+sin Csin B=sin(B+C)+2sin C=sin Bcos C+cos Bsin C+2sin C， 即sin Csin B-cos Bsin C=2sin C. ∵sin C≠0，∴sin B-cos B=2⇒sin B-cos B=1，即sin(B-30°)=1. 又0°<B<180°，∴B-30°=90°，即B=120°. (2)设∠BCA=θ，在△ACD中，由正弦定理 =及D=180°-30°-(120°-θ)=30°+θ，CD=， 得AC==2sin(θ+30°). 在△ABC中，由正弦定理=及∠BAC=180°-120°-θ=60°-θ，BC=1， 得AC===， ∴2sin(θ+30°)=， ∴4sin(θ+30°)cos(θ+30°)=1⇒2sin(2θ+60°)=1，∴sin(2θ+60°)=.又∵0°<θ<120°， ∴2θ+60°=150°，解得θ=45°， ∴sin∠BCA=sin θ=sin 45°=. 又AC=2sin(θ+30°)=2sin(45°+30°) =2=， ∴S△ABC=BC·AC·sin∠BCA=×1××=. 二、创新考法——发展创新思维 创新点：解三角形的实际应用 1.如图，某人开车在山脚下水平公路上自A向B行驶，在A处测得山顶P处的仰角∠PAO=30°，该车以45 km/h的速度匀速行驶4分钟后，到达B处，此时测得仰角∠PBO=45°，且cos∠AOB=-. (1)求此山的高OP的值； (2)求该车从A到B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值. 解：(1)设OP=x km，在△PAO中， 因为tan∠PAO=，所以AO==x. 同理，在△PBO中，BO==x. 在△AOB中，由余弦定理得AB2=AO2+BO2-2AO·BOcos∠AOB=6x2， 由AB=45×=3，得9=6x2，解得x=(舍负)，所以此山的高OP为 km. (2)由(1)得BO=，AO=，AB=3，设C是线段AB上一动点，连接OC，PC， 则在点C处观测P点的仰角为∠PCO，且tan∠PCO==. 因为cos∠AOB=-，0<∠AOB<π， 所以sin∠AOB==， 当OC⊥AB时，OC最短，记最小值为d， 由S△AOB=AO·BOsin∠AOB=AB·d， 即×××=×3d，解得d=. 所以tan∠PCO=≤=， 所以该车从A到B行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值为. 创新点：三角函数+解三角形+平面向量 2.(2024·黄冈二模)已知向量m=，n=(ω>0)，f(x)=m·n-，y=f(x)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为. (1)求ω的值及f(x)在上的单调递增区间； (2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c=2，A=，求f(a)的值域. 解：(1)依题意可得f(x)=cossin+cos2ωx-=-cos ωx+cos2ωx- =-cos ωx+cos2ωx-=-cos2ωx+sin ωxcos ωx+cos2ωx- =sin 2ωx+cos 2ωx=sin. 设函数的最小正周期为T，由图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为， 得=，解得T=2(舍负)，则T=2=，解得ω=. 所以f(x)=sin. 令2kπ-≤πx+≤2kπ+(k∈Z)，解得2k-≤x≤2k+(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 又x∈，故f(x)在上的单调递增区间为. (2)因为A=，b+c=2， 所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=4-3bc， 又2=b+c≥2且bc>0，所以0<bc≤1， 当且仅当b=c=1时取等号， 所以1≤a2<4.又2=b+c>a，所以1≤a<2， 所以≤πa+<，则-1≤sin<，故-≤f(a)<，所以f(a)的值域为. 创新点：新定义问题 3.定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C=. (1)证明：△ABC是倍角三角形； (2)若c=9，当S取最大值时，求tan B. 解：(1)证明：因为sin C===，又sin C≠0，所以=1， 则b2=c2-ab.又由余弦定理知，b2=a2+c2-2accos B，故可得2ccos B=a+b， 由正弦定理，得2sin Ccos B=sin A+sin B. 又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C，代入上式可得sin Ccos B=sin Bcos C+sin B， 即sin Ccos B-sin Bcos C=sin(C-B)=sin B，则有C-B=B，C=2B，故△ABC是倍角三角形. (2)因为C=2B，所以A=π-B-C=π-3B>0，故0<B<，则tan B∈(0，).又c=9， 所以由正弦定理=，得a===， 所以S=acsin B=asin B =××sin B=· =· = =×. 设x=tan B∈(0，)，f(x)=， 则f'(x)=， 当2-3<x2<3时，f'(x)<0，当0<x2<2-3时，f'(x)>0， 则f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减， 故当x=时，f(x)取得最大值，此时S也取得最大值，故tan B=. 学科网（北京）股份有限公司 $$