板块1 微专题(2) 基本初等函数、函数与方程(Word教师用书)-【创新方案】2025年高考数学二轮复习专题辅导与测试

微专题(二)　基本初等函数、函数与方程 精练小题·激活知能 1.(人A必修一P159T1)函数y=-2-x与y=2x的图象 (　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 解析：选C　y=2x中用-x代替x，用-y代替y，则得到y=-2-x，所以函数y=-2-x与y=2x的图象关于原点对称. 2.(2024·上海三模)已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m+n= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选C　令2x-3=1，解得x=2，此时f(2)=1+loga1=1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m=2，n=1，所以m+n=3.故选C. 3.(人A必修一P160T5(3)改编)函数f(x)=x+x3，g(x)=x+3x，h(x)=x+log3x的零点分别是a，b，c，则它们的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 解析：选C　由题意可知f(x)=x+x3，g(x)=x+3x，h(x)=x+log3x的零点即为y=x3，y=3x，y=log3x的图象分别与y=-x图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出y=x3，y=3x，y=log3x，y=-x的图象如图所示，根据图象可知c>a>b. 4.(2024·天津二模)若a=lo1.9，b=log215.8，c=22.01，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析：选B　a=lo1.9<lo1=0，0=log21<b=log215.8<log216=4，c=22.01>22=4，所以c>b>a.故选B. 5.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-，则a=　　　　.  解析：根据题意有-=-，即3loga2-=-.设t=loga2(a>1)，则t>0，故3t-=-，解得t=(舍负)，所以loga2=，所以=2，解得a=64. 答案：64 |调动储备| ⇦y=f(x)的图象与y=-f(-x)的图象关于坐标原点对称. ⇦对数函数y=logax的图象恒过点(1，0)，注意整体代换思想的应用，如本题中令2x-3=1. ⇦解答本题的关键是理解“f(x)-g(x)的零点⇔方程f(x)=g(x)的根⇔y=f(x)的图象和y=g(x)图象的交点的横坐标”. ⇦比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等比较大小问题的桥梁媒介作用. ⇦=N(a>0，且a≠1，N>0)，logab=(a>0，且a≠1，b>0，c>0且c≠1). 聚焦重难·发掘潜力 考法一　基本初等函数的图象与性质 [例1]　(1)(2024·深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过 (　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 解析：选D　当x=0时，y=loga=-1，则当0<a<1时，函数图象过第二、三、四象限； 当a>1时，函数图象过第一、三、四象限. 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限.故选D. (2)(2024·天津高考)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析：选B　由函数y=4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c=log4.20.2<0，故b>a>c，故选B. [思维建模] (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数. (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断. [变式训练] 1.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，0) B.[-1，0) C.(-1，0) D.[-1，+∞) 解析：选B　令t=ax+2，则y=ln t，因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，且y=ln t在定义域内单调递增，所以解得-1≤a<0，故选B. 2.(2024·潍坊二模)已知函数f(x)=则f(x)图象上关于原点对称的点有 (　　) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 解析：选C　作出f(x)的图象，再作出函数y=(x≥0)关于原点对称的图象如图所示. 因为函数y=(x≥0)关于原点对称的图象与y=-|x2+2x|(x<0)的图象有三个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有3对.故选C. 考法二　函数的零点 [例2]　(1)(2024·湛江二模)已知函数f(x)=|2x-1|-a，g(x)=x2-4|x|+2-a，则 (　　) A.当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点 B.当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点 C.当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D.当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点 解析：选D　两个函数的零点个数转化为y=|2x-1|，y=x2-4|x|+2的图象分别与y=a的图象的公共点的个数， 作出y=|2x-1|，y=x2-4|x|+2的大致图象，如图所示. 由图可知，当g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只有1个零点；当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点；当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点.故选D. (2)函数f(x)=ax3-ax2+bx(a，b∈R)有3个零点的充分不必要条件是 (　　) A.a≠0，且a>4b B.a>0，且a>4b C.a<0，且a>4b，b≠0 D.a<0，且a<4b，b≠0 解析：选D　f(x)=ax3-ax2+bx=x(ax2-ax+b)，有f(0)=0，若f(x)有三个零点，则有a2-4ab>0且a≠0，b≠0，故函数f(x)=ax3-ax2+bx(a，b∈R)有3个零点的充要条件为a2-4ab>0且a≠0，b≠0.a≠0，且a>4b，则当a<0时，有a2<4ab，不符，故A错误；可能b=0，不符，故B错误；a<0且a>4b，b≠0，则a2<4ab，不符，故C错误；a<0，且a<4b，b≠0，则a2>4ab，即由a<0，且a<4b，b≠0能得到a2-4ab>0且a≠0，b≠0，但a2-4ab>0且a≠0，b≠0还可得到a>0，a>4b，b≠0，故a<0，且a<4b，b≠0是a2-4ab>0且a≠0，b≠0的充分不必要条件，即是函数f(x)=ax3-ax2+bx(a，b∈R)有3个零点的充分不必要条件，故D正确. [思维建模] 已知函数零点求参数范围的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围 分离 参数法 将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决 数形 结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 [变式训练] 3.已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2的根的个数不可能是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选C　作出函数y=f(x)的图象，如图所示.将原问题转化为直线y=ax+2(过定点(0，2))与函数y=f(x)图象的交点个数，由图可知，当a=0时，直线y=2与函数y=f(x)的图象只有1个交点；当a<0时，直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有3个交点，所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有2个交点. 4.(2024·石家庄三模)给定函数f(x)=|x2+x|，g(x)=x+，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记M(x)=max{f(x)，g(x)}.若函数y=M(x)的图象与y=a有3个不同的交点，则实数a的取值范围是　　　　　.  解析：作出函数f(x)=|x2+x|= 与g(x)=x+的图象如图1所示. 因为M(x)=max{f(x)，g(x)}，所以图象如图2， 其中|x2+x|max=(-1≤x≤0)，当且仅当x=-时取最大值.设函数f(x)，g(x)在第一象限的交点为P，即当x>0，y>0时，解得P点坐标是(1，2).由题意y=a与函数y=M(x)的图象有3个不同的交点，由数形结合易知0<a<或a>2. 答案：∪(2，+∞) 考法三　函数模型及应用　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则 (　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 解析：选ACD　因为Lp=20×lg 随着p的增大而增大，且∈[60，90]，∈[50，60]，所以≥，所以p1≥p2，故A正确；由Lp=20×lg ，得p=p01，因为=40，所以p3=p01=100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p01>10p01，所以1>10，所以->20，由题中表格数据知不可能成立，故B错误；因为==1≥1，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD. [思维建模] 利用给定函数模型解决实际问题的方法 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题. [变式训练] 5.(2024·邯郸模拟)中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震.已知地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震的 (　　) A.98倍 B.105倍 C.355倍 D.463倍 解析：选C　由题设，日本东北部海域发生里氏9.0级地震所释放出来的能量E1=1，中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震所释放出来的能量E2=1，所以==102.55≈355.故选C. 6.(2024·茂名一模)Gompertz曲线用于生长曲线的预测，常见的应用有：代谢预测、肿瘤生长预测、有限区域内生物种群数量预测、工业产品的市场预测等，其公式为f(x)=k(其中k>0，b>0，a为参数).某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.若x=1表示该新产品今年的销售量，估计明年(x=2)的销售量将是今年的e倍，那么b的值为(e为自然对数的底数) (　　) A. B. C.-1 D.+1 解析：选A　由a=e，得f(x)=k·，∴当x=1时，f(1)=k；当x=2时，f(2)=k.依题意，明年(x=2)的销售量将是今年的e倍，得==e，∴-=1，即b2+b-1=0，解得b=.∵b>0，∴b=.故选A. 微点培优·技高一筹 嵌套函数的零点问题 　　形如y=f(g(x))的复合函数(嵌套函数)零点相关问题综合性较强，难度稍大，主要涉及判断函数零点的个数或范围.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. [例1]　已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-的零点个数是 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：选A　令t=f(x)，F(x)=0，则f(t)-2t-=0，作出y=f(x)的图象和直线y=2x+，由图象可得有两个交点，设横坐标为t1，t2， ∴t1=0，t2∈(1，2).当f(x)=t1时，有x=2，即有一解；当f(x)=t2时，有三个解.综上，F(x)=0共有4个解，即有4个零点，故选A. [例2]　[多选]已知函数f(x)=若方程[f(x)]2+2af(x)-a=0有五个不相等的实数根，则实数a的值可以为 (　　) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 解析：选AB　f(x)=如图所示，令f(x)=t，则g(t)=t2+2at-a，若方程有五个不相等的实数根，则g(t)有两个零点分别为t1，t2，由图象可知即可得解得a<-1，则实数a的取值范围是(-∞，-1). [思维建模] (1)一般地，判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令g(x)=t，求解当f(t)=0时t的值，然后根据函数g(x)的图象及性质确定当g(x)=t时，x的值的个数即为f(g(x))的零点个数.解答时注意数形结合，侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析. (2)解决此类问题往往应用函数的图象，作函数的图象必须关注其关键点(位置)和发展趋势、渐近线等，尤其当作图比例较大时，由于画的是局部图象，若关注度不够或疏忽，就会导致错误. [应用体验] 1.设a∈R，函数f(x)=若函数y=f(f(x))恰有5个零点，则实数a的取值范围为 (　　) A.(-2，2) B.(0，2) C.[-1，0) D.(-∞，-2) 解析：选D　设t=f(x)，当x≥0时，f(x)=2|x-1|-1，此时t≥0，由f(t)=0得t=1，即f(x)=2|x-1|-1=1，解得x=0或x=2，所以y=f(f(x))在[0，+∞)上有2个零点；当x<0时，若a≥0，f(x)=-x2+ax，对称轴为x=，函数y=f(x)的大致图象如图1，此时f(x)=-x2+ax<0，即t<0，则f(t)<0，所以f(t)=0无解，则t=f(x)无零点，y=f(f(x))无零点，此时y=f(f(x))只有两个零点，不符合题意. 若a<0，此时f(x)的大致图象如图2，令-t2+at=0，解得t=a<0(t=0舍去)，显然f(x)=a在(-∞，0)上存在唯一负解，所以要使y=f(f(x))恰有5个零点，需f>1，即-+>1，解得a<-2，所以a∈(-∞，-2). 2.(2024·长春实验中学模拟)已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是 (　　) A.3 B.5 C.7 D.8 解析：选B　函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1=[2f(x)-1][f(x)-1]的零点，即方程f(x)=和f(x)=1的根，函数f(x)=的图象如图所示， 由图可得方程f(x)=和f(x)=1共有5个根，即函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1有5个零点，故选B. 3.已知函数f(x)=若关于x的函数y=2[f(x)]2+2bf(x)+1有6个不同的零点，则实数b的取值范围是　　　　.  解析：作出函数f(x)的图象如图所示. 设f(x)=t，则当t=1或t<0时，方程f(x)=t只有1解.当t=0时，方程f(x)=t有2解，当0<t<1时，方程f(x)=t有3解，当t>1时，方程f(x)=t无解.∵关于x的函数y=2[f(x)]2+2bf(x)+1有6个不同的零点，∴关于t的方程2t2+2bt+1=0在(0，1)上有两解， ∴解得-<b<-. 答案： [专题验收评价] 1.(2024·宁波模拟)函数f(x)=2x+x3-9的零点所在区间为 (　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 解析：选B　由已知，可知f(x)为增函数，且f(1)=2+1-9=-6<0，f(2)=4+8-9=3>0，根据函数零点存在定理，函数f(x)在(1，2)有零点，且零点是唯一的.故选B. 2.(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 (　　) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= 解析：选D　由题意，得=2.1，=3.15.若S不变，则2.1ln N1=3.15ln N2，即2ln N1=3ln N2，所以=. 3.(2024·潍坊二模)已知a=e-1，b=lg a，c=e0，则 (　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 解析：选A　a=e-1∈(0，1)，b=lg a=lg e-1=-lg e<0，c=e0=1，所以b<a<c，故选A. 4.(2024·天津北辰三模)已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=lo，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b 解析：选D　因为y=0.5x在R上单调递减，则0.53.1<0.51=，即a<；又因为y=log0.9x在(0，+∞)上单调递减，则log0.90.3>log0.90.9=1，即b>1；因为c=lo=log32，且y=log3x在(0，+∞)上单调递增，则=log3<log32<log33=1，即<c<1.综上所述，a<c<b. 5.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.若要甲的“日能力值”是乙的20倍，需经过的天数约为(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0) (　　) A.23 　B.100 C.150 　D.232 解析：选B　令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n天后，甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n，(1-1%)n，依题意，=20，即=20，两边取对数得nlg =lg 20，因此n=≈≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故选B. 6.已知函数f(x)=，在区间(2，3)上单调递减，则正实数a的取值范围为 (　　) A.(0，1) B. C. D. 解析：选C　函数f(x)=，令t=，由正实数a知函数t=单调递减，因为f(x)在区间(2，3)上单调递减，则f(x)=单调递增且t=≥0，所以解得0<a≤，故a的取值范围是，故选C. 7.已知x0是函数f(x)=+ln x的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，+∞)，则 (　　) A.f(x1)<0，f(x2)<0 　B.f(x1)>0，f(x2)>0 C.f(x1)>0，f(x2)<0 　D.f(x1)<0，f(x2)>0 解析：选D　令f(x)=+ln x=0.从而有ln x=，此方程的解即为函数f(x)的零点.在同一坐标系中作出函数y=ln x与y=的图象，如图所示.由图象易知，>ln x1，从而ln x1-<0，故ln x1+<0，即f(x1)<0.同理f(x2)>0. 8.(2024·绍兴三模)已知函数f(2x+1)为偶函数，若函数g(x)=f(x)+21-x+2x-1-5的零点个数为奇数个，则f(1)= (　　) A.1 B.2 C.3 D.0 解析：选C　因为函数f(2x+1)为偶函数，所以f(-2x+1)=f(2x+1)，所以y=f(x)的图象关于x=1对称.令h(x)=21-x+2x-1-5，则h(2-x)=2x-1+21-x-5=h(x)，可得函数h(x)=21-x+2x-1-5的图象关于x=1对称，所以函数g(x)=f(x)+21-x+2x-1-5的图象关于x=1对称，则函数g(x)的零点关于x=1对称，但g(x)的零点个数为奇数个，则g(1)=f(1)+1+1-5=0，所以f(1)=3.故选C. 9.(2024·娄底模拟)[多选]我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰、碳中和，我国将继续坚持贯彻落实.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P=P0e-kt，其中P0，k是常数.已知在前5 h消除了10%的污染物.则下列结论正确的是(参考数据：ln 0.5≈-0.693，ln 0.9≈-0.105) (　　) A.k=ln 0.9 B.过滤10 h后还剩余81%的污染物 C.污染物减少50%所需要的时间为31 h D.污染物减少50%所需要的时间为33 h 解析：选BD　由题意，当t=0时，P=P0，当t=5时，P=(1-10%)P0=0.9P0，于是有0.9P0=P0e-5k，解得k=-ln 0.9，故A错误；当t=10时，P=P0e-10k=P0e2ln 0.9=P00.92=81%P0，故B正确；当P=50%P0=0.5P0时，有0.5P0=P0e-kt，解得t=≈=33，故C错误，D正确.故选BD. 10.(2024·临沂一模)[多选]已知函数f(x)=+a(a∈R)，则 (　　) A.f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞) B.f(x)的值域为R C.当a=1时，f(x)为奇函数 D.当a=2时，f(-x)+f(x)=2 解析：选ACD　对于函数f(x)=+a(a∈R)，令2x-1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，故A正确；因为2x>0，当2x-1>0时，>0，所以+a>a，当-1<2x-1<0时，<-2，所以+a<-2+a，综上可得f(x)的值域为(-∞，-2+a)∪(a，+∞)，故B错误；当a=1时f(x)=+1=，则f(-x)==-=-f(x)，所以f(x)=+1为奇函数，故C正确；当a=2时，f(x)=+2=+1，则f(-x)+f(x)=+1++1=2，故D正确.故选ACD. 11.(2024·北京高考)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y=2x图象上不同的两点，则下列正确的是 (　　) A.log2> B.log2< C.log2>x1+x2 D.log2<x1+x2 解析：选A　由题意不妨设x1<x2，因为函数y=2x是增函数，所以0<<，即0<y1<y2，可得>=，即>>0，根据函数y=log2x是增函数，所以log2>log2=，故A正确，B错误；例如x1=0，x2=1，则y1=1，y2=2，可得log2=log2∈(0，1)，即log2<1=x1+x2，故C错误；例如x1=-1，x2=-2，则y1=，y2=，可得log2=log2=log23-3∈(-2，-1)，即log2>-3=x1+x2，故D错误.故选A. 12.(2024·重庆三模)已知b>a>0，log4a+log2b=1，且|lg a|=|lg b|，则a+b=　　　.  解析：因为b>a>0，log4a+log2b=log4a+log4b2=log4ab2=1，所以ab2=4.因为|lg a|=|lg b|，所以-lg a=lg b， 所以lg a+lg b=0，即ab=1，所以b=4，a=，则a+b=. 答案： 13.(2024·西安模拟)函数y=logax+ax-1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k，b)，若m+n=b-k且m>0，n>0，则+的最小值为　　　　.  解析：因为a0=1，loga1=0(a>0且a≠1)，所以函数y=logax+ax-1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，3)，所以m+n=3-1=2，所以2=(m+n)=10++≥10+2=16，所以2≥16，所以+≥8，当且仅当=，即n=，m=时等号成立，即+的最小值为8. 答案：8 14.(2024·日照模拟)若函数f(x)=|ln|x||-a的四个零点成等差数列，则a=　　　　.  解析：由f(x)=0，得|ln|x||=a，由函数f(x)有4个零点，得a>0，即有ln|x|=-a或ln|x|=a，则f(x)的4个零点从小到大依次为-ea，-e-a，e-a，ea，依题意，ea-e-a=2e-a，即e2a=3，解得a=. 答案： 15.[多选]已知函数f(x)=ex+2x-2，g(x)=2ln x+x-2的零点分别为x1，x2，则 (　　) A.2x1+x2=2 B.x1x2=+ln x2 C.x1+x2> D.2x1x2< 解析：选ACD　由题意得+2x1-2=0，2ln x2+x2-2=0，所以+2x1=2ln x2+x2，即+2ln =2ln x2+x2=2，所以=x2，故2x1+x2=2x1+=2，故A正确；由f(x)=0，g(x)=0得ex=-2x+2，ln x=-x+1，故函数y=ex与y=-2x+2图象交点横坐标和y=ln x与y=-x+1图象交点的横坐标即为函数f(x)和g(x)的零点x1，x2，如图，由图象性质可知0<x1<，1<x2<2， 又由A得=x2，故x1=ln x2，所以x1x2=x1<<+x1=+ln x2，故B错误；由题意及A、B，得2ln x2+x2-2=0即2ln x2+x2=2，x1=ln x2以及1<x2<2，得x1+x2=ln x2+x2==1+x2>>，故C正确；由A、B得=x2，0<x1<，2x1=2-<1，所以2x1x2=2x1=(2-)<<，故D正确.故选ACD. 16.(2024·厦门模拟)[多选]已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)=+，且f(1)=1，则 (　　) A.f(0)=0 B.f(-1)=e2 C.y=exf(x)为奇函数 D.f(x)在(0，+∞)上具有单调性 解析：选AC　令x=y=0，则有f(0)=+，即f(0)=0，故A正确；令x=1，y=-1，则有f(1-1)=+，即f(0)=ef(1)+，又f(0)=0，f(1)=1，故0=e+，即f(-1)=-e2，故B错误；令y=-x，则有f(x-x)=+，即f(0)=exf(x)+e-xf(-x)，即exf(x)=-e-xf(-x)，又函数f(x)的定义域为R，则函数y=exf(x)的定义域为R，故函数y=exf(x)为奇函数，故C正确；令y=x，则有f(x+x)=+，即f(2x)=，即有=，则当x=ln 2时，有==1，即f(2ln 2)=f(ln 2)，故f(x)在(0，+∞)上不具有单调性，故D错误.故选AC. 17.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为 (　　) A. B. C. D.1 解析：选C　由题意可知，f(x)的定义域为(-b，+∞)，令x+a=0，解得x=-a；令ln(x+b)=0，解得x=1-b.则当x∈(-b，1-b)时，ln(x+b)<0，故x+a≤0，所以1-b+a≤0；当x∈(1-b，+∞)时，ln(x+b)>0，故x+a≥0，所以1-b+a≥0.故1-b+a=0，则a2+b2=a2+(a+1)2=2+≥，当且仅当a=-，b=时，等号成立，所以a2+b2的最小值为. 18.(2024·烟台二模)已知函数f(x)=若f(x)=m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则4+x1x2x4的最小值是　　　　.  解析：作出函数f(x)=与y=m的图象如图所示， 由图可得0<m<1，∵f(x)=m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，可得x1<-1<x2<0<x3<1<x4，可得ln(-x1)=-ln(-x2)，x3=，即x1x2=1，x3x4=1， 所以4+x1x2x4=4+x4=4+x4=4++≥3=3，当且仅当4=，即x4=2且x3=时等号成立，则4+x1x2x4的最小值是3. 答案：3 学科网（北京）股份有限公司 $$