板块2 微专题(1) 三角函数的化简与求值(Word教师用书)-【创新方案】2025年高考数学二轮复习专题辅导与测试

第二板块　三角函数与解三角形 微专题(一)　三角函数的化简与求值 精练小题·激活知能 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)= (　　) A.　　　　　B.　　　　　C.-　　　　　D.- 解析：选B　因为所以sin αcos β=.所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=.所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=，故选B. 2.(人A必修一P223练习5改编)下列各式中，值为的是 (　　) A.sin 15°sin 75° B.cos2-sin2 C. D. 答案：B 3.若点P(2，y)是角α终边上的一点，且tan=-2，则y=　　　　.  解析：由点P(2，y)是角α终边上的一点，可得tan α=.由tan=-2，可得==-2，得tan α=.故y=1. 答案：1 4.(2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x-cos x在[0，π]上的最大值是　　　.  解析：f(x)=sin x-cos x=2sin，当x∈[0，π]时，x-∈，当x-=，即x=时，f(x)max=2. 答案：2 5.(人A必修一P229习题5.5复习巩固3改编)已知sin(30°+α)=，60°<α<150°，则cos α=　　　　　.  解析：因为60°<α<150°，所以90°<30°+α<180°.由sin(30°+α)=，得cos(30°+α)=-，所以cos α=cos[(30°+α)-30°]=cos(30°+α)cos 30°+sin(30°+α)sin 30°=×+×=. 答案： 6.(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ=，则sin θ-cos θ=　　　　.  解析：因为θ∈，所以sin θ>0，cos θ>0.又因为tan θ==，所以cos θ=2sin θ，且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sin θ=或sin θ=-(舍去)，所以sin θ-cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-. 答案：- |调动储备| ⇦(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)=. ⇦sin θcos θ=sin 2θ； sin2 θ=； cos2θ=. ⇦诱导公式的记忆口诀： 在+α，k∈Z的诱导公式中，“奇变偶不变，符号看象限”. ⇦辅助角公式：asin x+bcos x=sin(x+φ). ⇦逆用两角差的余弦公式，注意角的变换，如α=(30°+α)-30°，2β=(α+β)-(α-β)，…. ⇦同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，=tan α. 聚焦重难·发掘潜力 考法一　给值求值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)= (　　) A.-3m B.- C. D.3m 解析：选A　法一　因为cos(α+β)=m，所以cos αcos β-sin αsin β=m.而tan αtan β=2，所以sin αsin β=2cos αcos β，故cos αcos β-2cos αcos β=m，即cos αcos β=-m，从而sin αsin β=-2m，所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m，故选A. 法二　设cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=t， 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m， 所以==-3=，故t=-3m. (2)(2024·全国甲卷)已知=，则tan= (　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 解析：选B　根据题意有=，即1-tan α=，所以tan α=1-， 所以tan===2-1，故选B. [思维建模] 1.灵活用公式 (1)倍角公式变形 ①降幂公式：cos2α=，sin2α=. ②配方变形：1±sin α=，1+cos α=2cos2，1-cos α=2sin2. (2)半角公式 sin =±，cos =±，tan ==. 2.注意多转化 在三角函数求值问题中，角度、名称、次数统一思想的应用是解题的突破口.若遇到不能直接运用公式解决的问题时，要想到角的配凑、常值代换及辅助角公式、非特殊角转化为特殊角的应用. [变式训练] 1.已知2sin α=1+2cos α，则sin= (　　) A.- B.- C. D. 解析：选D　由2sin α=1+2cos α，得4=1，即sin=， 所以sin=sin=cos 2=1-2sin2=. 2.若sin(α-β)+cos(α-β)=2sinsin β，则 (　　) A.tan(α-β)=-1 B.tan(α-β)=1 C.tan(α+β)=-1 D.tan(α+β)=1 解析：选C　因为sin(α-β)+cos(α-β)=2sinsin β， 所以sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=2sin β=2sin αsin β-2cos αsin β，即sin αcos β+cos αcos β=sin αsin β-cos αsin β，两边同除cos αcos β可得tan α+1=tan αtan β-tan β，所以tan(α+β)==-1. 3.已知sin=，则cos的值为　　　　　　　　　.  解析：法一　cos=cos 2=2cos2-1=2sin2-1=2×-1=-. 法二　因为cos=1-2sin2=1-2×=， 所以cos=-cos=-. 答案：- 考法二　给值求角问题 [例2]　已知tan α=，tan β=-，且α，β∈(0，π)，则2α-β= (　　) A. B.- C.- D.-或 解析：选C　因为tan α=，tan β=-，所以tan 2α===，tan(2α-β)===1.因为α，β∈(0，π)，tan α>0，tan β<0，所以0<α<，<β<π.又tan 2α>0，则0<2α<，所以-π<2α-β<0.因此，2α-β=-. [思维建模] 给值求角的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好. [变式训练] 4.(2024·双鸭山模拟)已知α，β∈，cos2α-sin2α=，且3sin β=sin(2α+β)，则α+β的值为 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　因为cos2α-sin2α=，cos2α+sin2α=1，所以cos2α=，sin2α=，因为α∈，所以cos α=，sin α=，所以tan α=.由3sin β=sin(2α+β)，得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]，即3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α，所以sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α，所以tan(α+β)=2tan α=.又0<α+β<，所以α+β=.故选D. 5.(2024·廊坊模拟)设α∈，β∈，且sin α+cos α=cos β，则 (　　) A.α+β= B.α-β= C.α+β= D.α-β=- 解析：选B　因为sin α+cos α=sin=cos β，所以sin=cos β=sin.因为α∈，β∈，所以α+∈，-β∈，所以α++-β=π，则α-β=.故选B. 考法三　范围与最值问题 [例3]　(1)若锐角α，β满足sin 2αsin 2β=3(1+cos 2α)(1-cos 2β)，则tan(α-β)的最大值是 (　　) A.- B. C. D. 解析：选D　因为sin 2αsin 2β=3(1+cos 2α)(1-cos 2β)，所以4sin αcos αsin βcos β=12cos2αsin2β.因为α，β是锐角，所以tan α=3tan β，所以tan(α-β)===.因为tan β>0，所以+3tan β≥2，当且仅当tan β=时取等号，所以tan(α-β)的最大值是. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos C=，c=8，则当a+b取得最大值时，sin A=　　　.  解析：∵cos C=，∴sin C=. 设△ABC外接圆半径为R， 则2R====6， 所以a+b=2R(sin A+sin B)=6[sin A+sin(A+C)]=6(sin A+sin Acos C+sin Ccos A) =6=6×=8sin(A+φ)，其中，cos φ=，sin φ=.当sin(A+φ)=1，即A+φ=时，a+b取得最大值，此时A=-φ.所以sin A=sin=cos φ=. 答案： [思维建模] 　　三角恒等变换中的范围与最值一般有两类：第一类是利用三角函数的性质求出函数的最值；第二类是利用基本不等式、求导等方法求出最值. [变式训练] 6.已知角α，β满足cos(α+β)=sin α+sin β，则sin α的最小值为 (　　) A.1- B.- C. D.-2 解析：选A　因为cos(α+β)=sin α+sin β=cos αcos β-sin αsin β，所以cos αcos β-(sin α+1)sin β=sin α.由辅助角公式可得cos(β+θ)=sin α，其中tan θ=，所以|sin α|≤=，所以sin2α≤2+2sin α，解得1-≤sin α≤1.故sin α的最小值为1-. 7.已知α，β均为锐角，且满足=2cos α，则α-β的最大值为　　　.  解析：由α，β均为锐角，=2cos α，得sin(α-β)=2cos αsin β，即sin αcos β-cos αsin β=2cos αsin β，化简得sin αcos β=3cos αsin β，则tan α=3tan β，所以tan(α-β)===.由β为锐角，tan β>0，得+3tan β≥2=2，当且仅当=3tan β，即tan β=时等号成立，则tan(α-β)=≤=.由α-β∈，得函数y=tan x在上单调递增，所以α-β的最大值为. 答案： [专题验收评价] 1.已知角α的终边经过点P(-1，3)，则= (　　) A. B.- C. D.- 解析：选B　利用诱导公式化简==.已知角α的终边经过点(-1，3)，可得cos α≠0，且tan α=-3.分子分母同时除以cos α，则==-.故选B. 2.(2024·沧州模拟)已知tan θ=2，则cos 2θ= (　　) A.- B. C.- D. 解析：选C　由tan θ=2，得cos 2θ=cos2θ-sin2θ===-.故选C. 3.(2024·烟台一模)若cos=，则sin 2α= (　　) A.- B. C.- D. 解析：选C　由cos=，得cos=2cos2-1=-，故sin 2α=cos=-，故选C. 4.(2024·保定一模)已知tan(α+β)=5，tan(α-β)=2，则tan 4β= (　　) A. B. C. D. 解析：选B　因为tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]===， 所以tan 4β===. 5.(2024·潍坊三模)如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆外切时(记此时圆心为N)，标志位于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是 (　　) A.2 B.1 C. D. 解析：选B　由圆M与圆N外切，得MN=2，又圆M，圆N与x轴分别相切于原点O和点B，则OB=MN=2，所以劣弧AB长等于OB=2，所以劣弧AB对应的扇形面积为×2×1=1.故选B. 6.(2024·莆田模拟)已知α为锐角，且(-tan 10°)·cos α=1，则α的值为 (　　) A.40° B.50° C.70° D.80° 解析：选B　由(-tan 10°)cos α=1，可得cos α=cos α=1，所以cos α====sin 40°=cos 50°.又α为锐角，故α=50°，故选B. 7.(2024·新乡二模)已知cos θ=，则cos 3θ= (　　) A.- B. C.- D. 解析：选A　因为cos θ=，所以cos 2θ=2cos2θ-1=-，sin2θ=1-cos2θ=，则cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcos θ-sin 2θsin θ=(2cos2θ-1)cos θ-2sin2θcos θ=-×-2××=-.故选A. 8.已知tan α=2，则cos2α--的值为 (　　) A. B. C.- D.- 解析：选D　因为tan α=2，所以tan===-3.所以cos2α--=+=+=+=+=+=-. 9.(2024·扬州模拟)公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割：在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec(角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc(角)表示.则csc 10°-sec 10°= (　　) A.4 B.8 C. D.4 解析：选A　csc 10°-sec 10°=-====4.故选A. 10.如图，sin= (　　) A.- 　　　B.- C. 　　　D. 解析：选C　由题图可知，tan∠POx=，tan∠QOx==1，所以tan θ=tan(∠QOx-∠POx)= ==.因为θ为第一象限角，所以由sin2θ+cos2θ=1可得sin θ=，cos θ=， 所以sin=sin θcos+cos θsin=-×+×=. 11.(2024·邯郸模拟)[多选]已知α，β∈，cos(α+β)=，sin(α-β)=，则 (　　) A.sin(α+β)= B.cos(α-β)=- C.sin 2α= D.= 解析：选ACD　由α，β∈，得α+β∈(0，π)，sin(α+β)==，故A正确；由α，β∈，得α-β∈，cos(α-β)==，故B错误；由2α=(α+β)+(α-β)，得sin 2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=×+×=，故C正确；由===，得=，故D正确.故选ACD. 12.(2024·宁波模拟)若sin=，则cos=　　　　　.  解析：令θ-=t，则sin t=，所以cos=cos=cos(2t+π)=-cos 2t=2sin2t-1=2×-1=. 答案： 13.已知α是第二象限角，β∈，tan=-，现将角α的终边逆时针旋转β后得到角γ，若tan γ=，则tan β=　　　　　.  解析：由题意得tan==-，解得tan α=-.又γ=α+β，tan γ=tan(α+β)=，所以tan β=tan(α+β-α)==. 答案： 14.(2024·海口模拟)已知cos(α+2β)=，tan(α+β)tan β=-4，写出符合条件的一个角α的值为　　　　　.  解析：因为cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β)·cos β-sin(α+β)sin β=，tan(α+β)tan β==-4，所以sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β，故5cos(α+β)cos β=，即cos(α+β)cos β=，则sin(α+β)sin β=-4cos(α+β)cos β=-.所以cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=-=-，可取α=. 答案：(答案不唯一，满足cos α=-即可) 15.[多选]若0<α<β<，且cos αcos β=，tan αtan β=，则下列选项正确的是 (　　) A.cos(α+β)= B.sin(α-β)= C.cos 2α= D.β> 解析：选AD　因为tan αtan β==，cos αcos β=，所以sin αsin β=，所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-=，故A正确；cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=，又因为0<α<β<，所以-<α-β<0，所以sin(α-β)=-=-=-，故B错误；因为0<α<β<，所以0<α+β<π，所以sin(α+β)===，cos 2α=cos(α+β+α-β)=cos(α+β)·cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×-×=，故C错误；因为0<α<β<，所以cos α>cos β，而cos αcos β=，所以cos2β<，即0<cos β<=cos.由y=cos x在上单调递减知，β>，故D正确.故选AD. 16.(2024·重庆模拟预测)[多选]在△ABC中，若sin2A+sin2B=1，则下列说法正确的是 (　　) A.= B.A+B= C.sin Asin B的最大值为 D.tan Atan B=1 解析：选AC　由sin2A+sin2B=1，cos2B+sin2B=1，可得sin2A=cos2B，所以=，所以A正确； 由sin2A+sin2B=1，可得cos2A+cos2B=1，则+=+=1，整理得tan2A+1+tan2B+1=tan2Atan2B+tan2A+tan2B+1，可得tan2A·tan2B=1，所以tan Atan B=±1，所以D错误； 由tan Atan B=±1，可得=±1，即sin Asin B=±cos Acos B，当sin Asin B=cos Acos B时，cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=0；当sin Asin B=-cos Acos B时，cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=0，所以A+B=或A-B=，所以B错误； 若A-B=，即A=+B，则sin Asin B=sinsin B=sin Bcos B=sin 2B≤， 当且仅当2B=，即B=时等号成立，此时A=，显然不满足题意；若A+B=，即A=-B，则sin Asin B=sinsin B=sin Bcos B=sin 2B≤，当且仅当2B=，即B=时等号成立，此时A=，满足题意. 综上可得，sin Asin B的最大值为，所以C正确. 17.已知α-β=，tan α-tan β=3，则cos(α+β)的值为　　　　.  解析：因为tan α-tan β=3，且α-β=， 所以-====3， 整理得cos αcos β=.又cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=， 整理得sin αsin β=-=，所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-=-. 答案：- 18.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　　　.  解析：法一　由题意得tan(α+β)===-2， 因为α∈，k∈Z， β∈，m∈Z， 所以α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z. 又因为tan(α+β)=-2<0， 所以α+β∈，k，m∈Z，则sin(α+β)<0， =-2，联立sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，解得sin(α+β)=-. 法二　因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0， cos α==，cos β==， 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =cos αcos β(tan α+tan β) =4cos αcos β= = ==-. 答案：- 学科网（北京）股份有限公司 $$